Logika Aristoteles - Logika Induktif

Logika induktif adalah sistem dukungan evolusioner yang memperluas logika deduktif ke inferensi tertentu. Untuk argumentasi deduktif yang valid, tempat secara logis mengandung kesimpulan, di mana entailment berarti bahwa kebenaran tempat memberikan jaminan kebenaran dari kesimpulan. Demikian pula, dalam argumen induktif yang baik, premis harus memberikan beberapa tingkat dukungan untuk kesimpulan, di mana dukungan semacam itu berarti bahwa kebenaran tempat menunjukkan dengan sedikit kekuatan sehingga kesimpulannya benar adanya. Agaknya, jika logika argumen induktif yang baik adalah nilai nyata apa pun, ukuran dukungan yang diartikulasikan harus memenuhi persyaratan berikut:

Kriteria Kecukupan (CoA) :
Sebagai bukti terakumulasi, sejauh mana kumpulan pernyataan bukti benar datang untuk mendukung hipotesis, yang diukur oleh logika, harus cenderung menunjukkan bahwa hipotesis palsu mungkin salah dan hipotesis sebenarnya mungkin benar adanya.

Artikel ini akan berfokus pada jenis pendekatan logika induktif yang paling banyak dipelajari oleh para filsuf dan ahli logika dalam beberapa tahun terakhir. Logika ini menggunakan fungsi probabilitas bersyarat untuk mewakili ukuran sejauh mana pernyataan bukti mendukung hipotesis. Pendekatan semacam ini biasanya mengacu pada teorema Bayes, yang merupakan teorema teori probabilitas, untuk mengartikulasikan bagaimana implikasi hipotesis tentang klaim bukti mempengaruhi sejauh mana hipotesis didukung oleh klaim bukti tersebut. Kami akan memeriksa sejauh mana logika semacam ini bisa dianggap sebagai logika dukungan rahasia yang memadai, terutama dalam kaitannya dengan pengujian hipotesis ilmiah. Secara khusus, kita akan melihat bagaimana logika semacam itu ditunjukkan untuk memenuhi Kriteria Kecukupan.
Bagian 1 sampai 3 menyajikan semua gagasan utama di balik logika probabilistik dukungan evolusioner. Bagi kebanyakan pembaca, ketiga bagian ini cukup untuk memberikan pemahaman yang memadai tentang subjek ini. Pembaca yang ingin tahu lebih banyak tentang bagaimana logika diterapkan saat implikasi hipotesis tentang klaim bukti ( kemungkinan yang disebut) tidak jelas atau tidak tepat, setelah membaca bagian 1-3, turun ke bagian 6.
Bagian 4 dan 5 ditujukan untuk pembaca yang lebih maju yang menginginkan pemahaman terperinci tentang beberapa hasil yang diceritakan tentang bagaimana logika ini dapat menghasilkan konvergensi terhadap kebenaran. Hasil ini menunjukkan bahwa Kriteria Kecukupan memang memuaskan - bahwa ketika bukti terakumulasi, hipotesis palsu kemungkinan besar akan memiliki nilai dukungan evolusioner (yang diukur dengan probabilitas posteriornya ) yang mendekati 0; dan karena ini terjadi, hipotesis yang benar kemungkinan besar akan memperoleh nilai dukungan evolusioner (yang diukur dengan probabilitas posteriornya ) yang mendekati 1.

1. Argumen induktif

Mari kita mulai dengan mempertimbangkan contoh-contoh argumen yang harus dijelaskan oleh logika induktif. Pertimbangkan dua argumen berikut ini:

Contoh 1 .. Setiap gagak dalam sampel acak 3200 burung gagak berwarna hitam. Ini sangat mendukung hipotesis bahwa semua gagak berwarna hitam. Contoh 2 . 62 persen pemilih dalam sampel acak dari 400 pemilih terdaftar (disurvei pada tanggal 20 Februari 2004) mengatakan bahwa mereka menyukai John Kerry mengenai George W. Bush untuk Presiden dalam pemilihan Presiden tahun 2004. Ini mendukung dengan probabilitas paling sedikit 0,95 hipotesis bahwa antara 57 persen dan 67 persen dari seluruh pemilih terdaftar mendukung Kerry atas Bush untuk Presiden (pada atau sekitar waktu pengambilan keputusan).

Argumen semacam ini sering disebut induksi dengan penghitungan kasus. Kami mungkin mewakili bentuk logis dari argumen semacam itu secara semi formal sebagai berikut:

Premise: Secara acak sampel S terdiri dari n anggota populasi B , proporsi anggota yang memiliki atribut A adalah r . Oleh karena itu, dengan tingkat dukungan p ,
Kesimpulan: Proporsi semua anggota B yang memiliki atribut A adalah antara r - q dan r + q (yaitu berada di dalam margin error q r ).

Mari kita letakkan argumen ini lebih formal. Premise dibagi menjadi tiga tempat terpisah: 

	Semi formalisasi	Formalisasi
Premis 1	Frekuensi (atau proporsi) anggota dengan atribut A di antara anggota S adalah r .	F [ A , S ] = r
Premise 2	S adalah sampel acak B berkenaan dengan apakah anggotanya memiliki A atau tidak	Rnd [ S , B , A ]
Premise 3	Sampel S memiliki anggota yang tepat	Ukuran [ S ] = n
Karena itu	dengan tingkat dukungan p	======== { hlm
Kesimpulan	Proporsi semua anggota B yang memiliki atribut A adalah antara r - q dan r + q (yaitu berada di dalam margin kesalahan q r )	F [ A , B ] = r ± q

Setiap logika induktif yang mencakup argumen semacam itu harus membahas dua tantangan. (1) Ini harus memberi tahu kita argumen induktif pencacahan mana yang harus dihitung sebagai argumen induktif yang baik dan bukan sebagai kesalahan induktif. Secara khusus, ini harus memberi tahu kita bagaimana menentukan tingkat p yang tepat dimana tempat tersebut secara induktif mendukung kesimpulan, untuk margin error yang diberikan q . (2) Ini seharusnya memenuhi CoA. Artinya, ini harus dapat dibuktikan (sebagai metatheorem) bahwa jika sebuah kesimpulan yang mengungkapkan proporsi perkiraan untuk atribut dalam suatu populasi adalah benar, kemungkinan besar sampel acak populasi yang cukup banyak akan menyediakan tempat yang benar untuk argumen induktif yang baik. yang memberi tingkat dukungan pada mendekati 1 untuk kesimpulan yang benar itu-di mana, karena kesakitan dari sepele, sampel yang cukup banyak ini hanyalah sebagian kecil dari populasi besar. Kemudian kita akan melihat bagaimana logika induktif probabilistik dapat memenuhi dua tantangan ini.
Enumeratif induksi agak terbatas cakupannya. Bentuk induksi ini hanya berlaku untuk mendukung klaim yang melibatkan kondisi universal sederhana (yaitu, klaim bentuk 'All B s is A s') dan mengklaim tentang proporsi atribut dalam suatu populasi (yaitu, 'Frekuensi A s di antara B s adalah r '). Dan itu hanya berlaku bila bukti klaim semacam itu terdiri dari contoh B yang diamati baik A atau non A. Namun, banyak hipotesis empiris yang penting tidak dapat direduksi menjadi bentuk sederhana ini, dan bukti hipotesis seringkali tidak tersusun dari contoh sederhana. Pertimbangkan, misalnya, Teori Mekanika Newtonian:

Semua benda tetap diam atau dalam gerakan seragam kecuali ditindaklanjuti oleh kekuatan eksternal. Akselerasi objek (yaitu, laju gerakannya berubah dari gerakan diam atau seragam) berada pada arah yang sama dengan gaya yang diberikan padanya; dan laju di mana benda berakselerasi karena gaya sama dengan besarnya gaya yang dibagi oleh massa benda. Jika sebuah benda menggunakan gaya pada benda lain, benda kedua menggunakan gaya yang sama pada benda pertama, namun berlawanan dengan gaya yang diberikan oleh benda pertama.

Bukti untuk (dan melawan) teori ini tidak didapat dengan memeriksa subset objek yang dipilih secara acak dan kekuatan yang bekerja pada mereka. Sebaliknya, teori ini diuji dengan menghitung fenomena yang dapat diamati yang dialaminya dalam berbagai situasi spesifik - mulai dari tabrakan sederhana antara tubuh kecil hingga lintasan planet dan komet - dan kemudian melihat apakah fenomena tersebut benar-benar terjadi. Pendekatan untuk menguji hipotesis dan teori ada di mana-mana, dan harus ditangkap oleh logika induktif yang memadai.
Banyak contoh teoritis penalaran induktif juga gagal ditangkap oleh induksi pencacahan. Pertimbangkan jenis kesimpulan anggota dewan juri yang seharusnya dibuat berdasarkan bukti yang diajukan dalam persidangan pembunuhan. Kesimpulan terhadap kemungkinan kesalahan atau ketidakbersalahan biasanya didasarkan pada gabungan beberapa macam bukti. Hampir tidak pernah melibatkan pertimbangan urutan situasi masa lalu yang dipilih secara acak ketika orang-orang seperti terdakwa melakukan pembunuhan serupa. Atau, pertimbangkan bagaimana dokter mendiagnosa pasiennya berdasarkan gejalanya. Meski frekuensi terjadinya berbagai penyakit saat gejala serupa hadir bisa berperan, hal ini jelas bukan keseluruhan ceritanya. Diagnostik biasanya menggunakan suatu bentuk penalaran hipotetis - jika, jika pasien memiliki tumor otak, apakah itu akan menjelaskan semua gejalanya ?; atau apakah gejala ini lebih mungkin akibat stroke ringan ?; atau adakah kemungkinan lain yang mungkin terjadi? Intinya adalah bahwa perhitungan penuh logika induktif tidak boleh terbatas pada induksi pencacahan, namun juga harus menjelaskan logika penalaran hipotetis yang melaluinya hipotesis dan teori diuji berdasarkan prediksi mereka tentang pengamatan spesifik. Pada Bagian 3 kita akan melihat bagaimana semacam logika induktif probabilistik yang disebut "Teori Konfirmasi Bayesian" menangkap penalaran semacam itu.

2. Induktif Logika dan Induktif Probabilitas

Probabilitas , dan kemungkinan dugaan yang setara, adalah cara yang paling tua dan paling tepat untuk mewakili kepercayaan parsial dan inferensi yang tidak pasti. Probabilitas telah dipelajari oleh ahli matematika selama lebih dari 350 tahun, namun konsep ini tentu jauh lebih tua. Belakangan ini sejumlah representasi ketidakpastian terkait lainnya telah muncul. Banyak dari ini telah menemukan aplikasi yang berguna dalam sistem kecerdasan buatan berbasis komputer yang melakukan kesimpulan induktif di domain ahli seperti diagnosis medis. Artikel ini akan menjelaskan representasi kesimpulan induktif dalam hal probabilitas . Penjelasan komparatif singkat dari beberapa representasi alternatif yang paling menonjol dapat ditemukan dalam dokumen pelengkap berikut ini:

Beberapa Pendekatan Penting untuk Menanggapi Penyesalan yang Tidak Pasti .

2.1 Asal Sejarah Probabilistik Logika

Studi matematika tentang probabilitas bermula dengan Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada pertengahan abad ^ke -17. Sejak saat itu sampai awal abad ^ke -19, karena teori matematika terus berkembang, teori ini terutama diterapkan pada penilaian risiko dalam permainan kebetulan dan untuk mendapatkan kesimpulan statistik sederhana tentang karakteristik populasi besar - misalnya, untuk menghitung kehidupan yang sesuai premi asuransi berdasarkan tingkat kematian. Pada awal abad 19 Pierre de Laplace membuat kemajuan teoritis lebih lanjut dan menunjukkan bagaimana menerapkan penalaran probabilistik ke berbagai masalah ilmiah dan praktis yang jauh lebih luas. Sejak saat itu probabilitas telah menjadi alat yang sangat diperlukan dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan banyak bidang kehidupan modern lainnya.

Sepanjang perkembangannya, berbagai peneliti tampaknya menganggap probabilitas sebagai semacam logika. Tetapi perlakuan pertama yang diperluas dari probabilitas sebagai bagian eksplisit dari logika adalah George Boole's The Laws of Thought (1854). John Venn mengikuti dua dekade kemudian dengan akun probabilitas empiris alternatif alternatif di The Logic of Chance (1876). Tidak lama kemudian, keseluruhan disiplin logika ditransformasikan oleh perkembangan baru dalam logika deduktif.
Pada akhir 19 dan awal abad ^ke 20 Frege, diikuti oleh Russell dan Whitehead, menunjukkan bagaimana logika deduktif dapat diwakili dalam jenis sistem formal yang ketat yang sekarang kita sebut logika kuantitatif atau logika predikat . Untuk pertama kalinya, para ahli logika memiliki logika deduktif sepenuhnya yang cukup kuat untuk mewakili semua argumen deduktif yang valid dalam matematika dan sains - sebuah logika di mana validitas argumen deduktif bergantung hanya pada struktur logis dari kalimat yang terlibat. Perkembangan ini mendorong beberapa ahli logika untuk mencoba menerapkan pendekatan yang sama terhadap penalaran induktif. Idenya adalah untuk memperluas hubungan deduktif dengan dugaan entrainment probabilistik untuk kasus-kasus di mana premis memberikan dukungan konklusif untuk kesimpulan. Entitas parsial ini dinyatakan dalam hal probabilitas kondisional , probabilitas dari bentuk P [ C | B ] = r (baca "probabilitas C yang diberikan B adalah r "), di mana P adalah fungsi probabilitas, C adalah kalimat kesimpulan, B adalah gabungan dari kalimat premis, dan r adalah tingkat dukungan probabilistik yang diberikan B untuk C. Upaya untuk mengembangkan logika semacam itu sangat bervariasi dalam kaitannya dengan bagaimana model deduktif itu ditiru.
Beberapa ahli logika induktif telah mencoba mengikuti paradigma deduktif sangat erat dengan mencoba menentukan probabilitas dukungan induktif dalam hal struktur sintaksis premis dan kalimat kesimpulan. Dalam logika deduktif, struktur sintaksis dari kalimat-kalimat yang terlibat sepenuhnya menentukan apakah premis secara logis mengandung suatu kesimpulan. Jadi, para ahli logika ini mencoba untuk menentukan probabilitas dukungan induktif semata-mata dalam kaitannya dengan struktur sintaksis premis dan kalimat kesimpulan. Dalam sistem seperti itu setiap kalimat memberikan tingkat dukungan yang ditentukan secara sintaktis pada masing-masing kalimat bahasa lainnya. Probabilitas induktif dalam sistem seperti itu logis dalam arti bahwa mereka bergantung pada struktur sintaksis saja. Konsepsi semacam ini diartikulasikan sampai batas tertentu oleh John Maynard Keynes dalam Risalah Probabilitasnya (1921). Rudolf Carnap menerapkan gagasan ini dengan ketelitian yang lebih besar dalam bukunya Logical Foundations of Probability (1950) dan beberapa karya berikutnya (misalnya, Carnap 1952). (Untuk rincian pendekatan Carnap, lihat bagian probabilitas logis dalam entri pada interpretasi kalkulus probabilitas , dalam Ensiklopedia ini.)
Dalam logika induktif Keynes dan Carnap, teorema Bayes, yang merupakan teorema teori probabilitas, memainkan peran sentral dalam mengungkapkan bagaimana bukti membawa pada hipotesis. (Kita akan memeriksa teorema Bayes nanti.) Jadi, pendekatan semacam itu bisa disebut logika induktif logika Bayesian . Ahli logika Bayesian terkenal lainnya mencoba mengembangkan logika induktif probabilistik termasuk Jeffreys 1939, Jaynes 1968, dan Rosenkrantz 1981.
Sekarang umumnya dipegang bahwa gagasan inti logika Bayesian cacat fatal - struktur logis sintaksis tidak dapat menjadi penentu tunggal sejauh mana tempat secara induktif mendukung kesimpulan. Aspek penting dari masalah yang dihadapi oleh logika Bayesian melibatkan bagaimana logika seharusnya diterapkan pada konteks ilmiah dimana kalimat penutupnya adalah beberapa hipotesis atau teori, dan premisnya adalah bukti klaim. Kesulitannya adalah bahwa dalam logika probabilistik apapun yang memenuhi aksioma biasa untuk probabilitas, dukungan induktif untuk sebuah hipotesis harus bergantung sebagian pada probabilitas sebelumnya . Probabilitas sebelumnya menunjukkan seberapa masuk akal hipotesis tersebut seharusnya didasarkan pada pertimbangan selain bukti observasional dan eksperimental (misalnya, mungkin karena argumen masuk akal yang masuk akal). Seorang ahli logika Bayesian harus memberi tahu kita bagaimana memberi nilai pada probabilitas hipotesis sebelum - sebelumnya sebelum hipotesis, untuk masing-masing hipotesis atau teori yang sedang dipertimbangkan. Selanjutnya, ahli logika Bayesian semacam ini harus menentukan nilai probabilitas sebelumnya dengan cara yang bergantung hanya pada struktur logis sintaksis dari hipotesis ini, mungkin berdasarkan beberapa ukuran kesederhanaan sintaksis mereka. Ada masalah teknis yang parah dengan membuat gagasan ini berhasil. Selain itu, berbagai jenis contoh tampaknya menunjukkan bahwa pendekatan semacam itu harus memberikan probabilitas sebelumnya yang tidak masuk akal secara tidak masuk akal terhadap hipotesis dalam kasus tertentu (lihat catatan kaki yang dikutip di dekat bagian akhir 3.2 untuk rinciannya). Lebih jauh lagi, agar gagasan ini diterapkan pada dukungan evolusioner teori ilmiah yang sesungguhnya, para ilmuwan harus memformalkan teori dengan cara yang membuat struktur sintaksis yang relevan mereka jelas, dan kemudian mengevaluasi teori hanya berdasarkan basis sintaksis (bersama-sama dengan hubungan sintaksis mereka dengan bukti pernyataan). Apakah kita akan mengevaluasi teori gravitasi alternatif (dan teori kuantum alternatif) dengan cara ini? Hal ini tampaknya merupakan pendekatan yang sangat meragukan terhadap evaluasi teori dan hipotesis ilmiah yang sesungguhnya. Dengan demikian, nampaknya struktur logis saja tidak cukup untuk evaluasi induktif hipotesis ilmiah. (Masalah ini akan dibahas secara lebih rinci di Bagian 3, setelah kita pertama-tama melihat bagaimana logika probabilistik menggunakan teorema Bayes untuk mewakili dukungan evolusioner untuk hipotesis sebagai fungsi dari probabilitas sebelumnya bersamaan dengan kemungkinan evidensinya .)
Pada saat ideam logika Bayesian berkembang, sebuah konsepsi alternatif tentang penalaran induktif probabilistik juga muncul. Pendekatan ini sekarang umumnya disebut sebagai pendekatan subjektivis atau pendekatan personalis Bayesian terhadap penalaran induktif (lihat Ramsey 1926; De Finetti 1937; Savage 1954; Edwards, Lindman, & Savage 1963; Jeffrey 1983, 1992; Howson & Urbach 1993; Joyce 1999). Ini memperlakukan probabilitas induktif sebagai bagian dari teori kepercayaan dan tindakan normatif yang lebih besar yang dikenal sebagai teori keputusan Bayesian . Gagasan utama adalah bahwa kekuatan keinginan seorang agen untuk berbagai kemungkinan hasil harus digabungkan dengan kekuatan keyakinannya mengenai klaim tentang dunia untuk menghasilkan keputusan rasional yang rasional. Subjektivises Bayesian memberikan logika yang menangkap gagasan ini, dan mereka mencoba untuk membenarkan logika ini dengan menunjukkan bahwa pada prinsipnya hal ini mengarah pada keputusan optimal tentang berbagai alternatif berisiko yang harus ditempuh. Pada subjektivis Bayesian atau akun personalis probabilitas induktif, fungsi probabilitas induktif mewakili kepercayaan subjektif (atau pribadi) dari agen rasional yang ideal, jenis kekuatan keyakinan yang masuk dalam pengambilan keputusan rasional. (Lihat bagian probabilitas subyektif dalam entri pada interpretasi kalkulus probabilitas , dalam Ensiklopedia ini.)
Unsur konsep logika logika induktif hidup hari ini sebagai bagian dari pendekatan umum yang disebut logika induktif Bayesian . Namun, di antara para filsuf dan ahli statistik, istilah 'Bayesian' sekarang paling erat kaitannya dengan masalah keyakinan dan keputusan subjektivis atau personalis. Dan istilah 'logika Bayesian induktif' telah datang untuk membawa konotasi logika yang melibatkan probabilitas subjektif semata. Penggunaan saat ini menyesatkan karena untuk logika induktif, perbedaan Bayesian / non Bayesian benar-benar bergantung pada apakah logika tersebut memberi teorema Bayes sebagai peran penting, atau apakah logika sebagian besar menghindari penggunaan teorema Bayes dalam kesimpulan induktif (seperti yang dilakukan pendekatan klasik terhadap inferensi statistik yang dikembangkan oleh RA Fisher (1922) dan oleh Neyman dan Pearson (1967)). Memang, setiap logika induktif yang menggunakan fungsi probabilitas yang sama untuk mewakili probabilitas klaim bukti karena hipotesis dan probabilitas hipotesis karena klaim bukti tersebut harus merupakan logika induktif Bayesian dalam pengertian yang lebih luas ini; karena teorema Bayes mengikuti langsung dari aksioma yang setiap fungsi probabilitasnya harus dipenuhi, dan teorema Bayes mengungkapkan hubungan yang diperlukan antara probabilitas klaim bukti karena hipotesis dan probabilitas hipotesis karena klaim bukti tersebut .
Dalam artikel ini logika induktif probabilistik yang akan kita teliti adalah logika induksi Bayesian dalam pengertian yang lebih luas. Logika ini tidak akan mengandaikan teori kepercayaan dan keputusan Darwinisme subjektivis , dan akan menghindari fitur logika Bayesian yang tidak pantas. Kemudian kita akan melihat bahwa ada alasan bagus untuk membedakan probabilitas induktif dari probabilitas probabilitas Bayesian dan dari probabilitas logis semata . Jadi, logika probabilistik yang diartikulasikan dalam artikel ini akan disajikan dengan cara yang bergantung pada konsepsi ini dari apa fungsi probabilitasnya. Namun, versi logika ini akan cukup umum sehingga bisa disesuaikan dengan program subjektivitas Bayesian Bayesian, jika seseorang ingin melakukan itu.

2.2 Logika Probabilistik: Aksioma dan Karakteristik

Semua logika berasal dari makna istilah dalam kalimat. Apa yang sekarang kita kenali sebagai logika deduktif formal bergantung pada makna (yaitu, sifat fungsional kebenaran) dari persyaratan logis standar. Istilah-istilah ini, dan simbol yang akan kita gunakan untuk mewakili mereka, adalah sebagai berikut: 'not', '~'; 'dan', '·'; 'atau', '∨'; kebenaran-fungsional 'jika-maka', '⊃'; 'jika dan hanya jika', '≡'; quantifier 'all', '∀', dan 'some', '∃'; dan hubungan identitas, '='. Arti dari semua istilah lain (yaitu, nama, dan predikat dan ekspresi relasional) diizinkan untuk "mengambang bebas". Artinya, logika tidak bergantung pada makna dan juga nilai kebenaran dari kalimat yang mengandungnya. Ini hanya mengandaikan bahwa istilah-istilah lain ini bermakna, dan kalimat-kalimat yang mengandung mereka memiliki nilai kebenaran. Logika deduktif kemudian mengatakan kepada kita bahwa struktur logis dari beberapa kalimat - yaitu, pengaturan sintaksis dari istilah logis mereka - menghalangi mereka agar tidak benar adanya keadaan yang sebenarnya. Itulah pengertian logis inkonsistensi . Gagasan tentang entrasional logis bisa dilakukan dengan itu. Kumpulan kalimat premis secara logis mengandung kalimat kesimpulan tepat ketika negasi kesimpulan secara logis tidak sesuai dengan premis tersebut.

Logika induktif harus, tampaknya, menyimpang dari paradigma ini dengan beberapa cara yang signifikan. Untuk satu hal, ententing logis adalah hubungan mutlak, semua atau tidak sama antara kalimat, sedangkan dukungan induktif datang dalam tingkat kekuatan. Bagi yang lain, meskipun pengertian tentang dukungan induktif sama dengan gagasan deduktif tentang entrisi logis , dan ini bisa dibilang merupakan perpanjangan darinya, tampaknya tidak ada perluasan logika induktif dari gagasan inkonsistensi logis - setidaknya tidak ada yang dapat didefinisikan dengan dukungan induktif dengan cara bahwa ketidakkonsistenan logis dapat didefinisikan secara pasti dengan entrisi logis . Artinya, B secara logika mengandung A tepat bila ( B · ~ A ) secara logis tidak konsisten . Namun, ternyata bahwa ketika probabilitas tanpa syarat ( B · ~ A ) sangat hampir 0 (yaitu, kapan ( B · ~ A ) "hampir tidak konsisten"), tingkat di mana B secara induktif mendukung A , P [ A | B ] , dapat berkisar antara 0 dan 1.
Perbedaan lain yang mencolok adalah bahwa ketika B secara logis mengandung A , menambahkan premis C tidak dapat merusak entailment - yaitu, ( C · B ) harus melibatkan A juga. Properti entrasional logis ini disebut monotonisitas . Tapi dukungan induktif bersifat nonmonotonik . Secara umum, tergantung pada mean A , B , dan C , menambahkan premis C ke B secara substansial dapat meningkatkan tingkat dukungan untuk A , atau mungkin secara substansial menurunkannya, atau mungkin membuatnya sama sekali tidak berubah - yaitu, P [ A | C · B ] mungkin memiliki nilai yang jauh lebih besar dari P [ A | B ] , atau nilai yang jauh lebih kecil, atau mungkin memiliki nilai sama, atau hampir sama dengan P [ A | B ] .
Dalam perlakuan formal terhadap logika induktif probabilistik, dukungan induktif ditunjukkan oleh fungsi probabilitas bersyarat yang didefinisikan pada kalimat bahasa formal L. Fungsi probabilitas bersyarat ini dibatasi oleh peraturan atau aksioma tertentu yang sensitif terhadap makna istilah logis (yaitu, 'bukan', 'dan', ',' atau ', dan sebagainya, quantifier' all 'dan' some ', dan hubungan identitas). Aksioma berlaku tanpa memperhatikan apa arti istilah bahasa lainnya. Intinya aksioma menentukan keluarga dari fungsi pendukung yang mungkin , { P _β , P _γ , ..., P _δ , ...} untuk bahasa tertentu L. Meskipun masing-masing fungsi pendukung memenuhi aksioma yang sama ini, isu lebih lanjut di antaranya memberikan ukuran dukungan induktif yang tepat tidak diselesaikan oleh aksioma saja. Itu mungkin tergantung pada faktor tambahan, seperti arti istilah non-logis dalam bahasa.
Cara yang baik untuk menentukan aturan atau aksioma logika fungsi pendukung induktif adalah sebagai berikut. Misalkan L adalah bahasa untuk logika predikat dengan identitas, dan misalkan '⊨' menjadi relasi entrasional logis standar - yaitu, ungkapan ' B ⊨ A ' mengatakan " B secara logis mengandung A " dan ungkapan '⊨ A ' mengatakan " A adalah sebuah tautologi ".

Fungsi pendukung adalah fungsi P _α dari pasangan kalimat L ke bilangan real antara 0 dan 1 yang memenuhi peraturan atau aksioma berikut ini:

1. P _α [ D | E ] <1 untuk setidaknya satu pasang kalimat D dan E.

Untuk semua kalimat A , B , dan C ,

2. Jika B ⊨ A , maka P _α [ A | B ] = 1;
3. Jika ⊨ ( B ≡ C ), maka P _α [ A | B ] = P _α [ A | C ];
4. Jika C ⊨ ~ ( B · A ), maka P _α [( A ∨ B ) | C ] = P _α [ A | C ] + P _α [ B | C ] atau P _α [ D | C ] = 1 untuk setiap D ;
5. P _α [( A · B ) | C ] = P _α [ A | ( B · C )] × P _α [ B | C ].

Aksioma ini mengambil probabilitas bersyarat sebagai dasar, seperti yang tampaknya sesuai untuk fungsi pendukung evolusioner . Fungsi-fungsi ini setuju dengan fungsi probabilitas tak bersyarat yang biasa ketika yang terakhir didefinisikan - biarkan P _α [ A ] = P _α [ A | ( D ∨ ~ D )]. Namun, aksioma ini memungkinkan probabilitas bersyarat P _α [ A | C ] untuk tetap didefinisikan bahkan ketika pernyataan kondisi C memiliki probabilitas 0 (yaitu, bahkan jika P _α [ C | ( D ∨ ~ D )] = 0).
Perhatikan bahwa fungsi probabilitas bersyarat hanya berlaku untuk pasangan kalimat, kalimat kesimpulan dan kalimat premis. Jadi, dalam logika induktif probabilistik, kita mewakili kumpulan tempat yang terbatas dengan menghubungkannya menjadi satu kalimat tunggal. Alih-alih mengatakan, ' A didukung untuk tingkat r oleh himpunan tempat { B ₁ , B ₂ , B ₃ , ..., B _n }', kita mengatakan ' A didukung oleh tingkat r oleh premis (... (( B ₁ · B ₂ ) · B ₃ ) · ... · B _n ) ', dan tulis ini sebagai ' P [ A | (... (( B ₁ · B ₂ ) · B ₃ ) · ... · B _n )] = r '.
Marilah kita secara singkat mempertimbangkan setiap aksioma, 1-5, untuk melihat betapa masuk akalnya hal itu sebagai suatu hambatan pada ukuran kuantitatif dari dukungan induktif, dan bagaimana hal itu memperluas gagasan tentang deduktif deduktif. Pertama, perhatikan bahwa mengadopsi skala dukungan induktif antara 0 dan 1 hanyalah sebuah kenyamanan. Skala ini biasa untuk probabilitas; tapi ada skala lain yang bisa dilakukan juga.
Aturan (1) adalah persyaratan non-sepele. Dikatakan bahwa setidaknya satu kalimat harus didukung oleh yang lain sampai tingkat yang lebih rendah dari 1. Kita mungkin malah mewajibkan P _α [( A · ~ A ) | ( A ∨ ~ A )] <1; tapi ini ternyata diturunkan dari Aturan (1) bersama dengan peraturan lainnya.
Masing - masing fungsi pendukung derajat P _α pada ukuran L mendukung kekuatan dengan nilai numerik antara 0 dan 1, dengan dukungan maksimal pada 1. Bila B secara logis memerlukan A , dukungan A berdasarkan B maksimal. Inilah yang Aturan (2) menegaskan. Ini sesuai dengan gagasan bahwa fungsi pendukung induktif adalah generalisasi dari hubungan deduktif deduktif.
Aturan (3) sama jelasnya. Dikatakan bahwa setiap kali B secara logis setara dengan C , karena masing-masing tempat harus memberikan jumlah dukungan yang sama persis untuk setiap kesimpulan.
Aturan (4) mengatakan bahwa dukungan induktif "bertambah" dengan cara yang masuk akal. Bila C logis mengandung ketidakcocokan A dan B , dukungan C masing-masing harus diberikan secara terpisah dengan dukungan yang diberikannya untuk disjungsi mereka. Satu-satunya pengecualian adalah dalam kasus di mana C bertindak seperti kontradiksi dan mendukung semua kalimat ke tingkat 1.
Untuk memahami apa yang Rule (5) katakan, pikirkan fungsi pendukung P _α sebagai menggambarkan ukuran kemungkinan dunia atau keadaan yang mungkin terjadi. ' P _α [ C | D ] = r 'mengatakan bahwa proporsi dunia di mana C benar di antara di mana D benar adalah r . Aturan (5) kemudian mengatakan hal berikut: jika A benar dalam pecahan r dunia dimana B dan C benar bersama, dan jika B (bersama dengan C ) benar dalam proporsi q dari semua C -worlds, maka A dan B (dan C ) harus benar bersama dalam fraksi r dari proporsi q dari dunia B (dan C ) di antara C -worlds. ^{[ 2 ]}
Dari lima aturan ini semua teorema teori probabilitas yang biasa diturunkan dengan mudah. Misalnya, kalimat yang setara secara logika selalu didukung dengan tingkat yang sama: jika C ⊨ ( B ≡ A ), maka P _α [ A | C ] = P _α [ B | C ]. Generalisasi berikut dari Aturan Penambahan (4) dapat dibuktikan juga:

P _α [( A ∨ B ) | C ] = P _α [ A | C ] + P _α [ B | C ] - P _α [( A · B ) | C ].

Jika { B ₁ , ..., B _n } adalah himpunan kalimat yang terbatas sehingga untuk setiap pasangan B _i dan B _j , C ⊨ ~ ( B _i · B _j ) (yaitu, anggota himpunan saling eksklusif, diberikan C ), kalau begitu

P α [(( B 1 ∨ B 2 ) ∨ ... ∨ B n ) | C ] =

n Σ i = 1

P α [ B i | C ],

kecuali P _α [ D | C ] = 1 untuk setiap kalimat D. Jika { B ₁ , ..., B _n , ...} adalah serangkaian kalimat yang tak terbatas sehingga untuk setiap pasangan B _i dan B _j , C ⊨ ~ ( B _i · B _j ), maka

lim n P α [(( B 1 ∨ B 2 ) ∨ ... ∨ B n ) | C ] =

∞ Σ i = 1

P α [ B i | C ],

kecuali P _α [ D | C ] = 1 untuk setiap kalimat D. ^{[ 3 ]}

Dalam konteks logika induktif, masuk akal untuk melengkapi peraturan di atas dengan dua peraturan tambahan. Salah satunya adalah ini:

6. Jika A adalah sebuah aksioma dari teori himpunan atau bagian lain dari matematika murni yang digunakan oleh ilmu pengetahuan, atau jika A adalah kebenaran analitis (mengingat arti istilah dalam L yang terkait dengan fungsi pendukung P _α ), maka untuk semua C , P _α [ A | C ] = 1.

Idenya adalah bahwa logika induktif adalah tentang dukungan evolusioner untuk klaim kontinjensi. Tidak ada yang bisa dianggap sebagai bukti empiris terhadap kebenaran yang tidak kontingen. Mereka harus didukung secara maksimal oleh semua klaim C.
Satu hal penting dalam hal logika induktif mengikuti paradigma deduktif adalah dengan tidak mengandaikan kebenaran-nilai kalimat kontingen. Tidak ada fungsi pendukung induktif P _α harus mengizinkan premis tautologis untuk menetapkan tingkat dukungan 1 pada klaim kontinjen - yaitu, P _α [ C | ( B ∨ ~ B )] harus selalu kurang dari 1 saat C kontingen. Karena, keseluruhan gagasan tentang logika induktif adalah untuk memberi ukuran sejauh mana kalimat premis kontingen menunjukkan kemungkinan nilai kebenaran dari kalimat kesimpulan kontingen. Gagasan ini tidak akan berjalan dengan baik jika nilai kebenaran dari beberapa kalimat kontingen diprakarsai. Presuposisi semacam itu akan membuat logika induktif menjadi enthymematic. Ini mungkin menyembunyikan premis signifikan dalam hubungan dukungan induktif.
Namun, praktik umum bagi ahli logika probabilistik untuk menyapu klaim kontingen kontingen yang diterima di bawah karpet dengan menugaskan mereka probabilitas 1. Ini akan menghemat kesulitan untuk berulang kali menulis kalimat kontingen B sebagai premis, karena P _γ [ A | B · C ] hanya akan sama dengan P _γ [ A | C ] kapanpun P _γ [ B | C ] = 1. Meskipun perangkat ini berguna, fungsi probabilitas semacam itu harus dianggap sebagai singkatan dari fungsi pendukung induktif yang tepat, logis eksplisit, non-enthymematic. Jadi, benar, fungsi pendukung induktif P _α tidak boleh menetapkan probabilitas 1 ke sebuah kalimat yang relatif terhadap semua kemungkinan premis kecuali jika kalimat itu salah (i) benar secara logis, atau (ii) sebuah aksioma teori himpunan atau beberapa bagian murni lainnya. matematika yang digunakan oleh ilmu pengetahuan, atau (iii) kecuali jika sesuai dengan interpretasi bahasa yang diasumsikan P _α , kalimatnya analitis , dan begitu berada di luar wilayah dukungan evolusioner. Dengan demikian, kita mengadopsi versi berikut dari apa yang disebut "aksioma keteraturan".

7. Jika, untuk semua C , P _α [ A | C ] = 1, maka A adalah kebenaran logis atau sebuah aksioma teori himpunan atau beberapa bagian dari matematika murni yang digunakan oleh ilmu pengetahuan, atau A secara analitis benar (sesuai dengan arti istilah L seperti yang ditunjukkan dalam P _α ) .

Ini lebih merupakan konvensi daripada sebuah aksioma. Diambil bersama dengan (6) ia mengatakan bahwa fungsi pendukung P _α dianggap tidak benar hanya hanya kalimat-kalimat yang memberi probabilitas 1 pada setiap premis.
Beberapa ahli logika Bayesian (misalnya, Carnap) berpikir bahwa logika induktif dapat dibuat bergantung hanya pada bentuk logika kalimat, seperti logika deduktif. Idenya adalah, secara efektif, untuk melengkapi aksioma 1-7 dengan aksioma tambahan yang hanya bergantung pada struktur logika kalimat, dan untuk mengenalkan cukup aksioma semacam itu untuk mengurangi jumlah fungsi pendukung yang mungkin ada pada satu fungsi konfirmasi unik yang unik. Sekarang disepakati secara luas bahwa proyek ini tidak dapat dilakukan dengan cara yang masuk akal. Mungkin ada aturan tambahan yang harus ditambahkan ke 1-7. Tapi diragukan aturan seperti itu bisa cukup untuk menentukan fungsi pendukung tunggal yang unik yang hanya berdasarkan struktur logis. Kita akan melihat mengapa di Bagian 3, tapi baru setelah melihat bagaimana probabilitas induktif menangkap hubungan antara hipotesis dan bukti.

2.3 Dua Konsepsi Probabilitas Induktif

Aksioma 1-7 untuk fungsi probabilitas bersyarat hanya menempatkan batasan formal pada apa yang mungkin benar dihitung sebagai tingkat fungsi pendukung . Setiap fungsi P _{α yang} memenuhi peraturan ini dapat dipandang sebagai cara yang memungkinkan untuk menerapkan gagasan dukungan induktif terhadap bahasa L yang menghormati makna istilah logis, sama seperti setiap kemungkinan penetapan nilai kebenaran untuk bahasa mewakili cara yang mungkin untuk menugaskan nilai-nilai kebenaran ke dalam kalimat-kalimatnya dengan cara yang menghormati peraturan semantik yang mengungkapkan makna dari istilah logis. Masalah tentang kemungkinan penugasan nilai kebenaran pada suatu bahasa mewakili kebenaran aktual atau kepalsuan dari kalimat-kalimatnya bergantung lebih dari ini-ini bergantung pada makna istilah-istilah non-logis dan keadaan dunia sebenarnya. Demikian pula, sejauh mana beberapa kalimat benar-benar mendukung orang lain dalam bahasa yang benar-benar berarti harus bergantung pada sesuatu yang lebih dari sekedar memuaskan aksioma untuk fungsi pendukung. Paling tidak, setidaknya bergantung pada apa arti kalimat bahasa itu, dan mungkin juga lebih banyak lagi. Tapi, apa lagi? Berbagai "interpretasi probabilitas", yang menawarkan laporan tentang bagaimana fungsi pendukung dapat dipahami, dapat membantu dengan mengisi konsepsi kita tentang dukungan induktif sebenarnya. Ada dua pandangan yang menonjol.

Satu bacaan adalah mengambil setiap P _α sebagai ukuran kemungkinan dunia, atau kemungkinan keadaan. Idenya adalah bahwa, diberi bahasa yang benar-benar bermakna (dan, mungkin relatif terhadap kecenderungan inferensial agen tertentu, α) ' P _α [ A | B ] = r 'mengatakan bahwa di antara dunia di mana B benar, A benar dalam proporsi rnya . Biasanya tidak akan ada satu cara istimewa untuk mendefinisikan ukuran seperti itu pada kemungkinan dunia. Sebaliknya, mungkin saja bahwa setiap dari sejumlah fungsi P _α , P _β , P _γ , ..., dll, yang memenuhi batasan yang diberlakukan oleh aksioma 1-7 dapat mewakili ukuran yang layak dari impor proposisi inferensial yang dinyatakan oleh kalimat-kalimat dari bahasa. Gagasan ini perlu lebih banyak lagi, tentu saja. Bagian selanjutnya akan memberi indikasi bagaimana hal itu bisa terjadi.
Subyekistik Bayesian menawarkan pembacaan alternatif mengenai fungsi pendukung. Pertama, mereka biasanya mengambil probabilitas tanpa syarat sebagai dasar, dan mereka mengambil probabilitas bersyarat sebagaimana didefinisikan dalam istilah ini: probabilitas bersyarat ' P _α [ A | B ] ' didefinisikan sebagai rasio probabilitas tanpa syarat, P _α [ A · B ] / P _α [ B ]. Subyekistik Bayesian mengambil setiap fungsi probabilitas tanpa syarat P _α untuk mewakili kekuatan kepercayaan atau kepercayaan-kekuatan dari agen rasional yang ideal, α. Pada pengertian ini ' P _α [ A ] = r ' mengatakan, "kekuatan kepercayaan α (atau kepercayaan diri) bahwa A adalah kebenaran adalah r ". Subyekistik Bayesian biasanya mengikat kekuatan keyakinan semacam itu dengan apa yang akan dipastikan agen akan bertaruh pada A berubah menjadi kenyataan. Kira-kira, idenya begini. Anggaplah sebuah agen rasional yang ideal α bersedia menerima taruhan yang akan menghasilkan (tidak kurang) $ u jika A ternyata benar dan akan kehilangan dia $ 1 jika A ternyata salah. Kemudian, dengan asumsi yang masuk akal tentang berapa banyak uang yang ia inginkan, dapat ditunjukkan bahwa kekuatan keyakinannya bahwa A benar seharusnya adalah P _α [ A ] = 1 / ( u +1). Dan selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa fungsi P _α yang mengekspresikan kekuatan kepercayaan terkait taruhan tersebut pada semua pernyataan dalam bahasa agen α harus memenuhi aksioma untuk probabilitas tanpa syarat yang serupa dengan aksioma 1-5. ^{[4 ]} Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa fungsi P _β yang memenuhi aksioma ini adalah fungsi kepercayaan rasional yang mungkin untuk beberapa agen rasional yang ideal β. Hubungan antara kekuatan keyakinan dan keinginan hasil (misalnya, mendapatkan uang atau barang pada taruhan) merupakan inti dari teori keputusan Bayesian subjektivis . Subyekistik Bayesian biasanya mengambil probabilitas induktif untuk menjadi gagasan tentang kekuatan keyakinan probabilistik ini .
Tidak diragukan agen nyata percaya beberapa klaim lebih kuat daripada yang lain. Dan, boleh dibilang, kekuatan kepercayaan agen sesungguhnya dapat diukur pada skala probabilistik antara 0 dan 1, setidaknya kira-kira. Dan dengan jelas, dukungan induktif untuk bukti hipotesis harus mempengaruhi kekuatan kepercayaan agen terhadap hipotesis tersebut. Namun, ada alasan bagus untuk berhati-hati dalam melihat fungsi dukungan induktif sebagai fungsi kekuatan kepercayaan Bayesian, seperti yang akan kita lihat nanti. Jadi, mungkin fungsi pendukung agen tidak begitu identik dengan fungsi kepercayaannya, dan mungkin hubungan antara dukungan induktif dan kekuatan kepercayaan agak lebih rumit.
Bagaimanapun, beberapa akun tentang fungsi dukungan apa yang seharusnya diwakili jelas dibutuhkan. Akun fungsi kepercayaan dan akun dunia yang mungkin ada dua upaya untuk menyediakannya. Mari kita letakkan masalah interpretatif ini untuk saat ini. Seseorang mungkin bisa mendapatkan pegangan yang lebih baik mengenai fungsi dukungan induktif apa adanya setelah seseorang melihat bagaimana logika induktif yang menarik pada mereka seharusnya bekerja.

3. Penerapan Probabilitas Induktif terhadap Evaluasi Hipotesis Ilmiah

Salah satu aplikasi logika induktif formal yang paling penting adalah konfirmasi atau penolakan hipotesis ilmiah. Logikanya harus menjelaskan dugaan dukungan evolusioner untuk segala macam hipotesis, mulai dari klaim diagnostik sederhana (misalnya, "pasien terinfeksi HIV") terhadap teori ilmiah tentang sifat dasar dunia, seperti mekanika kuantum atau teori relativitas. Sekarang kita akan melihat bagaimana fungsi pendukung (fungsi konfirmasi alias) mewakili logika konfirmasi hipotesis. Logika induktif semacam ini sering disebut sebagai Bayesian Confirmation Theory .

Pertimbangkan beberapa hipotesis dan teori yang saling bertentangan yang tidak saling terkait tentang beberapa materi pelajaran, { h ₁ , h ₂ , ...}. Pilihan alternatif mungkin sangat sederhana, misalnya, ("pasien memiliki HIV", "pasien bebas dari HIV"}. Atau, ketika dokter mencoba untuk menentukan mana di antara berbagai penyakit yang menyebabkan gejala pasien, hipotesis alternatif dapat terdiri dari daftar panjang kemungkinan penyakit. Bagi ahli kosmologis, alternatifnya bisa jadi daftar beberapa teori gravitasi alternatif, atau beberapa versi dari "teori yang sama". Bila logika induktif diperhatikan, bahkan versi yang sedikit berbeda dari teori yang diberikan akan dihitung sebagai teori yang berbeda jika berbeda dari aslinya dalam impor empiris. (Ini tidak boleh disalahartikan dengan klaim sebaliknya, yang merupakan pernyataan positif bahwa teori dengan konten empiris yang sama benar-benar teori yang sama. Logika induktif tidak mengharuskan Anda membelinya!)
Secara umum mungkin ada banyak alternatif yang jauh dari segi finitely atau tak terbatas. Mereka semua bisa dipertimbangkan sekaligus, atau mungkin dibangun dan dibandingkan dalam periode sejarah yang panjang. Seseorang bahkan mungkin memikirkan serangkaian hipotesis alternatif yang terdiri dari semua kemungkinan alternatif logis yang dapat diekspresikan dalam bahasa tertentu mengenai materi pelajaran tertentu - misalnya, semua teori kemungkinan asal usul dan evolusi alam semesta dapat dikenali dalam bahasa Inggris dan matematika. Meskipun menguji setiap kemungkinan alternatif dapat menimbulkan tantangan praktis, ternyata logika bekerja dengan cara yang sama dalam kasus ideal secara logis seperti pada kasus realistis.
Jika himpunan hipotesis alternatif terbatas, mungkin mengandung hipotesis catch-all h _K yang mengatakan bahwa tidak ada hipotesis lain yang benar (misalnya, "tidak ada penyakit lain yang diketahui hadir"). Bila hanya sejumlah hipotesis eksplisit eksplisit yang sedang dipertimbangkan, h _K hanyalah kalimat (~ h ₁ · ... · ~ h _u ).
Bukti untuk hipotesis ilmiah terdiri dari hasil percobaan atau pengamatan khusus. Untuk eksperimen atau observasi yang diberikan, mari ' c ' mewakili deskripsi kondisi yang relevan dimana hal itu dilakukan, dan misalkan ' e ' mewakili deskripsi hasilnya, hasil akhir dari kondisi c .
Hipotesis ilmiah sering membutuhkan mediasi pengetahuan latar belakang dan hipotesis tambahan untuk membantu mereka mengekspresikan klaim tentang bukti. Mari ' b ' mewakili semua hipotesis latar belakang dan tambahan yang tidak dipermasalahkan dalam penilaian hipotesis h _i , namun memediasi implikasinya terhadap bukti. Dalam kasus di mana hipotesis secara deduktif terkait dengan bukti, baik h _i · b · c ⊨ e atau h _i · b · c ⊨ ~ e .
Misalnya, _saya mungkin adalah Teori Gravitasi Newtonian. Uji teori mungkin melibatkan pernyataan kondisi c yang menjelaskan hasil beberapa pengukuran posisi Jupiter sebelumnya, dan menjelaskan cara pengukuran posisi berikutnya; deskripsi hasil menyatakan hasil pengukuran posisi tambahan ini; dan informasi latar belakang (atau hipotesis tambahan) b mungkin menyebutkan beberapa teori yang sudah dipastikan tentang cara kerja dan keakuratan perangkat yang digunakan untuk membuat pengukuran posisi. Bila dari h _i · b · c kita menghitung hasil e , entrisi logis berikut ini berlaku: h _i · b · c ⊨ e . Kemudian, jika ( c ) e ) terjadi, ini mungkin dianggap sebagai bukti yang baik untuk h _i , mengingat b , sebagai catatan hipotetis deduktif konfirmasi. Di sisi lain, ketika dari h _i · b · c kita menghitung beberapa hasil yang tidak sesuai dengan e , maka entrisi logika berikut ini berlaku: h _i · b · c ⊨ ~ e . Dalam hal ini dari logika deduktif saja, kita memiliki b. C · e ⊨ ~ h _i , dan h _saya dikatakan dipalsukan oleh b · c · e .
Duhem (1906) dan Quine (1953) umumnya dikreditkan dengan mengingatkan ahli logika induktif untuk pentingnya hipotesis tambahan. Mereka menunjukkan bahwa hipotesis ilmiah sering membuat sedikit kontak dengan bukti klaim mereka sendiri. Sebaliknya, kebanyakan hipotesis ilmiah hanya membuat prediksi yang dapat diuji dibandingkan dengan klaim latar belakang atau hipotesis tambahan yang mengikatnya dengan bukti tersebut. Biasanya auxiliaries adalah hipotesis yang sangat dipastikan dari domain ilmiah lainnya. Mereka sering menggambarkan karakteristik operasi dari berbagai perangkat (misalnya alat ukur) yang digunakan untuk melakukan pengamatan atau melakukan eksperimen. Mereka biasanya tidak dipermasalahkan dalam pengujian h _i terhadap pesaingnya, karena h _i dan alternatifnya biasanya bergantung pada hipotesis auxiliary yang sama untuk mengikatnya dengan bukti. Tetapi bahkan ketika sebuah hipotesis tambahan sudah dikonfirmasikan dengan baik, kita tidak bisa hanya menganggap bahwa itu tidak bermasalah, atau hanya diketahui benar . Sebaliknya, dukungan atau penolakan evolusionis terhadap hipotesis h _i relatif terhadap apa pun pelengkap dan informasi latar belakang (dalam b ) yang seharusnya. Dalam konteks lain hipotesis tambahan yang digunakan untuk menguji h _saya mungkin berada di antara kumpulan hipotesis alternatif yang tunduk pada dukungan atau penolakan evolusionis. (Selanjutnya, sejauh hipotesis persaingan menggunakan hipotesis tambahan yang berbeda dalam menghitung bukti, bukti hanya menguji setiap hipotesis tersebut bersamaan dengan bahan pembantunya yang berbeda terhadap hipotesis alternatif yang dikemas dengan bahan pembantu mereka yang berbeda.) Jadi, apa yang dianggap sebagai hipotesis diuji , dan, apa yang dihitung sebagai hipotesis tambahan dan informasi latar belakang, b , dan bahkan sampai batas tertentu, yang dihitung sebagai kondisi c untuk eksperimen atau pengamatan, akan bergantung pada konteks epistemik - pada hipotesis alternatif apa yang sedang diuji oleh percobaan atau pengamatan yang sama, dan pada klaim apa yang dianggap atau diputuskan untuk tujuan sekarang, dan klaim apa yang dianggap sebagai prasyarat c untuk hasil akhir e . Tidak ada pernyataan yang secara intrinsik merupakan hipotesis , atau secara intrinsik merupakan kondisi tambahan atau latar belakang , atau secara intrinsik merupakan suatu kondisi yang bersifat evidensial . Sebaliknya, pernyataan peran itu mungkin dimainkan dalam konteks epistemik, dan pernyataan yang sama mungkin memainkan peran yang berbeda dalam konteks konfirmasinya yang berbeda.
Dalam sebuah logika induktif probabilistik, sejauh mana bukti mendukung sebuah hipotesis h _i relatif terhadap latar belakang b diwakili oleh probabilitas posterior dari h _i , P _α [ h _i | b · c ⁿ · e ⁿ ]. Ternyata probabilitas posterior sebuah hipotesis bergantung hanya pada dua jenis faktor: (1) probabilitas sebelumnya , P _α [ h _i | b ] , bersama dengan probabilitas sebelumnya dari pesaingnya, P _α [ h _j | b ] , dll; dan (2) kemungkinan hasil evolusioner e menurut h _i , mengingat bahwa b dan c adalah benar, P [ e | h _i · b · c ] , bersama dengan kemungkinan hasil sesuai kompetitornya, P [ e | h _j · b · c ] , dll. Pada bagian ini, pertama-tama kita akan memeriksa masing-masing dari dua jenis faktor ini secara terperinci, dan kemudian melihat secara tepat bagaimana nilai probabilitas posterior bergantung padanya.

3.1 Kemungkinan

Dalam logika induktif probabilitas , kemungkinan membawa impor hipotesis empiris. Kemungkinan adalah fungsi pendukung probabilitas bentuk P [ e | h _i · b · c ]. Ini mengungkapkan seberapa besar kemungkinan bahwa hasil e akan terjadi sesuai dengan hipotesis h _i . ^{[ 5 ]} Jika hipotesis bersama dengan auxiliaries dan kondisi pengamatan secara deduktif memerlukan klaim bukti, aksioma probabilitas membuat tujuan yang sesuai dalam arti bahwa setiap fungsi pendukung harus menyetujui nilainya: yaitu, [ e | h _i · b · c ] = 1 jika h _i · b · c ⊨ e ; P [ e | h _i · b · c ] = 0 jika h _i · b · c ⊨ ~ e . Namun, dalam banyak kasus hipotesis _saya tidak akan secara deduktif terkait dengan bukti, namun hanya akan menyiratkannya secara probabilistik. Setidaknya ada dua cara yang mungkin terjadi. Entah _saya mungkin merupakan hipotesis statistik probabilistik atau eksplisit, atau mungkin juga hipotesis statistik tambahan, sebagai bagian dari latar belakang b , menghubungkan bukti _saya dengan buktinya. Mari kita simak contoh masing-masing.

Tes darah untuk HIV memiliki tingkat false-positive yang diketahui dan tingkat true-positive rate yang diketahui. Misalkan tingkat positif palsu adalah 0,05 - yaitu, tes tersebut secara tidak benar menunjukkan sampel darah menjadi positif untuk HIV pada 5% dari semua kasus di mana HIV tidak ada. Dan misalkan angka yang benar-benar positif adalah 0,99 - yaitu, tes dengan benar menunjukkan sampel darah menjadi positif untuk HIV pada 99% dari semua kasus di mana HIV benar-benar ada. Ketika darah pasien tertentu diuji, hipotesis yang sedang dipertimbangkan adalah 'pasien terinfeksi HIV', h , dan 'pasien tidak terinfeksi HIV', ~ h . Dalam konteks ini karakteristik uji yang diketahui berfungsi sebagai informasi latar belakang, b . Kondisi percobaan c hanya menyatakan bahwa pasien ini menjalani tes darah untuk HIV, yang diproses oleh laboratorium dengan cara yang biasa. Mari kita anggap bahwa hasilnya menyatakan bahwa hasilnya positif untuk HIV. Kemungkinan yang relevan adalah P [ e | h · b · c ] = 0,99 dan P [ e | ~ h · b · c ] = .05.
Dalam contoh ini, nilai-nilai kemungkinan sepenuhnya disebabkan oleh karakteristik statistik dari keakuratan pengujian, yang dibawa oleh informasi latar belakang b . Hipotesis yang diuji tidak bersifat statistik.
Situasi semacam ini mungkin, tentu saja, muncul untuk hipotesis yang jauh lebih kompleks. Hipotesis yang menjadi minat mungkin merupakan beberapa teori fisik deterministik, misalnya Newton Gravitation Theory. Beberapa percobaan yang menguji teori ini menyampaikan pengukuran yang agak tidak tepat yang telah mengetahui karakteristik kesalahan statistik, yang dinyatakan sebagai bagian dari latar belakang atau hipotesis tambahan b . Sebagai contoh, auxiliary b dapat menjelaskan karakteristik kesalahan dari alat yang mengukur torsi yang diberikan pada serat kuarsa, dimana torsi diukur digunakan untuk menilai kekuatan gaya gravitasi antara massa uji. Dalam hal ini b dapat mengatakan bahwa untuk jenis perangkat ini, kesalahan pengukuran terdistribusi normal mengenai nilai apa pun yang ditentukan oleh teori gravitasi, dengan beberapa standar deviasi tertentu yang merupakan ciri khas perangkat. Hal ini menghasilkan nilai spesifik untuk kemungkinan itu, P [ e | h _i · b · c ] = r _i , untuk masing-masing berbagai teori gravitasi alternatif yang sedang _saya uji.
Di sisi lain, hipotesis yang diuji mungkin bersifat statistik. Salah satu contoh hipotesis statistik yang paling sederhana dan peran mereka dalam kemungkinan adalah hipotesis tentang karakteristik kesempatan dari lemparan koin. Misalkan h _{[ r ]} adalah hipotesis yang mengatakan bahwa koin tertentu memiliki kecenderungan r (misalnya, 1/2) untuk menghasilkan kepala pada lemparan normal, dan lemparan tersebut secara probabilistik tidak tergantung satu sama lain. Misalkan c menyatakan bahwa koin dilemparkan n kali dengan cara biasa; dan biarkan e mengatakan bahwa pada lemparan koin ini datang kepala m kali. Dalam kasus seperti ini, nilai kemungkinan hasil pada hipotesis h untuk kondisi c diberikan oleh rumus binomial yang terkenal:

P [ e | h [ r ] · b · c ] =

n ! m ! × ( n - m )!

× r m (1- r ) n - m .

Ada, tentu saja, kemungkinan kasus yang lebih kompleks yang melibatkan hipotesis statistik. Pertimbangkan, misalnya, hipotesis bahwa plutonium 233 nuklei memiliki waktu paruh 20 menit - yaitu, kecenderungan nukleus Pu-233 yang membusuk dalam waktu 20 menit adalah 1/2. Hipotesis ini, h , bersama dengan latar belakang b tentang produk peluruhan dan efisiensi peralatan yang digunakan untuk mendeteksi mereka (yang mungkin merupakan hipotesis statistik tambahan), menghasilkan nilai yang dapat dihitung dengan tepat untuk kemungkinan P [ e _k | h · b · c ] hasil yang mungkin dari pengaturan eksperimental.
Kemungkinan yang muncul dari klaim statistik eksplisit - baik dalam hipotesis yang diuji, atau dari latar belakang statistik eksplisit yang mengklaim bahwa mengikat hipotesis dengan bukti - sering disebut kemungkinan inferensi langsung . Kemungkinan seperti itu benar-benar objektif. Jadi, tampaknya masuk akal untuk menganggap bahwa semua fungsi pendukung harus sesuai dengan nilai mereka, sama seperti semua fungsi pendukung menyetujui kemungkinan ketika bukti dicatat secara logis. Kemungkinan inferensi langsung masuk akal dalam arti yang diperluas dan tidak deduktif. Memang, beberapa ahli logika telah mencoba untuk menguraikan logika kesimpulan langsung dalam bentuk logis dari kalimat-kalimat yang terlibat. ^{[ 6 ]} Namun, terlepas dari apakah proyek itu berhasil, tampaknya masuk akal untuk mengambil kemungkinan jenis ini memiliki nilai yang sangat objektif atau sesuai dengan intersubyekif.
Tidak semua kemungkinan minat dalam konteks konfirmasi dijamin secara deduktif atau dengan klaim statistik yang dinyatakan secara eksplisit. Namun demikian, kemungkinan yang menghubungkan hipotesis dengan bukti dalam konteks ilmiah harus memiliki nilai objektif atau intersubjectively yang disepakati. Jadi, meskipun berbagai fungsi pendukung yang berbeda P _α , P _β , ..., P _γ , dan sebagainya, mungkin diperlukan untuk mewakili "kecenderungan induktif" yang berbeda dari berbagai anggota komunitas ilmiah, semua harus setuju, setidaknya kira-kira , pada nilai kemungkinan. Karena, kemungkinan mewakili kandungan empiris suatu hipotesis, apa hipotesisnya (bersama dengan latar belakang b ) secara probabilistik menyiratkan tentang bukti. Dengan demikian, objektivitas empiris sebuah sains bergantung pada tingkat objektivitas atau kesepakatan intersubjektif yang tinggi di kalangan ilmuwan mengenai nilai numerik dari kemungkinan.
Untuk melihat intinya lebih jelas, bayangkan seperti apa sains jika para ilmuwan tidak sependapat tentang nilai kemungkinan. Setiap praktisi menafsirkan sebuah teori untuk mengatakan hal yang sangat berbeda tentang seberapa besar kemungkinan pernyataan berbagai bukti tersebut ternyata benar. Sedangkan ilmuwan α mengambil teori untuk secara probabilistik menyiratkan bahwa kejadian itu sangat mungkin terjadi, koleganya β memahami impor empiris dari h ₁ untuk mengatakan bahwa e sangat tidak mungkin. Dan, sebaliknya, α mengambil teori persaingan h ₂ untuk secara probabilistik menyiratkan bahwa e sangat tidak mungkin, sedangkan β membaca h ₂ untuk mengatakan bahwa e sangat mungkin terjadi. Jadi, untuk α hasil evolusioner memberi dukungan kuat untuk h _{1 di} atas h ₂ , karena P _α [ e | h ₁ · b · c ] >> P _α [ e | h ₂ · b · c ]. Tapi rekannya β mengambil hasil untuk menunjukkan hal yang sebaliknya - bahwa h ₂ sangat didukung selama h ₁ - karena P _β [ e | h ₁ · b · c ] << P _β [ e | h ₂ · b · c ]. Jika hal semacam ini sering terjadi atau untuk klaim bukti yang signifikan dalam domain ilmiah, hal itu akan membuat berantakan objektivitas empiris sains itu. Ini akan benar-benar melemahkan testability empiris dari hipotesis dan teori-teorinya. Dalam keadaan seperti itu, walaupun masing-masing ilmuwan menggunakan kalimat teoritis yang sama untuk mengungkapkan teori tertentu, masing-masing memahami impor empiris dari kalimat-kalimat ini secara berbeda sehingga h seperti yang dipahami oleh α adalah teori yang secara empiris berbeda daripada yang dipahami oleh β. Dengan demikian, objektivitas empiris sains mensyaratkan bahwa para ahli harus sepakat secara dekat tentang nilai kemungkinannya. ^{[ 7 ]}
Untuk saat ini kita akan menduga bahwa kemungkinan memiliki nilai objektif atau intersubjectively yang disepakati, umum untuk semua agen di komunitas ilmiah. Mari kita tandai perjanjian ini dengan menjatuhkan subskrip 'α', 'β', dll, dari ungkapan yang mewakili kemungkinan. Orang mungkin khawatir bahwa anggapan ini terlalu kuat. Ada banyak konteks ilmiah yang sah di mana, walaupun para ilmuwan harus memiliki cukup pemahaman umum tentang hipotesis empiris dari hipotesis untuk memberikan nilai yang hampir sama terhadap kemungkinan, kesepakatan yang tepat mengenai nilai numerik tidak realistis. Poin ini benar. Jadi nanti kita akan melihat bagaimana cara mengendurkan anggapan bahwa nilai kemungkinan pasti sesuai. Tapi untuk saat ini ide utama dibalik logika induktif probabilistik akan lebih mudah dijelaskan jika kita fokus pada konteks tersebut yang objektif atau kemungkinan intersubjectively agree tersedia. Kemudian kita akan melihat bahwa logika yang sama terus berlaku dalam konteks di mana nilai kemungkinan mungkin agak tidak jelas, atau di mana anggota komunitas ilmiah tidak setuju sampai batas tertentu mengenai nilai-nilai mereka.
Perlakuan yang memadai terhadap kemungkinan panggilan untuk pengenalan satu perangkat notasional tambahan. Hipotesis ilmiah umumnya diuji dengan urutan eksperimen atau pengamatan yang dilakukan selama periode waktu tertentu. Untuk secara eksplisit mewakili akumulasi bukti, biarkan rangkaian kalimat c ₁ , c ₂ , ..., c _n , jelaskan kondisi di mana serangkaian percobaan atau pengamatan dilakukan. Dan biarkan hasil yang sesuai dari pengamatan ini diwakili oleh kalimat e ₁ , e ₂ , ..., e _n . Kami akan menyingkat konjungsi n deskripsi pertama dari kondisi eksperimental atau observasi sebagai ' c ⁿ ', dan menyingkat konjungsi uraian hasil mereka sebagai ' e ⁿ '. Kemudian, untuk pengamatan atau percobaan dan hasil mereka, kemungkinan terbentuknya P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = r , untuk r yang sesuai antara 0 dan 1. Dalam banyak kasus, kemungkinan arus bukti sama dengan produk kemungkinan hasil individual:

P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = P [ e ₁ | h _i · b · c ₁ ] × ... × P [ e _n | h _i · b · c _n ].

Bila kesetaraan ini memegang bit individu bukti dikatakan independen probabilistik pada hipotesis . Dalam hal berikut kemerdekaan semacam itu hanya akan diasumsikan di tempat-tempat yang secara eksplisit dipanggil.

3.2 Kemungkinan Posterior dan Kemungkinan Sebelumnya

Dalam logika probabilistik dukungan evolusioner, evaluasi hipotesis pada bukti diwakili oleh probabilitas posteriornya , P _α [ h _i | b · c ⁿ · e ⁿ ]. Probabilitas posterior mewakili kemungkinan masuk akal dari hipotesis yang dihasilkan dari bukti yang ada bersamaan dengan pertimbangan masuk akal yang relevan, yang harus disertakan dalam b . Kemungkinannya adalah sarana melalui mana bukti berkontribusi pada probabilitas posterior. Tapi faktor lain, probabilitas sebelumnya dari hipotesis berdasarkan pertimbangan yang dinyatakan dalam b , P _α [ h _i | b ], juga memberikan kontribusi. Ini mewakili berat semua pertimbangan masuk akal yang tidak dapat dibuktikan yang kemungkinan bergantung pada posterior. Ternyata probabilitas posterior hanya bergantung pada nilai (rasio) likelihood dan pada nilai (rasio) probabilitas sebelumnya.

Untuk memahami peran probabilitas sebelumnya , pertimbangkan contoh tes HIV yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Apa yang dokter dan pasien ingin ketahui adalah nilai probabilitas posterior P _α [ h | b · c · e ] bahwa pasien memiliki HIV, h , diberi bukti uji positif, c · e , dan diberi tingkat kesalahan pengujian, dijelaskan dalam b . Nilai probabilitas posterior ini tergantung pada kemungkinan (karena tingkat kesalahan) pasien ini mendapatkan hasil positif yang sebenarnya, P [ e | h · b · c ] = 0,99, dan mendapatkan hasil positif palsu, P [ e | ~ h · b · c ] = .05. Selain itu, nilai probabilitas posterior tergantung pada seberapa masuk akal bahwa pasien memiliki HIV sebelum hasil tes diperhitungkan, P _α [ h | b ]. Dalam konteks diagnosa medis ini probabilitas sebelumnya kadang disebut dengan base rate . Ini mewakili probabilitas bahwa pasien mungkin tertular HIV berdasarkan kelompok risikonya (misalnya, apakah dia pengguna narkoba suntik IV, melakukan hubungan seks tanpa kondom dengan banyak pasangan, dll.). Informasi semacam itu harus dinyatakan secara eksplisit, dan diwakili dalam b juga. Untuk melihat pentingnya, pertimbangkan hasil numerik berikut (yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang disebut Teorema Bayes ', yang disajikan pada bagian berikutnya). Jika tingkat dasar untuk kelompok risiko pasien relatif tinggi, katakanlah P _α [ h | b ] = .10, maka hasil tes positif menghasilkan probabilitas untuk HIV terhadap P _α [ h | b · c · e ] = .69. Namun, jika pasien berada dalam kelompok risiko sangat rendah, P _α [ h | b ] = 0,001, maka tes positif hanya meningkatkan kemungkinan infeksi HIV ke P _α [ h | b · c · e ] = .02. Probabilitas posterior ini jauh lebih tinggi daripada probabilitas sebelumnya, 001, tapi jangan terlalu khawatir pasiennya. Hasil tes positif ini lebih mungkin terjadi karena tingkat tes positif palsu dibandingkan dengan adanya HIV. (Uji semacam ini, dengan tingkat positif palsu yang besar, 0,05, paling baik digunakan sebagai tes skrining; hasil positif harus menghasilkan tes kedua yang lebih ketat dan lebih mahal.)
Dalam evaluasi evolusioner teori ilmiah, probabilitas sebelumnya sering mewakili penilaian oleh agen pembobotan masuk akal yang tidak evolusioner dan konseptual di antara hipotesis. Namun, karena penilaian masuk akal semacam itu cenderung bervariasi di antara agen, para kritikus sering merek mereka hanya subjektif , dan mengambil peran mereka dalam induksi probabilistik menjadi sangat bermasalah. Induktivis Bayesian menganggap bahwa penilaian semacam itu sering memainkan peran penting dalam sains, terutama bila tidak cukup bukti untuk membedakan beberapa hipotesis alternatif. Dan, mereka berpendapat, julukan hanya subjektif tidak beralasan. Penilaian masuk akal semacam itu sering didukung oleh argumen ekstensif yang dapat memanfaatkan pertimbangan konseptual yang kuat.
Pertimbangkan, misalnya, argumen masuk akal yang telah diajukan untuk menghadapi berbagai interpretasi teori kuantum (misalnya, yang terkait dengan masalah pengukuran). Argumen ini masuk ke inti isu konseptual yang penting bagi perkembangan teori ini. Memang, banyak dari masalah ini pertama kali diangkat oleh para ilmuwan yang memberikan kontribusi terbesar pada perkembangan teori tersebut, dalam usaha untuk mendapatkan teori tentang teorinya dan implikasinya. Argumen semacam itu tampaknya memainkan peran yang sah dalam penilaian pandangan alternatif saat membedakan bukti yang belum ditemukan.
Secara umum, ilmuwan sering membawa argumen masuk akal untuk memberi penilaian dalam menilai pandangan mereka. Meskipun argumen semacam itu jarang menentukan, mereka mungkin membawa masyarakat ilmiah ke dalam kesepakatan bersama secara luas, terutama mengenai ketidakmampuan beberapa alternatif yang mungkin secara logis. Hal ini tampaknya merupakan peran epistemis utama dari eksperimen pemikiran. Jadi, walaupun probabilitas sebelumnya mungkin subjektif dalam arti bahwa agen mungkin tidak setuju mengenai kekuatan argumen argumen yang masuk akal - dan sangat tidak setuju dengan perbedaan komparatif dari berbagai hipotesis - para pendeta yang digunakan dalam konteks ilmiah seharusnya tidak mewakili keinginan subjektif semata . Sebaliknya, mereka harus didukung (atau setidaknya dapat didukung) oleh argumen eksplisit mengenai hipotesis yang lebih masuk akal daripada yang lain. Peran penting penilaian masuk akal tampak jelas dalam hikmat ilmiah yang diterima seperti yang lama melihat bahwa klaim luar biasa memerlukan bukti yang luar biasa . Artinya, dibutuhkan bukti yang sangat kuat, dalam bentuk nilai rasio rasio yang sangat tinggi, untuk mengatasi nilai masuk akal yang sangat rendah yang dimiliki oleh beberapa hipotesis. Kita akan melihat secara tepat bagaimana ide ini bekerja di bagian selanjutnya, dan kembali lagi ke Bagian 3.5.
Bila bukti yang cukup kuat tersedia, ternyata penilaian masuk akal sebelumnya mungkin "dicuci" atau ditolak oleh bukti. Kita akan melihat bagaimana ini bekerja di Bagian 4 dan 5. Dengan demikian, penilaian masuk akal sebelumnya memainkan peran terpenting mereka ketika jenis bukti yang menentukan kemungkinan hipotesis masih terbilang jarang. Ini akan ditunjukkan bahwa dengan memberikan nilai probabilitas sebelumnya dari sebuah hipotesis yang benar tidak dinilai nol, karena bukti yang mengakumulasi pengaruh nilai probabilitas sebelumnya mungkin akan memudar saat bukti terakumulasi.
Beberapa ahli logika Bayesian (misalnya, Carnap) telah mempertahankan bahwa kemungkinan hipotesis posterior harus ditentukan dengan bentuk logis saja. Idenya adalah bahwa kemungkinan dapat ditetapkan secara wajar dalam bentuk logis; jadi jika bentuk logis dapat dibuat untuk menentukan nilai probabilitas sebelumnya juga, maka logika induktif akan sepenuhnya "formal" dengan cara yang sama seperti logika deduktif "formal". Keynes dan Carnap mencoba menerapkan gagasan ini melalui versi sintaksis dari prinsip ketidakpedulian - gagasan bahwa hipotesis serupa sintaksis harus diberi nilai probabilitas sebelumnya yang sama. Carnap menunjukkan bagaimana melaksanakan proyek ini secara rinci, namun hanya untuk bahasa formal yang sangat sederhana. Sebagian besar ahli logika sekarang menganggap bahwa proyek tersebut gagal karena cacat fatal dengan keseluruhan gagasan bahwa probabilitas awal yang masuk akal dapat dibuat bergantung pada bentuk logis saja. Konten semantik seharusnya penting. Goodmanian grue-predicates memberikan satu cara untuk mengilustrasikan intinya. ^{[ 8 ]} Lebih jauh lagi, seperti yang disarankan sebelumnya, agar gagasan ini diterapkan pada dukungan teori ilmiah yang sesungguhnya, para ilmuwan harus menilai probabilitas sebelumnya dari setiap teori alternatif yang hanya didasarkan pada struktur sintaksisnya. Hal itu tampaknya cara yang tidak masuk akal untuk melanjutkan. Apakah kita harus mengevaluasi probabilitas sebelumnya dari teori gravitasi alternatif, atau teori kuantum alternatif, dengan hanya mengeksplorasi struktur sintaksis mereka, sama sekali tidak memperhatikan isi semantik mereka - tanpa memperhatikan apa yang mereka katakan tentang dunia? Hal ini tampaknya merupakan pendekatan yang sangat meragukan terhadap evaluasi teori ilmiah yang sebenarnya. Struktur logis saja tidak bisa, dan seharusnya tidak cukup untuk menentukan nilai probabilitas sebelumnya yang masuk akal untuk teori ilmiah yang sebenarnya. Selain itu, hipotesis dan teori ilmiah yang sebenarnya tidak dapat dipungkiri tunduk pada pertimbangan masuk akal berdasarkan pada apa yang mereka katakan tentang dunia. Probabilitas sebelumnya sangat sesuai untuk mewakili pertimbangan pertimbangan masuk akal semacam itu, samar-samar sebagaimana adanya.
Kami akan kembali ke probabilitas sebelumnya sedikit. Tapi pertama mari kita lihat bagaimana kemungkinan menggabungkan dengan probabilitas sebelumnya untuk menghasilkan probabilitas posterior untuk hipotesis.

3.3 Teorema Bayes

Setiap logika induktif probabilistik yang mengacu pada aksioma teori probabilitas yang biasa untuk mewakili bagaimana bukti mendukung hipotesis harus menjadi logika induksi Bayesian dalam arti luas. Sebab, Teorema Bayes hanyalah teorema teori probabilitas sederhana. Kepentingannya adalah karena hubungan yang diungkapkannya antara hipotesis dan bukti. Teorema menunjukkan bagaimana, melalui kemungkinan, bukti digabungkan dengan probabilitas sebelumnya (penilaian masuk akal sebelumnya) untuk menghasilkan probabilitas posterior (nilai masuk akal anterior) untuk hipotesis. Dengan demikian, setiap logika evaluasi hipotesis semacam ini adalah Teori Konfirmasi Bayesian .

Sekarang mari kita periksa beberapa bentuk Teorema Bayes, masing-masing diturunkan dari aksioma 1-5. Yang paling sederhana adalah ini:

Teorema Bayes: Bentuk Sederhana

(8) P α [ h i | b · c n · e n ]	=	P [ e n | h i · b · c n ] × P α [ h i | b ] P α [ e n | b · c n ] × P α [ c n | h i · b ] P α [ c n | b ]
	=	P [ e n | h i · b · c n ] × P α [ h i | b ] P α [ e n | b · c n ] jika P α [ c n | h i · b ] = P α [ c n | b ]

Persamaan ini menunjukkan probabilitas posterior dari h _i , P _α [ h _i | b] c ⁿ · e ⁿ ] , dalam hal kemungkinan bukti pada hipotesis (bersama dengan kondisi latar belakang dan observasi), P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ], probabilitas sebelumnya dari hipotesis (mengingat kondisi latar belakang), P _α [ h _i | b ], dan probabilitas sederhana dari bukti (diberikan kondisi latar belakang dan observasi), P _α [ e ⁿ | b · c ⁿ ]. Probabilitas terakhir ini kadang disebut perkiraan bukti .
Versi Teorema Bayes ini juga mencakup sebuah istilah, ( P _α [ c ⁿ | h _i · b ] / P _α [ c ⁿ | b ]) , yang mewakili rasio kemungkinan kondisi eksperimental pada hipotesis dan latar belakang ke "kemungkinan" kondisi eksperimental di latar belakang saja. Teorema Bayes biasanya dinyatakan dengan cara yang menekan faktor ini dengan membangun c ⁿ ke latar belakang b . Namun, jika cn dibangun menjadi b , maka secara teknis b harus berubah karena bukti baru terakumulasi. Jadi lebih baik membuat faktor ini eksplisit dan melihat bagaimana mengatasinya secara logis. Arguably istilah ( P _α [ c ⁿ | h _i · b ] / P _α [ c ⁿ | b ]) harus 1, atau mendekati 1, karena kebenaran hipotesis yang dipermasalahkan seharusnya tidak mempengaruhi seberapa besar kemungkinannya adalah bahwa kondisi eksperimen terpenuhi. Jika berbagai hipotesis alternatif memberikan kemungkinan yang berbeda secara signifikan terhadap kondisi percobaan, maka kondisi tersebut harus lebih tepat disertakan dalam hasil evidence e ⁿ .
Kedua probabilitas sebelumnya dari hipotesis dan perkiraan cenderung menjadi faktor yang agak subyektif karena berbagai agen dari komunitas ilmiah yang sama mungkin secara sah tidak setuju dengan nilai apa yang harus diambil faktor-faktor ini. Logika Bayesian biasanya menerima subjektivitas probabilitas hipotesis sebelumnya, namun carilah subjektivitas dari harapan untuk lebih mengganggu. Hal ini setidaknya disebabkan oleh fakta bahwa dalam logika Bayesian tentang dukungan rahasia, nilai harapan tidak dapat terlepas dari kemungkinan dan probabilitas hipotesis sebelumnya. Artinya, ketika untuk setiap anggota dari satu set hipotesis alternatif, kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] memiliki nilai obyektif (atau intersubjective disepakati), ekspektasi dibatasi oleh persamaan berikut (di mana jumlahnya berkisar pada seperangkat hipotesis alternatif yang saling eksklusif dan lengkap { h ₁ , h ₂ , ..., h _m , ...}, yang mungkin terbatas atau tidak terbatas):

P _α [ e ⁿ | b. c ⁿ ] = Σ _j P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] × P _α [ h _j | b · c ⁿ ]
= Σ _j P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] × P _α [ h _j | b ]
jika c ⁿ tidak relevan untuk setiap hipotesis h _j diberikan b .

Persamaan ini menyiratkan bahwa nilai harapan harus terletak antara nilai terkecil dan terkecil dari berbagai kemungkinan karena hipotesis spesifik. Dan ini menunjukkan bahwa nilai untuk probabilitas sebelumnya bersama dengan nilai kemungkinan harus secara unik menentukan nilai untuk perkiraan bukti. Hasil ini mencerminkan gagasan bahwa, sesuai dengan fungsi pendukung evolusioner, bukti klaim tidak "hanya mungkin" sampai tingkat tertentu, terlepas dari hipotesis apa yang harus dikatakan. Sebaliknya, kemungkinan klaim bukti pada dasarnya tetap relatif terhadap hipotesis yang relevan. Namun, perkiraan hanya dapat dihitung dengan cara ini ketika setiap alternatif terhadap hipotesis h _i ditentukan. Dalam kasus di mana beberapa hipotesis alternatif tetap tidak ditentukan (atau belum ditemukan), ekspektasi dibatasi secara prinsip oleh totalitas hipotesis alternatif yang mungkin, namun tidak ada cara untuk mengetahui secara tepat nilai nilainya.
Permasalahan yang diangkat oleh perkiraan istilah bukti dapat dielakkan dengan mengajukan ke bentuk lain dari Teorema Bayes ', sebuah bentuk rasio yang membandingkan hipotesis satu per satu:

Teorema Bayes: Rasio Bentuk

(9)	P α [ h j | b · c n · e n ] P α [ h i | b · c n · e n ]	=	P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ] × P α [ h j | b ] P α [ h i | b ] × P α [ c n | h j · b ] P α [ c n | h i · b ]
		=	P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ] × P α [ h j | b ] P α [ h i | b ] jika P α [ c n | h j · b ] P α [ c n | h i · b ] = 1
		=	P [ e 1 | h j · b · c 1 ] P [ e 1 | h i · b · c 1 ] × ... × P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ] × P α [ h j | b ] P α [ h i | b ]

jika P _α [ c ⁿ | h _j · b ] / P _α [ c ⁿ | h _i · b ] = 1 dan relatif terhadap setiap hipotesis, peristiwa evakuasi bersifat probabilistik independen satu sama lain.

Kondisi ' P _α [ c ⁿ | h _j · b ] / P _α [ c ⁿ | h _i · b ] = 1 ' mengatakan bahwa c ⁿ tidak lebih mungkin terjadi pada h _i · b daripada pada h _j · b -ie, bahwa hipotesis tersebut tidak membuat terjadinya kondisi eksperimental atau pengamatan lebih mungkin daripada yang lain. ^{[ 9 ]}
Bentuk Rasio Teorema Bayes ini mengungkapkan betapa masuk akal, berdasarkan bukti, satu hipotesis daripada hipotesis lain. Perhatikan bahwa rasio kemungkinan membawa bukti impor penuh. Bukti tersebut mempengaruhi evaluasi hipotesis tidak lain. Satu-satunya faktor lain yang mempengaruhi nilai rasio probabilitas posterior adalah rasio probabilitas sebelumnya. Bila kemungkinan sepenuhnya objektif, subjektivitas apapun yang mempengaruhi rasio posteri hanya dapat timbul melalui subjektivitas dalam rasio pastor.
Teorema Bayes versi ini menunjukkan bahwa untuk mengevaluasi rasio probabilitas posterior untuk pasangan hipotesis, probabilitas hipotesis terdahulu tidak perlu dievaluasi secara mutlak; hanya rasio mereka yang dibutuhkan. Artinya, berkenaan dengan para prior, evaluasi hipotesis Bayesian hanya mengandalkan hipotesis yang lebih masuk akal daripada yang lain (karena pertimbangan yang diungkapkan dalam b ). Evaluasi hipotesis Bayesian semacam ini pada dasarnya bersifat komparatif karena hanya rasio kemungkinan dan rasio probabilitas sebelumnya yang benar-benar diperlukan untuk penilaian hipotesis ilmiah. Selanjutnya, kita akan segera melihat bahwa nilai absolut probabilitas hipotesis posterior seluruhnya berasal dari rasio probabilitas posterior yang diberikan oleh Formulir Rasio Teorema Bayes.
Mari pertimbangkan contoh sederhana bagaimana bentuk Rasio teorema dapat digunakan. Misalkan kita memiliki koin yang melengkung dan ingin menentukan kecenderungan kepalanya saat dilempar dengan cara biasa. Kita dapat membandingkan dua hipotesis, h _{[ q ]} dan h _{[ r ]} , yang mengusulkan bahwa kecenderungan koin untuk menghasilkan kepala pada jenis lemparan biasa adalah q dan r masing-masing. Misalkan c ⁿ melaporkan bahwa koin dilemparkan n kali dengan cara biasa, dan misalkan melaporkan kepala total. Misalkan hasil lemparan secara probabilistik independen terhadap masing-masing dari dua hipotesis, baris 3 dari Persamaan (9) menghasilkan persamaan berikut, di mana rasio kemungkinannya adalah rasio dari masing-masing istilah binomial:

P α [ h [ q ] | b · c n · e n ] P α [ h [ r ] | b · c n · e n ]

=

q m (1- q ) n - m r m (1- r ) n - m

×

P α [ h [ q ] | b ] P α [ h [ r ] | b ]

Ketika, misalnya, koin dilemparkan n = 100 kali dan muncul kepala m = 72 kali, bukti untuk hipotesis h _[1/2] dibandingkan dengan h _[3/4] diberikan oleh rasio kemungkinan [(1 / 2) ⁷² (1/2) ²⁸ ] / [(3/4) ⁷² (1/4) ²⁸ ] = .000056269. Jadi, bahkan jika sebelum bukti, pertimbangan masuk akal (dinyatakan dalam b ) membuatnya 100 kali lebih masuk akal bahwa koin itu adil daripada yang dilengkungkan ke arah kepala dengan kecenderungan 3/4-yaitu, bahkan jika P _α [ h _{[1 / 2]} | b ] / P _α [ h _[3/4] | b ] = 100 - bukti yang diberikan oleh lemparan ini membuat keabsahan posterior bahwa koin itu adil hanya sekitar 6/1000 sebagai hal yang masuk akal sebagai hipotesis bahwa ia melengkung ke arah kepala dengan kecenderungan 3/4 - yaitu, P _α [ h _{[ 1/2]} | b · c ⁿ · e ⁿ ] / P _α [ h _[3/4] | b · c ⁿ · e ⁿ ] = .0056269. Jadi, bukti semacam itu sangat membantah "hipotesis keadilan" terhadap hipotesis "3 / 4- heads -propensity", asalkan penilaian probabilitas sebelumnya (yaitu, kemacetan sebelumnya) tidak membuat hipotesis terakhir terlalu tidak masuk akal untuk dimulai dengan . Perhatikan, bagaimanapun, bahwa sanggahan yang kuat bukanlah sanggahan mutlak . Bukti tambahan dapat membalikkan kecenderungan ini terhadap penolakan kuat dari "hipotesis keadilan".
Contoh ini menggunakan pengulangan dari jenis yang sama dari percobaan yang berulang-ulang dari sebuah koin. Tapi intinya lebih ketat. Jika, karena bukti meningkat, rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] pendekatan 0, maka Bentuk Rasio Teorema Bayes, Persamaan 9, menunjukkan bahwa probabilitas posterior h _j harus mendekati 0 juga. Bukti tersebut datang dengan sangat membantah dengan sedikit memperhatikan nilai masuknya sebelumnya. Memang, induksi Bayesian ternyata merupakan versi induksi eliminatif , dan Persamaan 9 mulai menggambarkan hal ini. Sebab, anggaplah bahwa _saya adalah hipotesis yang benar, dan pertimbangkan apa yang terjadi pada masing - masing pesaing salahnya, h _j . Jika cukup bukti tersedia untuk mendorong masing-masing rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] terhadap 0 (sebagai n meningkat), maka Persamaan 9 mengatakan bahwa setiap false h _j akan menjadi efektif ditolak - masing-masing kemungkinan probabilitas posterior mereka 0. Akibatnya, probabilitas posterior dari h _i harus mendekati 1. Dua persamaan berikutnya menunjukkan dengan tepat bagaimana ini bekerja.
Jika kita menjumlahkan rasio versi Teorema Bayes dalam Persamaan 9 atas semua alternatif hipotesis ( _i) , jika kita memerlukannya), kita akan mendapatkan Teorema Bayangan Bayangan. Kemungkinan terhadap A yang diberikan didefinisikan sebagai Ω _α [~ A | B ] = P _α [~ A | B ] / P _α [ A | B ]. Jadi kita punya:

Teorema Bayes: Bentuk Odds

(10) Ω α [~ h i | b · c n · e n ] =	Σ j ≠ i	P α [ h j | b · c n · e n ] P α [ h i | b · c n · e n ]	+	P α [ h K | b · c n · e n ] P α [ h i | b · c n · e n ]
=	Σ j ≠ i	P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ]	×	P α [ h j | b ] P α [ h i | b ]
	+	P α [ e n | h K · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ]	×	P α [ h K | b ] P α [ h i | b ]

dimana faktor yang mengikuti tanda '+' hanya diperlukan jika ada hipotesis alternatif catch-all, h _K , diperlukan.

Perhatikan bahwa jika hipotesis tangkapan-semua diperlukan, kemungkinan bukti yang terkait dengannya pada umumnya tidak akan menikmati objektivitas yang sama seperti kemungkinan hipotesis spesifik dan positif . Kami meninggalkan subskrip α pada kemungkinan menangkap semua untuk menunjukkan kurangnya objektivitas ini.
Meskipun hipotesis catch-all mungkin kurang objektif, pengaruh dari catch-all term dalam teorema Bayes berkurang karena hipotesis positif tambahan diartikulasikan. Artinya, ketika hipotesis baru ditemukan, mereka "dikupas" dari tangkapan-semua. Jadi, ketika hipotesis baru h _{u +1} diformulasikan dan dibuat eksplisit, tangkapan lama-semua h _K digantikan oleh tangkapan baru semua, h _{K *} , bentuk (~ h ₁ · ... · ~ h _u · ~ h _{u +1} ); dan probabilitas sebelumnya untuk hipotesis catch-all baru didapat dengan mengurangi sebelum tangkapan lama-semua: P _α [ h _{K *} | b ] = P _α [ h _K | b ] - P _α [ h _{u +1} | b ]. Dengan demikian, pengaruh dari keseluruhan tangkapan-semua akan berkurang terhadap 0 karena hipotesis alternatif baru dibuat eksplisit. ^{[ 10 ]}
Jika bukti yang meningkat mendorong rasio kemungkinan yang membandingkan h _i dengan masing-masing pesaing terhadap 0, maka kemungkinan terhadap h _i , Ω _α [~ h _i | b. c ⁿ · e ⁿ ], akan mendekati 0 (asalkan prior dari catch-all terms, jika diperlukan, mendekati 0 dan juga hipotesis alternatif yang baru dibuat eksplisit dan dikelupas). Dan, sebagai Ω _α [~ h _i | b. c ⁿ · e ⁿ ] mendekati 0, probabilitas posterior dari h _i menuju 1. Hubungan antara kemungkinan terhadap h _i dan probabilitas posteriornya adalah:
Teorema Bayes: Bentuk Probabilistik Umum

(11) P _α [ h _i | b. c ⁿ · e ⁿ ] = 1 / (1 + Ω _α [~ h _i | b · c ⁿ · e ⁿ ]).
Kemungkinan terhadap hipotesis hanya bergantung pada nilai rasio probabilitas posterior , yang seluruhnya berasal dari Rasio Bentuk Teorema Bayes. Jadi, kita melihat bahwa nilai individual probabilitas hipotesis posterior hanya bergantung pada rasio probabilitas posterior , yang berasal dari Bentuk Rasio Teorema Bayes. Bentuk Rasio Teorema Bayes sepenuhnya menangkap fitur penting dari evaluasi hipotesis Bayesian. Ini menunjukkan bagaimana dampak bukti (dalam bentuk rasio likelihood) digabungkan dengan penilaian masuk akal komparatif hipotesis (dalam bentuk rasio probabilitas sebelumnya) untuk memberikan penilaian bersih sejauh mana hipotesis ditolak atau didukung melalui kontes dengan saingan mereka
Ada suatu hasil, semacam Bayesian Convergence Teorema , yang menunjukkan bahwa jika h _i (bersama dengan b · c ⁿ ) benar, maka rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] membandingkan hipotesis alternatif yang dapat dibedakan menjadi h _i sangat mungkin mendekati 0 karena bukti terakumulasi (yaitu, n meningkat). Mari kita sebut hasil ini sebagai Likelihood Ratio Convergence Teorema . Ketika teorema ini berlaku, Persamaan 9 menunjukkan bahwa probabilitas posterior pesaing palsu mungkin sangat mendekati 0 karena bukti terakumulasi, terlepas dari nilai probabilitas sebelumnyanya P _α [ h _j | b ]. Karena ini terjadi pada masing-masing pesaing palsu saya, Persamaan 10 dan 11 mengatakan bahwa probabilitas posterior hipotesis sebenarnya, h _i , akan mendekati 1 saat bukti meningkat. ^{[ 11 ]} Jadi, induksi Bayesian berada di bawah versi induksi dengan eliminasi , di mana penghilangan alternatif datang dengan cara rasio kemungkinan mendekati 0 sebagai bukti yang terakumulasi. Kami akan memeriksa Teorema Konvergensi Likelihood Ringkas secara rinci pada Bagian 5. ^{[ 12 ]}
Untuk lebih lanjut tentang Teorema Bayes lihat entri pada Teorema Bayes dan epistemologi Bayesian dalam Ensiklopedi ini.

3.4 Likelihood Rasio, Likelihoodism, dan Law of Likelihood

Versi Teorema Bayes yang disediakan oleh Persamaan 9-11 menunjukkan bahwa untuk logika induktif probabilistik, pengaruh pada probabilitas posterior dari hipotesis dari jenis bukti empiris dimana hipotesis menyatakan kemungkinan benar-benar ditangkap oleh rasio kemungkinan, P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ]. Bukti ( c ⁿ · e ⁿ ) mempengaruhi probabilitas posterior tanpa cara lain. Jadi, "Hukum" berikut ini adalah konsekuensi dari logika fungsi pendukung probabilistik.

Hukum Umum Kemungkinan :
Dengan adanya beberapa hipotesis yang tidak sesuai h _i dan h _j , kapanpun kemungkinan P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] dan P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] didefinisikan, bukti ( c ⁿ · e ⁿ ) mendukung h _i over h _j , diberikan b , jika dan hanya jika P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] > P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ]. Rasio kemungkinan P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] / P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] mengukur kekuatan bukti untuk h _i over h _j diberikan b .

Dua fitur undang-undang ini memerlukan beberapa penjelasan. Seperti yang dinyatakan, General Law of Likelihood tidak mengandaikan bahwa kemungkinan terbentuknya P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] dan P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] selalu didefinisikan . Kualifikasi ini diperkenalkan untuk mengakomodasi konsepsi dukungan evolusioner yang disebut Likelihoodism , yang sangat berpengaruh di kalangan ahli statistik. Juga, kemungkinan dalam undang-undang tersebut dinyatakan dengan subskala α yang dilampirkan untuk menunjukkan bahwa undang-undang berlaku untuk setiap fungsi pendukung induktif P _α , bahkan bila nilai kemungkinan tidak obyektif atau disetujui oleh semua agen dalam komunitas ilmiah tertentu. Kedua ciri hukum ini terkait erat, seperti yang akan kita lihat.
Setiap fungsi pendukung probabilistik memenuhi aksioma dari Bagian 2. Menurut aksioma ini probabilitas bersyarat dari satu kalimat di kalimat lain selalu didefinisikan. Jadi, dalam konteks logika induktif fungsi pendukung , kemungkinan selalu didefinisikan, dan klausa kualifikasi tentang hal ini dalam Hukum Umum Kemungkinan dipuaskan secara otomatis. Untuk fungsi pendukung induktif , semua versi teorema Bayes '(Persamaan 8-11) terus berlanjut meski kemungkinan tidak obyektif atau disepakati secara intersubektif oleh komunitas ilmiah. Dalam banyak konteks ilmiah, akan ada kesepakatan umum mengenai nilai kemungkinan; tetapi bila kesepakatan tersebut gagal, subskrip α, β, dan lain-lain harus tetap melekat pada kemungkinan fungsi pendukung untuk menunjukkan hal ini. Meski begitu, General Law of Likelihood terus berlaku untuk setiap fungsi pendukung.
Ada pandangan, atau keluarga pandangan, yang disebut likelihoodism yang berpendapat bahwa ahli logika induktif atau ahli statistik hanya harus peduli dengan apakah bukti tersebut memberikan dukungan yang meningkat atau menurun untuk satu hipotesis daripada hipotesis lain, dan hanya dalam kasus di mana penilaian ini didasarkan pada rasio kemungkinan yang benar - benar obyektif . (Kemungkinan besar termasuk Edwards (1972) dan Royall (1997), juga melihat Forster and Sober (2004) dan Fitelson (2007).) Bila kemungkinan yang terjadi adalah objektif, rasio P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] memberikan ukuran obyektif dan murni tentang seberapa kuat bukti mendukung h _i dibandingkan dengan h _j , ukuran yang "tidak ternoda" oleh pertimbangan masuk akal sebelumnya. Menurut kemungkinan, hanya jenis tindakan murni ini yang sesuai secara ilmiah untuk penilaian bagaimana bukti memengaruhi hipotesis. (Perlu dicatat bahwa statistik statistik klasik , yang terkait dengan RA Fisher (1922) dan dengan Neyman dan Pearson (1967), menolak klaim tentang sifat dukungan evolusioner yang dinyatakan oleh Hukum Umum Kemungkinan .)
Kemungkinan ahli berpendapat bahwa tidak tepat bagi ahli statistik untuk memasukkan asumsi tentang kemungkinan probabilitas hipotesis ke dalam penilaian dukungan evolusioner. Ini bukan tempat mereka untuk menghitung nilai probabilitas posterior yang direkomendasikan untuk komunitas ilmiah. Bila hasil eksperimen dipublikasikan, katakanlah di jurnal ilmiah, hanya kemungkinan tujuan yang harus dilaporkan. Evaluasi dampak kemungkinan obyektif terhadap probabilitas posterior agen bergantung pada probabilitas subyektif individu masing-masing agen, yang merupakan pertimbangan masuk akal yang tidak ada hubungannya dengan bukti. Jadi, kemungkinan ahli menyarankan, probabilitas posterior harus diserahkan kepada individu untuk dihitung, jika mereka ingin melakukannya.
Probabilitas kondisional antara kebanyakan pasangan kalimat gagal didefinisikan secara obyektif dengan cara yang sesuai dengan kemungkinan ahli. Jadi, bagi para likelihoodists, logika umum fungsi pendukung (ditangkap oleh aksioma Bagian 2) tidak dapat mewakili logika obyektif untuk dukungan evolusioner untuk hipotesis. Karena mereka menghindari logika fungsi pendukung, ahli kemungkinan tidak memiliki teorema Bayes ', dan karenanya tidak dapat memperoleh Hukum Kemungkinan dari hal itu. Sebaliknya, mereka harus menyatakan Hukum Kemungkinan sebagai sebuah aksioma dari logika induktif mereka, suatu aksioma yang hanya berlaku bila kemungkinan memiliki nilai obyektif yang didefinisikan dengan baik .
Likelihoodists cenderung memiliki konsepsi yang sangat ketat tentang apa yang diperlukan agar kemungkinan dapat didefinisikan dengan baik . Mereka mempertimbangkan kemungkinan untuk didefinisikan dengan baik hanya jika (apa yang kita sebut sebelumnya sebagai) kemungkinan inferensi langsung - yaitu, hanya jika salah satu, (1) hipotesis (bersama dengan kondisi latar belakang dan eksperimental) secara logis memerlukan data, atau (2) hipotesis (bersama-sama dengan latar belakang) secara logis memerlukan hipotesis statistik eksplisit eksplisit bahwa (bersama dengan kondisi eksperimental) menentukan probabilitas yang tepat untuk setiap peristiwa yang membentuk bukti.
Kemungkinan besar membandingkan hipotesis statistik sederhana dengan hipotesis statistik komposit , yang hanya memerlukan klaim samar, atau tidak tepat, atau terarah tentang probabilitas statistik kejadian evolusioner. Sedangkan hipotesis statistik sederhana mungkin mengatakan, misalnya, "kemungkinan kepala pada lemparan koin persisnya .65", sebuah hipotesis statistik gabungan mungkin mengatakan, "kemungkinan kepala pada lemparan adalah 0,65 atau 0,75", atau mungkin ini adalah hipotesis terarah yang mengatakan, "kemungkinan kepala di lemparan lempar lebih besar dari 0,65". Likelihoodists berpendapat bahwa hipotesis komposit bukanlah dasar yang tepat untuk kemungkinan yang terdefinisi dengan baik. Hipotesis tersebut merupakan semacam disjungsi hipotesis statistik sederhana. Hipotesis arah , misalnya, pada dasarnya adalah disjungsi dari berbagai hipotesis statistik sederhana yang menetapkan nilai spesifik di atas 0,65 terhadap kemungkinan kepala pada lemparan. Kemungkinan berdasarkan hipotesis semacam itu tidak tepat objektif oleh lampu-lampu dari kemungkinan karena mereka harus berlaku bergantung pada faktor-faktor yang mewakili sejauh mana hipotesis komposit mendukung masing-masing hipotesis statistik sederhana yang diliputi; dan kemungkinan ahli menganggap faktor-faktor semacam itu terlalu subjektif untuk diizinkan dalam logika yang hanya boleh mengizinkan kemungkinan objektif. ^{[ 13 ]}
Dengan mempertimbangkan semua ini, versi Hukum Kemungkinan yang sesuai dengan kemungkinan ahli dapat dinyatakan sebagai berikut.

Hukum Khusus Kemungkinan :
Dengan adanya hipotesis yang tidak sesuai h dan h yang menyiratkan model statistik sederhana mengenai hasil yang diberikan ( b · c ⁿ ), kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] dan P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] didefinisikan dengan baik. Untuk kemungkinan seperti itu, bukti ( c ⁿ · e ⁿ ) mendukung h _i over h _j , diberikan b , jika dan hanya jika P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] > P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ]; rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] mengukur kekuatan bukti untuk h _i over h _j diberikan b .

Perhatikan bahwa ketika salah satu versi Hukum Kemungkinan , ukuran absolut kemungkinan tidak relevan dengan kekuatan bukti. Semua yang penting adalah ukuran relatif dari kemungkinan untuk satu hipotesis dibandingkan dengan yang lain. Yaitu, misalkan c ₁ dan c ₂ adalah kondisi untuk dua eksperimen yang berbeda yang memiliki hasil e ₁ dan e ₂ , masing-masing. Misalkan e1 adalah 1000 kali lebih mungkin pada h _i (diberikan b · c ₁ ) daripada e ₂ pada h _i (diberikan b · c ₂ ); dan anggaplah bahwa e1 juga 1000 kali lebih mungkin pada h _j (diberikan b · c ₁ ) daripada e ₂ pada h _j (diberikan b · c ₂ ) -ie, misalkan P _α [ e ₁ | h _i · b · c ₁ ] = 1000 × P _α [ e ₂ | h _i · b · c ₁ ], dan P _α [ e ₁ | h _j · b · c ₁ ] = 1000 × P _α [ e ₂ | h _j · b · c ₂ ]. Bukti manakah, ( c ₁ · e ₁ ) atau ( c ₂ · e ₂ ), adalah bukti kuat yang berkaitan dengan perbandingan h _i to h _j ? Hukum Kemungkinan menyiratkan keduanya sama-sama kuat. Semua yang penting ternyata adalah rasio kemungkinan, dan keduanya sama: P _α [ e ₁ | h _i · b · c ₁ ] / P _α [ e ₁ | h _j · b · c ₁ ] = P _α [ e ₂ | h _i · b · c ₂ ] / P _α [ e ₂ | h _j · b · c ₂ ]. Dengan demikian, General Law of Likelihood menyiratkan prinsip berikut.

Prinsip Likelihood Umum :
Misalkan dua percobaan atau pengamatan yang berbeda (atau dua urutannya) c ₁ dan c ₂ menghasilkan hasil e1 dan e ₂ , masing-masing. Misalkan { h ₁ , h ₂ , ...} adalah himpunan hipotesis alternatif lainnya. Jika ada konstanta K sedemikian sehingga untuk setiap hipotesis h _j dari himpunan, P _α [ e1 | h _j · b · c ₁ ] = K × P _α [ e ₂ | h _j · b · c ₂ ] , maka impor barang bukti ( c ₁ · e ₁ ) untuk membedakan antara hipotesis dalam himpunan (diberikan b ) sama persis dengan impor barang bukti ( c ₂ · e ₂ ).

Demikian pula, Hukum Khusus Kemungkinan memuat Prinsip Kemungkinan Khusus yang sesuai yang hanya berlaku untuk hipotesis yang mengungkapkan model statistik sederhana. ^{[ 14 ]}
Sepanjang sisa artikel ini, kami tidak akan berasumsi bahwa kemungkinan harus didasarkan pada hipotesis statistik sederhana, karena kemungkinan mereka akan memilikinya. Namun, sebagian besar dari apa yang akan dikatakan tentang kemungkinan, terutama hasil konvergensi pada Bagian 5, juga berlaku untuk kemungkinan kemungkinan. Akan tetapi, kita akan terus menduga bahwa kemungkinan itu objektif dalam arti bahwa semua anggota komunitas ilmiah menyetujui nilai numerik mereka. Dalam Bagian 6 kita akan melihat bagaimana anggapan ini mungkin saja santai dalam konteks ilmiah dimana nilai obyektif untuk kemungkinan tidak tersedia secara realistis.

3.5 Tentang Penilaian Probabilitas Sebelumnya - dan Pernyataan Penilaian Wabah dan Beragam

Mengingat bahwa komunitas ilmiah harus menyetujui sebagian besar kemungkinan, ada ketidaksepakatan yang signifikan di antara mereka yang berkaitan dengan nilai probabilitas hipotesis posterior harus berasal dari ketidaksepakatan mengenai penilaian nilai mereka untuk probabilitas sebelumnya dari hipotesis tersebut. Kita melihat pada bagian 3.3 bahwa logika Bayesian tentang dukungan evolusioner hanya mengandalkan penilaian rasio probabilitas sebelumnya - seberapa jauh hipotesis yang masuk akal daripada yang lain. Lebih jauh lagi, mungkin dalam konteks ilmiah, nilai keabsahan komparatif untuk hipotesis harus bergantung pada argumen masuk akal eksplisit (dinyatakan dalam b ), bukan pada pendapat pribadi. (Akan sangat tidak ilmiah bagi anggota komunitas ilmiah untuk mengabaikan atau memberhentikan hipotesis yang diajukan anggota lain untuk menjadi usulan yang masuk akal hanya dengan komentar: "jangan meminta saya untuk memberikan alasan, itu hanya pendapat saya".) Meski begitu, agen mungkin tidak dapat menentukan secara tepat seberapa jauh argumen argumen masuk akal yang ada mendukung hipotesis mengenai alternatif; jadi rasio probabilitas sebelumnya untuk hipotesis mungkin tidak jelas. Selanjutnya, agen dalam komunitas ilmiah mungkin tidak setuju tentang seberapa kuat argumen masuk akal yang ada mendukung hipotesis mengenai hipotesis saingan; jadi rasio probabilitas sebelumnya mungkin agak beragam juga.
Baik ketidakjelasan nilai rasio masuk akal sebelumnya untuk agen individual dan keragaman nilai di antara komunitas agen dapat diwakili secara formal oleh serangkaian fungsi pendukung probabilistik, { P _α , P _β , ...}, yang menyetujui nilai kemungkinan tetapi mencakup berbagai nilai untuk (rasio) probabilitas hipotesis sebelumnya. Ketidakjelasan dan keragaman adalah isu yang agak berbeda, namun bisa diwakili dengan cara yang sama. Mari kita pertimbangkan masing-masing secara bergantian.
Penilaian dari beberapa kemungkinan sebelumnya dari hipotesis seringkali tidak jelas - tidak sesuai dengan jenis perlakuan kuantitatif yang tepat sehingga versi Bayesian dari logika induktif probabilistik tampaknya memerlukan adanya probabilitas sebelumnya. Jadi, kadang-kadang keberatan, jenis penilaian probabilitas sebelumnya yang diperlukan untuk mendapatkan algoritma Bayesian tidak dapat dilakukan dalam praktik. Untuk melihat bagaimana indentitas Bayesian mengatasi kekhawatiran ini, pertama-tama ingatlah bentuk Rasio Teorema Bayes, persamaan (9).

P α [ h j | b · c n · e n ] P α [ h i | b · c n · e n ]

=

P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ]

×

P α [ h j | b ] P α [ h i | b ]

Ingatlah bahwa Rasio Bentuk teorema ini menangkap fitur penting dari logika dukungan evolusioner, walaupun hanya memberikan nilai untuk rasio probabilitas posterior. (Kita akan melihat mengapa hal ini lebih detail dalam sekejap saja.)
Perhatikan bahwa rasio bentuk teorema dengan mudah mengakomodasi situasi di mana kita tidak memiliki nilai numerik yang tepat untuk probabilitas sebelumnya. Ini hanya tergantung pada kemampuan kita untuk menilai hipotesis hipotesis yang lebih atau kurang masuk akal daripada hipotesis h _i - hanya nilai rasio P _α [ h _j | b ] / P _α [ h _i | b ] perlu dinilai; nilai probabilitas individu sebelumnya tidak diperlukan. Kompleksitas komparatif semacam itu jauh lebih mudah dinilai daripada nilai masuk akal numerik sebelumnya untuk hipotesis individual. Bila dikombinasikan dengan rasio kemungkinan , rasio pastor ini cukup untuk menghasilkan penilaian terhadap rasio plausibabilitas posterior , P _α [ h _j | b · c ⁿ · e ⁿ ] / P _α [ h _i | b · c ⁿ · e ⁿ ] .
Meskipun rasio posterior semacam itu tidak memberikan nilai untuk probabilitas posterior individual, mereka menempatkan batasan penting pada dukungan posterior hipotesis h _j , karena

P α [ h j | b · c n · e n ] <

P α [ h j | b · c n · e n ] P α [ h i | b · c n · e n ]

=

P [ e n | h j · b · c n ] P [ e n | h i · b · c n ]

×

P α [ h j | b ] P α [ h i | b ]

Bentuk Rasio Teorema Bayes ini mentolerir banyak ketidakjelasan atau ketidaktepatan dalam penilaian rasio probabilitas sebelumnya. Dalam praktiknya, seseorang hanya perlu menilai batas rasio masuk akal sebelum ini untuk mencapai hasil yang berarti. Dengan rasio sebelumnya dalam interval tertentu,

q ≤ P _α [ h _j | b ] / P _α [ h _i | b ] ≤ r

rasio likelihood P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = LR ⁿ menghasilkan rasio konfirmasi posterior dalam interval

( LR ⁿ × q ) ≤ P _α [ h _j | b · c ⁿ · e ⁿ ] / P _α [ h _i | b · c ⁿ · e ⁿ ] ≤ ( LR ⁿ × r ).

Secara teknis setiap fungsi pendukung probabilistik memberikan nilai numerik tertentu pada masing-masing pasangan kalimat; jadi ketika kita menulis sebuah ketidaksetaraan seperti ' q ≤ P _α [ h _j | b ] / P _α [ h _i | b ] ≤ r ' kita benar-benar mengacu pada seperangkat fungsi probabilitas P _α , set binaan , yang mana ketidaksetaraannya berlaku. Jadi, secara teknis, logika Bayesian menggunakan seperangkat fungsi pendukung probabilistik untuk mewakili ketidakjelasan nilai keabsahan komparatif untuk hipotesis.

Perhatikan bahwa jika rasio likelihood memberi nilai LR ⁿ mendekati 0 karena jumlah bukti meningkat, interval nilai rasio probabilitas posterior menjadi lebih ketat karena batas atas ( LR ⁿ × r ) mendekati 0. Selanjutnya, tingkat absolut dari dukungan untuk h _j , P _α [ h _j | b · c ⁿ · e ⁿ ] , juga harus mendekati 0.
Pengamatan ini benar-benar berguna karena dapat ditunjukkan bahwa ketika h _i · b · c ⁿ benar dan h _j secara empiris berbeda dari h _i , pencarian bukti terus-menerus sangat mungkin menghasilkan hasil evidence yang ⁿ ( n meningkat) menghasilkan nilai rasio likelihood P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = LR ⁿ yang mendekati 0 seiring bertambahnya jumlah bukti. (Saya akan memberikan rincian dari Teorema Konvergensi Likelihood Rasio ini di bagian 5.) Bila itu terjadi, batas atas pada rasio probabilitas posterior juga mendekati 0, mendorong probabilitas posterior untuk mendekati 0, secara efektif menyangkal hipotesis h _j . Dengan demikian, pesaing palsu dari hipotesis yang benar akan efektif dieliminasi dengan meningkatkan bukti. Karena ini terjadi, persamaan (10) dan (11) menunjukkan bahwa probabilitas posterior P _α [ h _i | b. c ⁿ · e ⁿ ] dari hipotesis yang benar h _i pendekatan 1.
Jadi, dukungan induktif Bayesian untuk hipotesis adalah bentuk induksi eliminatif, di mana bukti tersebut secara efektif menolak alternatif salah terhadap hipotesis sebenarnya. Sifat eliminatif dukungan pendahuluan Bayesian tidak memerlukan nilai yang tepat untuk probabilitas sebelumnya. Ini hanya perlu mengacu pada perbandingan rasio masuk akal, dan batasan ini hanya memainkan peran penting sementara bukti tetap cukup jarang. Jika hipotesis sebenarnya masuk akal (karena argumen masuk akal yang terkandung dalam b ), maka penilaian masuk akal memberikannya alternatif tambahan. Jika hipotesis yang benar itu tidak masuk akal, penilaian masuk akal hanya memperlambat laju di mana ia mendominasi saingannya, yang mencerminkan gagasan bahwa hipotesis yang luar biasa memerlukan bukti luar biasa (atau akumulasi bukti yang luar biasa) untuk mengatasi ketidakmampuan awal mereka.
Jadi, sebagai bukti terakumulasi, penilaian masuk akal agen yang samar-samar berubah menjadi probabilitas posterior yang cukup tajam yang mengindikasikan penolakan atau dukungan kuat dari berbagai hipotesis. Secara intuitif hal ini tampaknya cukup masuk akal untuk mewakili bagaimana dukungan evolusioner harus berhasil.
Berbagai agen dalam sebuah komunitas mungkin secara luas tidak setuju mengenai kemerosotan hipotesis yang tidak dapat dibuktikan. Bayesian inductivists mungkin mewakili keragaman jenis ini di seluruh komunitas agen sebagai kumpulan ketidakjelasan agen. Mari kita sebut kumpulan kumpulan keragaman itu . Artinya, seperangkat keragaman hanyalah seperangkat fungsi pendukung P _α yang mencakup rentang nilai untuk penilaian masuk akal komparatif untuk pasangan hipotesis yang bersaing.

q ≤ P _α [ h _j | b ] / P _α [ h _i | b ] ≤ r

seperti yang dinilai oleh komunitas ilmiah berdasarkan argumen dan pertimbangan masuk akal (dinyatakan dalam b ).
Jadi, walaupun mungkin ada ketidaksepakatan di antara para agen mengenai rentang hipotesis komparatif sebelum komparatif, sebuah logika induktif probabilistik dapat dengan mudah mewakili keragaman ini. Selanjutnya, jika mengumpulkan bukti mendorong rasio kemungkinan ke ekstrem, rentang fungsi dalam rangkaian keragaman akan mendekati kesepakatan, mendekati 0 atau 1, dengan nilai probabilitas hipotesis posterior. Jadi, bukti tersebut tidak hanya menunjukkan kemacetan awal agen yang samar-samar, namun juga membawa keseluruhan masyarakat ke dalam kesepakatan mengenai penolakan para pesaing yang benar-benar berbeda dari hipotesis benar.
Dalam kondisi apa rasio kemungkinan terjadi pada ekstrem seperti bukti yang terakumulasi, secara efektif menghilangkan ketidakjelasan dan keragaman? Teorema Konvergensi Likelihood Rasio (yang dibahas secara rinci di Bagian 5) menyiratkan bahwa jika hipotesis yang benar tidak sesuai dengan alternatif salah mengenai kemungkinan hasil yang mungkin terjadi untuk eksperimen atau pengamatan yang cukup lama, maka arus bukti tersebut kemungkinan besar akan menghasilkan hasil aktual yang dorong rasio kemungkinan alternatif palsu dibandingkan dengan hipotesis yang benar untuk mendekati 0. Karena ini terjadi, hampir semua penilaian penilaian masuk akal sebelumnya akan didorong untuk menyetujui plausibabilitas posterior untuk hipotesis. Dengan demikian, bukti yang mengumpulkan akan sangat mungkin membawa semua fungsi pendukung dalam ketidakjelasan dan keragaman set untuk komunitas agen untuk mendekati kesepakatan mengenai nilai masuk akal posterior - mendekati 0 untuk pesaing palsu, dan mendekati 1 untuk hipotesis yang benar (atau untuk disjungsinya dengan alternatif empiris yang tidak dapat dibedakan).
Satu hal lagi tentang probabilitas sebelumnya dan konvergensi Bayesian harus disebutkan di sini. Beberapa versi subjektivitas induksi Bayesian tampaknya menunjukkan bahwa penilaian masuk akal agen sebelumnya untuk hipotesis harus tetap berlaku satu kali dan untuk semua, dan bahwa semua pembaharuan masuk akal harus diajukan melalui kemungkinan sesuai dengan Teorema Bayes '. Kritikus berpendapat bahwa ini tidak masuk akal. Anggota komunitas ilmiah mungkin secara sah merevitalisasi penilaian komparatif sebelumnya (perbandingan) sebelumnya untuk hipotesis dari waktu ke waktu saat mereka memikirkan kembali argumen masuk akal dan membawa pertimbangan baru untuk ditanggung. Hal ini tampaknya merupakan bagian alami dari perkembangan konseptual sebuah sains. Ternyata penilaian ulang para pendeta semacam itu tidak menimbulkan kesulitan untuk logika induktif probabilistik seperti yang telah saya jelaskan di sini. Penilaian ulang dapat dilakukan dengan menambahkan pernyataan eksplisit yang melengkapi atau memodifikasi informasi latar belakang b , dan mungkin juga berbentuk transisi (non-Bayesian) ke rangkaian ketidakjelasan baru untuk agen individual dan keragaman baru untuk masyarakat. Logika induksi Bayesian (seperti yang dijelaskan di sini) tidak ada yang perlu dikatakan tentang nilai apa yang harus dipertimbangkan penilaian sebelumnya untuk hipotesis; dan tidak ada batasan bagaimana mereka bisa berubah. Asalkan rangkaian penilaian ulang dari plausibilities sebelumnya tidak mendorong hipotesis sebelumnya yang mendekati nol, maka the Likelihood Ratio Convergence Teorema menyiratkan bahwa bukti tersebut kemungkinan besar akan membawa probabilitas posterior dari saingan sebenarnya dari hipotesis benar yang mendekati pendekatan 0 melalui rasio likelihood yang menurun; dan karena ini terjadi, probabilitas posterior dari hipotesis yang benar akan menuju ke arah 1.

4. Estimasi Bayesian dan Konvergensi untuk Induk Enumeratif

Pada bagian ini kita akan melihat bahwa untuk kasus khusus induksi probabilitas induktif probabilitas induktif memenuhi Kriteria Kecukupan (CoA) yang dinyatakan pada awal artikel ini. Artinya, dalam beberapa kondisi yang masuk akal, dengan jumlah bukti yang masuk akal, sejauh mana bukti tersebut mendukung hipotesis melalui induksi pencacahan sangat mungkin mendekati 1 untuk hipotesis yang benar. Kita sekarang akan melihat secara tepat bagaimana ini bekerja.

Ingatlah bahwa dalam induksi enumeratif, idenya adalah untuk menyimpulkan proporsi, atau frekuensi relatif , atribut dalam populasi dari seberapa sering atribut tersebut terjadi dalam sampel populasi. Contoh 1 dan 2 di awal artikel menggambarkan dua kesimpulan tersebut. Induksi enumeratif hanyalah kasus inferensi induktif yang agak khusus. Namun, kesimpulan seperti itu sangat umum, dan sangat patut diperhatikan. Mereka muncul, misalnya, dalam konteks pemungutan suara dan dalam banyak kasus lain dimana perkiraan populasi diperkirakan dari sampel. Kami akan menetapkan kondisi di mana kesimpulan tersebut menimbulkan probabilitas posterior yang sangat obyektif, probabilitas posterior yang sangat stabil pada berbagai penilaian wajar masuk akal sebelumnya. Artinya, kita akan mempertimbangkan semua fungsi pendukung induktif dalam ketidakjelasan agen yang ditetapkan V atau dalam keragaman komunitas yang ditetapkan D. Kita akan melihat bahwa di bawah beberapa anggapan yang sangat lemah tentang pembentukan V atau D , sejumlah data yang masuk akal akan membawa semua fungsi pendukung di rangkaian ini untuk menyetujui bahwa tingkat dukungan terdepan untuk hipotesis frekuensi tertentu sangat dekat. ke 1. Dan, kita akan melihat, sangat mungkin fungsi dukungan ini akan bertemu untuk menyetujui hipotesis yang benar.

4.1 Konvergensi terhadap Perjanjian

Misalkan kita ingin mengetahui frekuensi atribut A yang terjadi di antara anggota populasi B. Kami secara acak memilih sampel S dari B yang terdiri dari n anggota, dan menemukan bahwa itu berisi anggota yang menunjukkan atribut A. ^{[ 15 ]} Atas dasar bukti ini, apa probabilitas posterior p dari hipotesis bahwa proporsi sebenarnya (atau frekuensi) dari A antara B adalah di dalam wilayah tertentu R di sekitar proporsi sampel m / n ? Dan sejauh mana batas itu bergantung pada probabilitas sebelumnya dari berbagai kemungkinan hipotesis frekuensi alternatif. Secara umum, untuk ketidakjelasan atau keragaman tertentu , batas apa yang dapat kita tempatkan pada nilai p .

Letakkan lebih formal, kita meminta nilai p dan q apa yang mengikuti ketidaksetaraan berikut ini:

P _α [( m / n ) - q < F [ A , B ] <( m / n ) + q | b · F [ A , S ] = m / n · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ]> p ?

Ternyata kita hanya memerlukan anggapan yang sangat lemah tentang nilai probabilitas fungsi pendukung sebelumnya. P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman ditetapkan untuk melegitimasi kesimpulan semacam itu, dugaan yang hampir selalu berlaku dalam konteks induksi pencacahan.

Asumsi Ketetapan untuk Estimasi:
Ada suatu daerah R dari nilai yang mungkin di dekat sampel frekuensi m / n (misalnya, R adalah wilayah antara ( m / n ) - q dan ( m / n ) + q , untuk beberapa margin of error q of interest) sehingga Tidak ada hipotesis frekuensi di luar wilayah R yang pada awalnya lebih masuk akal daripada hipotesis frekuensi di dalam wilayah R.

Apa artinya tidak ada hipotesis frekuensi di luar wilayah R yang pada awalnya lebih masuk akal daripada hipotesis frekuensi di dalam wilayah R (di mana R adalah beberapa wilayah spesifik di mana frekuensi sampel, F [ A , S ] = m / n , kebohongan)? Gagasan utamanya adalah bahwa ada beberapa (mungkin sangat besar) yang terikat pada seberapa jauh hipotesis frekuensi yang masuk akal di luar wilayah R mungkin daripada hipotesis frekuensi di dalam wilayah R. Kami menyatakan kondisi ini dengan hati-hati dengan mempertimbangkan dua jenis kasus, tergantung pada apakah populasi B diketahui terbatas ukurannya oleh beberapa bilangan bulat spesifik (mungkin terlalu besar). (Kasus pertama akan lebih sederhana karena tidak menganggap bahwa fungsi pendukung yang terlibat mungkin dicirikan oleh fungsi kepadatan probabilitas, sedangkan kasus kedua menduga ini.)

Kasus 1. Misalkan ukuran populasi B terbatas. Kita tidak perlu tahu seberapa besar B itu. Kita hanya menduga bahwa untuk beberapa bilangan bulat positif yang paling tidak sebesar ukuran B , tapi mungkin akan berkali-kali lebih besar, kondisi berikut berlaku untuk semua fungsi pendukung P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang dipertimbangkan.
Ada beberapa faktor positif spesifik K (mungkin sangat besar, mungkin sebesar 1000, atau lebih besar) sehingga untuk setiap pasangan hipotesis bentuk F [ A , B ] = v / u di dalam wilayah R dan bentuk F [ A , B ] = w / u di luar wilayah R (di mana u , v , dan w adalah bilangan bulat non-negatif), hipotesis di luar wilayah R tidak lebih dari K kali lebih masuk akal daripada hipotesis di dalam wilayah R (diberikan pertimbangan masuk akal dalam b ) -ie, untuk semua rasio v / u di dalam wilayah R dan semua rasio v / u di luar wilayah R , P _α [ F [ A , B ] = w / u | b ] / P _α [ F [ A , B ] = v / u | b ] ≤ K.

Untuk kasus 1, kita juga berasumsi (karena tampaknya masuk akal) bahwa dengan tidak adanya informasi tentang frekuensi sampel yang diamati, klaim 'Acak [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ', bahwa sampel dipilih secara acak dan dari ukuran n , seharusnya tidak relevan dengan kemunculan awal kemungkinan frekuensi populasi - yaitu, kita anggap bahwa P _α [ F [ A , B ] = k / u | Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n · b ] = P _α [ F [ A , B ] = k / u | b ] untuk setiap bilangan bulat k dari 0 sampai u .

Kasus 2. Sebagai alternatif, anggaplah bahwa tidak ada bilangan bulat positif u yang sama besar dengan ukuran populasi B yang memenuhi persyaratan kasus 1. Tetapi anggaplah bahwa probabilitas sebelumnya dari berbagai hipotesis yang bersaing dapat diwakili (setidaknya sangat hampir ) dengan fungsi kepadatan probabilitas p _α [ F [ A , B ] = r | b ] -ie, untuk nilai-nilai tertentu v dan u , nilai P _α [ v < F [ A , B ] < u | b ] = ∫ _v ^u p _α [ F [ A , B ] = r | b ] dr , atau paling tidak sangat hampir begitu. Maka kita hanya perlu kondisi berikut untuk dipenuhi oleh semua fungsi pendukung P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang sedang dipertimbangkan.
Ada beberapa faktor positif spesifik K (mungkin sangat besar, mungkin sebesar 1000, atau lebih besar) sehingga untuk setiap pasangan hipotesis bentuk F [ A , B ] = r di dalam wilayah R dan bentuk F [ A , B ] = s di luar wilayah R (di mana r dan s adalah bilangan real non-negatif tidak lebih besar dari 1), nilai fungsi kepadatan probabilitas untuk hipotesis di luar wilayah R tidak lebih dari K kali lebih besar dari nilai probabilitas fungsi kepadatan untuk hipotesis di dalam wilayah R (diberikan pertimbangan masuk akal dalam b ), di mana fungsi kepadatan di dalam wilayah R tidak pernah kurang dari beberapa (mungkin sangat kecil) batas bawah positif - yaitu, untuk semua nilai r di dalam wilayah R dan semua nilai s daerah luar R , p _α [ F [ A , B ] = s | b ] / p _α [ F [ A , B ] = r | b ] ≤ K , di mana untuk semua r di dalam wilayah R , p _α [ F [ A , B ] = r | b ] ≥ g untuk beberapa kecil g > 0.

Untuk kasus 2 kita juga mengasumsikan (seperti tampaknya masuk akal) bahwa dengan tidak adanya informasi tentang frekuensi sampel yang diamati, klaim 'Acak [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ', bahwa sampel dipilih secara acak dan dari ukuran n , seharusnya tidak relevan dengan kemunculan awal kemungkinan frekuensi populasi - yaitu, khususnya, kita menganggap bahwa untuk setiap fungsi kepadatan probabilitas p _{α yang} dipertimbangkan, p _α [ F [ A , B ] = q | Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n · b ] = p _α [ F [ A , B ] = q | b ] untuk bilangan real q dari 0 sampai 1.
Bila salah satu dari kedua Kasus ini dipegang, mari kita katakan bahwa untuk fungsi pendukung P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman ditetapkan , probabilitas sebelumnya adalah K yang dibatasi terhadap wilayah R. Kemudian kita memiliki teorema berikut tentang induksi pencacahan, yang menunjukkan bahwa probabilitas posterior bahwa frekuensi sebenarnya harus berada di dalam wilayah kecil R di sekitar frekuensi sampel m / n dengan cepat mendekati 1 karena ukuran sampel n menjadi besar.

Teorema: Teorema Estimasi Frekuensi : 
Misalkan, untuk semua fungsi pendukung P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang dipertimbangkan, probabilitas sebelumnya adalah K dibatasi terhadap daerah R , di mana daerah R mengandung fraksi m / n (untuk bilangan bulat positif n dan bilangan bulat non-negatif m ≤ n ). Kemudian, untuk semua fungsi pendukung P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman ,

P _α [ F [ A , B ] ∈ R | b · F [ A , S ] = m / n · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ]

≥ 1 / (1 + K × [(1 / β [ R , m +1, n - m +1]) - 1]).

Untuk daerah tertentu R yang mengandung frekuensi sampel m / n , batas bawah ini mendekati 1 dengan cepat seiring n meningkat.

Ekspresi 'β [ R , m +1, n - m +1]' mewakili fungsi distribusi beta dengan parameter m +1 dan n - m +1 dievaluasi di wilayah R. Menurut definisi β [ R , m +1, n - m +1] = ∫ _R r ^m (1- r ) ^{n - m} dr / ∫ ₀ ¹ r ^m (1- r ) ^{n - m} dr . Bila daerah R mengandung selang sekitar m / n , nilai fungsi ini adalah pecahan yang mendekati 1 untuk n besar. Sejenak kita akan melihat beberapa ilustrasi konkret implikasi dari teorema ini untuk nilai spesifik m dan n dan daerah tertentu R.
Nilai fungsi distribusi beta dapat dihitung dengan mudah menggunakan versi fungsi yang disertakan dengan sebagian besar program matematika dan spreadsheet. Versi fungsi yang diberikan oleh program semacam itu biasanya berbentuk BETADIST (x, y, z) , yang menghitung nilai distribusi beta dari 0 sampai x, dan di mana y dan z adalah "parameter distribusi" . Untuk tujuan kita, di mana sampel S dari n pilihan dari hasil B yang menunjukkan A s, parameter ini harus m +1 dan n - m +1. Jadi jika daerah R yang menarik (dimana frekuensi sampel m / n terletak) adalah antara nilai v dan u (di mana v adalah batas bawah pada daerah R dan u adalah batas atas pada daerah R ), maka programnya harus diminta untuk menghitung nilai β [ R , m +1, n - m +1] = ∫ _v ^u r ^m (1 - r ) ^{n - m} dr / ∫ ₀ ¹ r ^m (1- r ) ^{n - m} dr dengan memilikinya menghitung BETADIST [ u , m +1, n - m +1] - BETADIST [ v , m +1, n - m +1] . Jadi, agar program matematika atau spreadsheet Anda menghitung nilai yang lebih rendah pada nilai
P _α [ v ≤ F [ A , B ] ≤ u | b · F [ A , S ] = m / n · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ]
untuk batas atas atas K (pada seberapa jauh awalnya masuk akal, frekuensi populasi sebenarnya berada di luar wilayah antara v dan u daripada frekuensi sebenarnya terletak di wilayah itu), Anda mungkin bisa dengan mudah menempelkannya. berikut ungkapan ke dalam program Anda dan kemudian masukkan nilai yang diinginkan untuk K , u , v , m , n dalam ungkapan ini:

1 / (1 + K * ((1 / (BETADIST ( u , m +1, n - m +1) -BETADIST ( v , m +1, n - m +1)) - 1))

Dalam banyak kasus nyata, pada awalnya tidak mungkin lebih masuk akal bahwa nilai frekuensi sebenarnya berada di luar wilayah yang diminati antara v dan u daripada yang ada di wilayah tersebut. Dalam kasus seperti itu, atur nilai K menjadi 1. Namun, Anda akan menemukan bahwa untuk ukuran sampel yang cukup besar n , fungsi ini menghasilkan nilai yang sangat mirip untuk semua nilai K yang mungkin dapat Anda coba, walaupun nilai K cukup banyak. besar. (Kita akan melihat contoh fakta ini di tabel yang dihitung di bawah ini.)
Teorema ini menyiratkan bahwa untuk sampel besar, nilai probabilitas sebelumnya tidak terlalu penting. Dengan adanya bukti tersebut, beragam fungsi pendukung induktif bervariasi akan sesuai dengan probabilitas posterior tinggi bahwa proporsi atribut A pada populasi B sangat dekat dengan frekuensi sampel. Dengan demikian, semua fungsi pendukung dalam ketidakjelasan atau keragaman tersebut mendekati kesepakatan. Mari kita lihat beberapa contoh numerik untuk menjelaskan seberapa kuat hasil ini sebenarnya.
Bagian pertama dari artikel ini memberikan dua contoh kesimpulan induktif enumeratif. Pertimbangkan Contoh 1. Anggaplah ' B ' mewakili populasi semua gagak. Mari ' A ' mewakili kelas burung gagak hitam. Sekarang perhatikan hipotesis dari bentuk ' F [ A , B ] = r ' untuk r dalam interval antara 0,99 dan 1. Koleksi hipotesis ini mencakup klaim bahwa "semua gagak berwarna hitam" bersama dengan hipotesis alternatif yang mengklaim frekuensi menjadi hitam di antara burung gagak berada di dalam 0,01 dari 1. Alternatif untuk hipotesis ini hanyalah teori yang menyatakan ' F [ A , B ] = s ' untuk nilai s di bawah 0,99.
Misalkan tidak ada fungsi pendukung yang ditunjukkan dalam ketidakjelasan atau keragaman yang ditetapkan di bawah tingkat pertimbangan, kemungkinan masuk akal dari hipotesis ' F [ A , B ] = s ' dengan s kurang dari 0,99 lebih dari dua kali lebih masuk akal seperti hipotesis ' F [ A , B ] = r ' dimana r adalah antara 0,99 dan 1. Yaitu, misalkan, untuk setiap P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang dipertimbangkan, kemantapan sebelumnya P _α [ F [ A , B ] = s | b ] untuk hipotesis dengan s di bawah 0,99 tidak lebih dari K = 2 kali lebih besar dari pada sebelumnya masuk akal P _α [ F [ A , B ] = r | b ] untuk hipotesis dengan r antara 0,99 dan 1. Kemudian, berdasarkan bukti 400 burung gagak yang dipilih secara acak berkenaan dengan warna, teorema menghasilkan batas berikut untuk semua P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang ditetapkan:
P _α [ F [ A , B ]> .99 | b · F [ A , S ] = 1 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = 400] ≥ .9651.
Tabel berikut menjelaskan hasil yang serupa untuk batas atas lainnya K pada nilai rasio probabilitas sebelumnya dan ukuran sampel lainnya n :

Tabel 1 : Nilai batas bawah p pada probabilitas posterior

m / n = 1 F [ A , B ]> .99		Contoh-Ukuran = n (jumlah A s dalam Contoh B s = m = n )
Rasio Sebelum K ↓		400	800	1600	3200
1		0,9822	0,9997	1.0000	1.0000
2		0,9651	0,9994	1.0000	1.0000
5		0,9170	0,9984	1.0000	1.0000
10		0,8468	0,9968	1.0000	1.0000
100		0,3560	0,9691	1.0000	1.0000
1.000		0,0524	0,7581	0,9999	1.0000
10.000		0.0055	0.2386	0,9990	1.0000
100.000		0.0006	0,0304	0,9898	1.0000
1.000.000		0.0001	0.0031	0,9068	1.0000
10.000.000		0.0000	0.0003	0,4931	1.0000

P _α [ F [ A , B ]> 99 | b · F [ A , S ] = 1 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ] ≥ p , untuk kisaran Sample-Sizes n (dari 400 sampai 3200), bila probabilitas sebelumnya setiap hipotesis frekuensi spesifik di luar wilayah antara 0,99 dan 1 tidak lebih dari K kali lebih banyak daripada probabilitas terendah sebelumnya untuk hipotesis frekuensi tertentu di dalam wilayah antara 0,99 dan 1.

(Semua probabilitas dengan entri '1.0000' dalam tabel ini dan yang berikutnya benar-benar memiliki nilai sedikit kurang dari satu, tapi hampir sama dengan 1.0000 sampai empat tempat desimal yang signifikan.)
Untuk melihat apa yang dikatakan tabel, pertimbangkan baris ketiga ke baris terakhir. Ini mewakili apa yang terjadi bila ketidakjelasan atau keragaman diatur setidaknya beberapa fungsi pendukung yang menetapkan probabilitas sebelumnya (yaitu, kemacetan sebelumnya) hampir seratus ribu kali lebih tinggi dari beberapa hipotesis yang menyatakan frekuensi tidak antara 0,99 dan 1 daripada yang diberikan pada hipotesis yang menyatakan frekuensi antara 0,99 dan 1. Tabel menunjukkan bahwa bahkan dalam kasus seperti itu, sampel acak dari 1600 gagak hitam akan, bagaimanapun, menarik tingkat keabsahan posterior bahwa "frekuensi sebenarnya di atas 0,99" pada nilai di atas 0,9898, untuk setiap fungsi pendukung di set. Dan jika ketidakjelasan atau keragaman itu mengandung fungsi pendukung yang memberi bobot lebih ekstrim lagi, katakanlah, prior yang hampir sepuluh juta kali lebih tinggi untuk beberapa hipotesis yang menyatakan frekuensi di bawah 0,99 daripada untuk hipotesis dalam 0,99 dari 1 (baris terakhir tabel), ini tidak menimbulkan masalah besar bagi konvergensi-to-agreement. Sampel acak dari 3200 ekor burung gagak hitam akan menghasilkan probabilitas posterior (yaitu, plausibensi posterior) yang tidak dapat dibedakan dari 1 untuk klaim bahwa "lebih dari 99% dari semua burung gagak berwarna hitam".
Dukungan yang kuat dapat diperoleh untuk hipotesis yang lebih sempit mengenai persentase burung hitam di antara burung gagak. Tapi ukuran sampel yang lebih besar diperlukan untuk ini. Untuk contoh tambahan, lihat dokumen tambahan

Tighter Borders pada Margin of Error .

Sekarang perhatikan contoh kedua dari induksi enumeratif yang diberikan pada awal artikel ini, yang melibatkan jajak pendapat tentang preferensi pemilih presiden. Probabilitas posterior untuk contoh ini mengikuti pola yang serupa dengan contoh pertama. Mari ' B ' mewakili kelas semua pemilih terdaftar pada tanggal 20 Februari 2004, dan membiarkan ' A ' mewakili mereka yang lebih memilih Kerry dari Bush. Pada sampel S (diambil secara acak dari B dengan A ) yang terdiri dari 400 pemilih, 248 melaporkan preferensi untuk Kerry mengenai Bush - yaitu, F [ A , B ] = 248/400 = .62. Misalkan, karena nampaknya masuk akal, bahwa tidak satu pun fungsi pendukung dalam ketidakjelasan atau keragaman yang ditetapkan di bawah tingkat pertimbangan hipotesis ' F [ A , B ] = r ' untuk nilai r di luar interval 0,62 ± 0,05 karena lebih awalnya masuk akal daripada Mereka menilai hipotesis frekuensi alternatif yang memiliki nilai r dalam interval ini. Artinya, untuk setiap P _{α yang} sedang dipertimbangkan, probabilitas sebelumnya P _α [ F [ A , B ] = s | b ] bila s tidak dalam 0,62 ± 0,05 tidak pernah lebih dari K = 1 kali lebih besar dari probabilitas sebelumnya P _α [ F [ A , B ] = r | b ] untuk hipotesis yang memiliki r dalam 0,62 ± 0,05. Kemudian, teorema menghasilkan batas bawah berikut pada peringkat masuk akal posterior, untuk semua P _α dalam ketidakjelasan atau keragaman yang dipertimbangkan:

P _α [.57 < F [ A , B ] <.67 | b · F [ A , S ] =. 62 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = 400] ≥ .9614.

Tabel berikut memberikan hasil yang sama untuk ukuran sampel lainnya, dan untuk batas atas pada rasio probabilitas sebelumnya yang mungkin jauh lebih besar dari 1. Sebagai tambahan, tabel ini menunjukkan apa yang terjadi saat kita mengencangkan interval di sekitar hipotesis frekuensi yang didukung. 62 ± 0,025-artinya menunjukkan batas pada dukungan untuk hipotesis .595 < F [ A , B ] <.645 juga:

Tabel 2 : Nilai p terikat bawah pada probabilitas posterior

m / n = .62	F [ A , B ] = m / n ± q		Contoh-Ukuran = n (jumlah A s dalam Contoh B s = m : dimana m / n = 0,62)
Rasio Sebelum K ↓	q = .05 atau .025		400 (248)	800 (496)	1600 (992)	3200 (1984)	6400 (3968)	12800 (7936)
1	.05 → .025 →		0,9614 0,6982	0,9965 0,8554	1.0000 0,9608	1.0000 0,9964	1.0000 1.0000	1.0000 1.0000
2	.05 → .025 →		0,9256 0,5364	0,9930 0,7474	0,9999 0,9246	1.0000 0,9929	1.0000 0,9999	1.0000 1.0000
5	.05 → .025 →		0,8327 0,3163	0,9827 0,5420	0,9998 0,8306	1.0000 0,9825	1.0000 0,9998	1.0000 1.0000
10	.05 → .025 →		0,7133 0,1879	0,9661 0,3717	0,9996 0,7103	1.0000 0,9656	1.0000 0,9996	1.0000 1.0000
100	.05 → .025 →		0.1992 0,0226	0,7402 0,0559	0,9963 0,1969	1.0000 0,7371	1.0000 0,9962	1.0000 1.0000
1.000	.05 → .025 →		0,0243 0.0023	0.2217 0.0059	0,9639 0,0239	1.0000 0,2190	1.0000 0,9637	1.0000 1.0000
10.000	.05 → .025 →		0.0025 0.0002	0,0277 0.0006	0,7277 0.0024	0,9999 0,0273	1.0000 0,7261	1.0000 0,9999
100.000	.05 → .025 →		0.0002 0.0000	0.0028 0.0001	0.2109 0.0002	0,9994 0.0028	1.0000 0,2096	1.0000 0,9994
1.000.000	.05 → .025 →		0.0000 0.0000	0.0003 0.0000	0,0260 0.0000	0,9940 0.0003	1.0000 0,0258	1.0000 0,9943
10.000.000	.05 → .025 →		0.0000 0.0000	0.0000 0.0000	0.0027 0.0000	0,9433 0.0000	1.0000 0.0026	1.0000 0,9457

P _α [.62- q < F [ A , B ] <.62+ q | F [ A , S ] = .62 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ] ≥ p , untuk dua nilai q (.05 dan .025) dan kisaran Sample-Sizes n dari 400 sampai 12800), ketika probabilitas sebelumnya dari hipotesis frekuensi tertentu di luar 0,62 ± q tidak lebih dari K kali lebih banyak daripada probabilitas terendah sebelumnya untuk hipotesis frekuensi tertentu di dalam 0,62 ± q .

Perhatikan bahwa bahkan jika ketidakjelasan atau keragaman diatur mencakup kemacetan sebelumnya hampir sepuluh juta kali lebih tinggi untuk hipotesis yang menyatakan nilai frekuensi di luar 0,62 ± 0,25 daripada untuk hipotesis yang menyatakan frekuensi di dalam 0,62 ± 0,25, sampel acak dari 12800 pemilih terdaftar akan, bagaimanapun, membawa nilai masuk akal posterior lebih besar dari 0,9457 untuk klaim bahwa "frekuensi sebenarnya preferensi untuk Kerry atas Bush di antara semua pemilih terdaftar ada di dalam 0,62 ± 0,025", untuk semua fungsi pendukung P _α di lokasi syuting.

4.2 Konvergensi terhadap Kebenaran

Teorema Estimasi Frekuensi adalah hasil Bayesian Convergence-to-Agreement. Tidak, dengan sendirinya, menunjukkan bahwa Kriteria Kecukupan (CoA) terpenuhi. Teorema menunjukkan, untuk induksi pencacahan, bahwa sebagai bukti terakumulasi, beragam fungsi pendukung akan mendekati kesepakatan mengenai kekuatan pendukung posterior tinggi untuk hipotesis yang mengekspresikan frekuensi populasi di dekat frekuensi sampel. Tapi, tidak menunjukkan bahwa hipotesis sebenarnya ada di antara mereka-tidak menunjukkan bahwa frekuensi sampel mendekati frekuensi populasi sebenarnya. Jadi, ini tidak menunjukkan bahwa fungsi dukungan konvergen ini bertemu pada dukungan kuat untuk hipotesis sebenarnya, karena hasil CoA seharusnya dilakukan.

Namun, ada hasil CoA yang dekat. Ini adalah sejumlah Weak Law of Large Number yang menetapkan bahwa setiap hipotesis frekuensi dari bentuk ' F [ A , B ] = r ' menyiratkan, melalui kemungkinan inferensi langsung , bahwa data sampel yang dipilih secara acak sangat mungkin menghasilkan frekuensi sampel yang sangat dekat dengan nilai r yang diklaim sebagai frekuensi sebenarnya . Tentu saja setiap hipotesis frekuensi mengatakan bahwa frekuensi sampel akan mendekati nilai frekuensi masing-masing ; Tapi hanya hipotesis sebenarnya yang mengatakan ini dengan jujur. Tambahkan hasil ini ke teorema sebelumnya dan kita dapatkan bahwa, untuk ukuran sampel yang besar, kemungkinan besar frekuensi sampel akan terjadi yang menghasilkan tingkat dukungan yang sangat tinggi untuk hipotesis sebenarnya. Dengan demikian CoA merasa puas.
Inilah hasil yang dibutuhkan.

Teorema: Lemahnya Hukum Angka Besar untuk Induk Enumeratif .
Misalkan r adalah frekuensi antara 0 dan 1.
Untuk r = 0, P [ F [ A , S ] = 0 | F [ A , B ] = 0 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ] = 1.
Untuk r = 1, P [ F [ A , S ] = 1 | F [ A , B ] = 1 · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ] = 1.
Untuk 0 < r <1, misalkan q adalah bilangan real sedemikian rupa sehingga r berada di wilayah tersebut, 0 <( r - q ) < r <( r + q ) <1.

Dengan q tertentu (yang mengidentifikasi wilayah minat kecil tertentu di sekitar r ), untuk setiap bilangan bulat positif yang n yang cukup besar untuk memungkinkannya, kita mendefinisikan bilangan bulat non-negatif terkait v dan u sehingga v < u , di mana menurut definisi:

v adalah bilangan bulat non-negatif dimana v / n adalah fraksi terkecil yang lebih besar dari ( r - q ), dan
u adalah bilangan bulat non-negatif yang u / n adalah fraksi terbesar kurang dari ( r + q ).

Kemudian,

P [ r - q < F [ A , S ] < r + q | F [ A , B ] = r · Rnd [ S , B , A ] · Ukuran [ S ] = n ]

=	kamu Σ m = v	n ! m ! × ( n - m )!	× r m (1- r ) n - m
≈	1 - 2 × Φ [- q / ( r × (1- r )) / n ) ½ ]
≥	1 - 2 × Φ [-2 × q × n ½ ],

yang pergi ke 1 cepat sebagai n meningkat.

Disini Φ [ x ] adalah area di bawah Standard Normal Distribution sampai titik x . Kesetaraan pertama adalah versi dari teorema binomial. Perkiraan dari rumus binomial dengan distribusi normal dijamin oleh Central Limit Theorem. Pendekatan ini sangat dekat untuk n mendekati 20, dan menjadi sangat dekat karena n menjadi lebih besar.
Perhatikan bahwa tingkat probabilitas dukungan dalam teorema ini adalah kemungkinan inferensi langsung - semua fungsi pendukung harus sesuai dengan nilai-nilai ini. ^{[ 17 ]}
Hasil Hukum Lemah ini bersama dengan Teorema Estimasi Sederhana menghasilkan hasil CoA yang dijanjikan: untuk ukuran sampel yang besar, kemungkinan besar frekuensi sampel akan terjadi yang memiliki nilai yang sangat mendekati frekuensi sebenarnya; dan kapan pun frekuensi sampel seperti itu terjadi, ia menghasilkan tingkat dukungan yang sangat tinggi untuk hipotesis frekuensi sebenarnya.
Hasil ini hanya berlaku untuk induksi pencacahan. Pada bagian selanjutnya kami membuat hasil CoA yang berlaku lebih umum. Ini berlaku untuk dukungan induktif dari hipotesis dalam konteks dimana hipotesis persaingan cukup berbeda secara empiris untuk tidak setuju, setidaknya sedikit, kemungkinan kemungkinan hasil evolusioner yang mungkin terjadi.

5. Teorema Konvergensi Likelihood Rasio

Pada bagian ini kita akan menyelidiki Teorema Konvergensi Likelihood Ratio . Teorema ini menunjukkan bahwa dalam kondisi yang masuk akal, ketika hipotesis h _i (bersamaan dengan auxiliaries dalam b ) adalah benar dan hipotesis alternatif h _j secara empiris berbeda dari h _i pada beberapa kemungkinan hasil eksperimen atau pengamatan yang dijelaskan oleh kondisi c _k , maka sangat mungkin bahwa urutan eksperimen dan pengamatan yang cukup lama akan menghasilkan urutan hasil yang menghasilkan rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] yang mendekati 0 sebagai bukti terakumulasi (yaitu, n meningkat). Teorema tersebut menempatkan batasan yang rendah secara eksplisit pada "tingkat konvergensi probabilitas" dari rasio kemungkinan ini terhadap 0. Artinya, hal itu menempatkan batasan yang lebih rendah mengenai seberapa besar kemungkinannya, jika h _i benar, bahwa arus hasil akan terjadi menghasilkan nilai rasio likelihood terhadap h _j dibandingkan dengan h _i yang berada dalam jarak kecil tertentu dari 0.

Teorema itu sendiri tidak memerlukan aparatus penuh dari fungsi probabilitas Bayesian. Ini hanya menarik kemungkinan. Baik pernyataan teorema maupun buktinya menggunakan probabilitas sebelumnya dalam bentuk apa pun. Likelihoodists dan Bayesian inductivists setuju bahwa ketika rasio P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] mendekati 0 untuk n meningkat, buktinya sangat kuat terhadap h _j dibandingkan dengan h _i . Jadi bahkan seorang ahli kemungkinan yang menghindari penggunaan probabilitas sebelumnya Bayesian dapat menerima hasil ini.
Bagi Bayesians, the Likelihood Ratio Convergence Teorema selanjutnya menyiratkan kemungkinan konvergensi terhadap kesepakatan mendekati 0 dari probabilitas posterior pesaing palsu dari hipotesis yang benar. Bila rasio P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | Pendekatan untuk Teorema Bayes, Persamaan 9, mengatakan bahwa probabilitas posterior h _j juga harus mendekati 0 karena bukti terakumulasi, terlepas dari nilai probabilitas sebelumnya. Jadi, fungsi pendukung dalam koleksi yang mewakili kesalahpahaman sebelumnya yang tidak jelas untuk agen individual (yaitu, ketidakjelasan yang ditetapkan) dan mewakili beragam pendeta untuk komunitas agen (yaitu, rangkaian keragaman ) kemungkinan besar akan mencapai kesepakatan mendekati 0 kemungkinan posterior dari saingan palsu yang berbeda secara empiris dari hipotesis yang benar. Dan karena probabilitas posterior pesaing palsu turun, probabilitas posterior dari hipotesis benar menuju 1. Dengan demikian, teorema menetapkan bahwa logika induktif dari fungsi pendukung probabilistik memenuhi Kriteria Kecukupan (CoA).
The Likelihood Ratio Convergence Teorema mengatasi banyak keberatan yang diajukan oleh kritik terhadap hasil konvergensi Bayesian. Pertama, teorema ini tidak menggunakan probabilitas orde dua ; itu mengatakan mencatat tentang probabilitas probabilitas. Ini hanya menyangkut probabilitas kalimat disjungtif tertentu yang mengungkapkan disjungsi dari berbagai kemungkinan hasil eksperimental atau observasional. Teorema tidak memerlukan bukti untuk terdiri dari sekuens peristiwa yang, menurut hipotesis, terdistribusi secara identik (seperti lemparan berulang dari die). Meskipun hasilnya paling mudah dinyatakan dalam kasus di mana urutan hasil secara probabilistik independen terhadap masing-masing hipotesis, versi teorema juga berlaku saat hasil arus keluaran individu tidak probabilistik independen terhadap hipotesis. Hasilnya tidak bergantung pada aditif yang bisa dihitung. Dan batas bawah yang eksplisit yang diberikannya pada konvergensi berarti bahwa tidak perlu menunggu jangka panjang yang tak terhingga sebelum terjadi konvergensi (seperti yang dipikirkan beberapa kritikus).
Terkadang diklaim bahwa hasil konvergensi Bayesian hanya bekerja bila seorang agen memasukkan nilai untuk probabilitas sebelumnya dari hipotesis sekali dan untuk semua, dan memperbarui kemungkinan posterior dari sana hanya dengan mengkondisikan bukti melalui Teorema Bayes. The Likelihood Ratio Convergence Teorema , bagaimanapun, berlaku bahkan jika agen merevisi penilaian probabilitas sebelumnya dari waktu ke waktu. Perubahan non Bayesian semacam itu dari satu fungsi pendukung (atau ketidakjelasan ) ke yang lain mungkin timbul dari argumen masuk akal baru atau dari penilaian ulang kekuatan yang lama. The Likelihood Ratio Convergence Teorema sendiri hanya melibatkan nilai-nilai kemungkinan. Jadi, asalkan penilaian ulang semacam itu tidak mendorong probabilitas sebelumnya dari hipotesis yang benar ke arah 0 terlalu cepat , teorema tersebut menyiratkan bahwa probabilitas posterior dari masing-masing pesaing palsu yang berbeda secara empiris kemungkinan akan mendekati 0 karena bukti meningkat. ^{[ 18 ]}

5.1 Ruang Kemungkinan Hasil Eksperimen dan Observasi

Untuk menentukan rincian Teorema Konvergensi Likelihood Rasio kami akan memerlukan beberapa konvensi dan definisi notasi tambahan. Di sini mereka.

Untuk urutan tertentu dari eksperimen atau pengamatan ^{n n} , pertimbangkan himpunan dari urutan hasil yang mungkin yang akan menghasilkan rasio kemungkinan untuk h _j over h _i yang kurang dari beberapa bilangan kecil yang dipilih ε> 0. Rangkaian ini ditunjukkan oleh ekspresi:

{ e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <ε}.

Menempatkan simbol disjungsi '∨' di depan ungkapan ini menghasilkan ungkapan:

∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <ε},

yang akan kita gunakan untuk mewakili disjungsi dari semua urutan hasil dalam himpunan ini. Begitu,

∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <ε}

hanyalah sebuah kalimat tertentu yang mengatakan, pada dasarnya, "salah satu urutan hasil eksperimen atau observasi n pertama akan terjadi yang membuat rasio kemungkinan untuk h _j over h _i kurang dari ε".
The Likelihood Ratio Convergence Teorema mengatakan bahwa dalam kondisi tertentu (dibahas secara rinci di bawah), kemungkinan kalimat disjungtif semacam ini, mengingat bahwa ' h _i · b · c ⁿ ' adalah benar,

P [ ∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <ε} | h _i · b · c ⁿ ],

harus paling sedikit 1- (ψ / n ), untuk beberapa istilah yang dapat diperhitungkan secara eksplisit ψ. Jadi, hipotesis sebenarnya _{saya secara} probabilistik menyiratkan bahwa karena jumlah bukti, n , meningkat, hal itu menjadi sangat mungkin (sedekat mungkin dengan yang Anda inginkan) bahwa salah satu urutan hasil akan terjadi yang menghasilkan rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] kurang dari ε; dan ini berlaku untuk nilai spesifik dari ε yang dapat Anda pilih. Karena ini terjadi, probabilitas posterior dari pesaing palsu saya, h _j , harus mendekati 0, seperti yang dipersyaratkan oleh Formulir Rasio Teorema Bayes ', Persamaan 9.
Istilah ψ dalam batas bawah probabilitas ini bergantung pada ukuran keabsahan empiris hipotesis untuk urutan percobaan dan pengamatan yang diajukan. Untuk menentukan ukuran ini, kita perlu merenungkan pengumpulan hasil yang mungkin dari setiap percobaan atau pengamatan. Jadi, pertimbangkan beberapa urutan kondisi eksperimental atau pengamatan yang dijelaskan oleh kalimat c ₁ , c ₂ , ..., c _n . Sesuai dengan kondisi masing-masing, akan ada beberapa kemungkinan hasil alternatif. Misalkan O _k = { o _{k 1} , o _{k 2} , ..., o _kw } adalah serangkaian pernyataan yang menjelaskan kemungkinan hasil yang mungkin untuk kondisi c _k . (Jumlah hasil alternatif biasanya berbeda untuk eksperimen yang berbeda c1, ..., c _n ; jadi, nilai w bergantung pada c _k .) Untuk setiap hipotesis, _j alternatif hasil c _k di O _k saling eksklusif dan lengkap, jadi kita punya:

P [ o ku · o kv | h j · b · c k ] = 0

dan

w Σ u = 1

P [ o ku | h j · b · c k ] = 1.

Kita sekarang membiarkan ekspresi seperti ' e _k ' bertindak sebagai variabel yang berkisar pada kemungkinan hasil dari _{k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k} ko si _{k k k k k k k k k k k k k} ko si _{k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k} ko Seperti sebelumnya, ' c ⁿ ' menunjukkan gabungan dari kondisi uji pertama, ( c ₁ · c ₂ · ... · c _n ), dan ' e ⁿ ' merupakan urutan yang mungkin dari hasil yang sesuai, ( e ₁ · e ₂ · ... · E _n ). Mari kita gunakan ungkapan ' E ⁿ ' untuk mewakili sekumpulan semua urutan hasil yang mungkin dihasilkan dari urutan kondisi c ⁿ . Jadi, untuk setiap hipotesis h _j (termasuk h _i ), Σ _{e ⁿ ∈ E ⁿ} P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] = 1.
Semua yang diperkenalkan dalam subbagian ini hanyalah konvensi notasional. Tidak ada anggapan substantif (selain aksioma teori probabilitas) yang belum diperkenalkan. Versi dari Teorema Konvergensi Likelihood Ratio yang akan saya tunjukkan di bawah ini, bagaimanapun, menarik satu anggapan substantif, walaupun agak lemah. Bagian selanjutnya akan membahas anggapan tersebut secara rinci.

5.2 Kemandirian Probabilistik

Dalam sebagian besar konteks ilmiah, hasil dalam arus eksperimen atau pengamatan secara probabilistik independen satu sama lain relatif terhadap setiap hipotesis yang sedang dipertimbangkan, atau paling tidak dibagi menjadi bagian-bagian yang probabilistiknya independen. Untuk tujuan kita independensi probabilistik hasil pengharapan pada hipotesis terbagi menjadi dua jenis.

Definisi: Kondisi Bukti Independen :
(1) Urutan hasil e ^k adalah kondisi-independen dari suatu kondisi untuk percobaan tambahan atau pengamatan c _{k +1} , diberikan h · b dan kondisinya sendiri c ^k , jika dan hanya jika
P [ e ^k | h · b · c ^k · c _{k +1} ] = P [ e ^k | h · b · c ^k ].
(2) Hasil individual e _k adalah hasil-independen dari urutan pengamatan lain dan hasilnya ( c ^{k -1} · e ^{k -1} ), diberikan h · b dan kondisinya sendiri c _k , jika dan hanya jika
P [ e _k | h · b · c _k · ( c ^{k -1} · e ^{k -1} )] = P [ e _k | h · b · c _k ].

Bila kedua kondisi ini bertahan, kemungkinan untuk urutan bukti dapat didekomposisi menjadi produk kemungkinan eksperimen individual atau pengamatan. Untuk melihat bagaimana kedua kondisi kemerdekaan mempengaruhi dekomposisi, pertama pertimbangkan rumus berikut, yang berlaku bahkan ketika kondisi kemandirian tidak terpenuhi:

(12)

P [ e n | h j · b · c n ] =

n Π k = 1

P [ e k | h j · b · c n · e k -1 ].

Bila kondisi-independensi berlaku, kemungkinan keseluruhan arus bukti memecah menjadi produk kemungkinan yang bergantung secara probabilistik hanya pada kondisi pengamatan terakhir dan hasilnya. Mereka tidak bergantung pada kondisi untuk eksperimen lain yang hasilnya belum ditentukan. Inilah rumusnya:

(13)

P [ e n | h j · b · c n ] =

n Π k = 1

P [ e k | h j · b · c k · ( c k -1 · e k -1 )].

Akhirnya, kapan pun kondisi independensi dipuaskan, kita memiliki hubungan antara kemungkinan arus bukti berikut dan kemungkinan eksperimen atau pengamatan individual:

(14)

P [ e n | h j · b · c n ] =

n Π k = 1

P [ e k | h j · b · c k ].

(Untuk bukti Persamaan 12-14, lihat dokumen pelengkap: Konsekuensi Segera dari Kondisi Bukti Independen .)

Dalam konteks ilmiah, bukti hampir selalu dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang memenuhi kedua klausul Kondisi Bukti Independen sehubungan dengan setiap hipotesis alternatif. Untuk melihat mengapa, mari kita pertimbangkan setiap kondisi kemerdekaan dengan lebih hati-hati.
Kondisi-kemerdekaan mengatakan bahwa hanya penambahan kondisi observasi baru c _{k +1} , tanpa menentukan salah satu hasilnya , tidak mengubah kemungkinan hasil dari percobaan lain c ^k . Untuk menghargai pentingnya kondisi ini, bayangkan bagaimana jadinya jika dilanggar. Misalkan hipotesis h _j adalah beberapa teori statistik, katakanlah, misalnya, teori kuantum superkonduktivitas. Kondisi yang diungkapkan dalam c ^k menggambarkan sejumlah setup eksperimental, mungkin dilakukan di berbagai laboratorium di seluruh dunia, yang menguji berbagai aspek teori (misalnya, eksperimen yang menguji konduktivitas listrik pada material yang berbeda pada kisaran suhu). Urutan hasil e ^k menggambarkan hasil percobaan ini. Pelanggaran kondisi-independensi berarti bahwa hanya menambahkan pernyataan singkat tentang bagaimana sebuah percobaan tambahan telah disiapkan, namun tanpa menyebutkan hasilnya, mengubah seberapa besar kemungkinan urutan bukti e ^k dianggap. Apa ( h _j · b ) mengatakan melalui kemungkinan tentang hasil eksperimen secara ^{k k} berbeda karena hanya menyediakan deskripsi pengaturan eksperimental lain, c _{k +1} . Kondisi-kemerdekaan , saat memegang, mengesampingkan efek aneh semacam itu.
Hasil-kemerdekaan mengatakan bahwa deskripsi kondisi uji sebelumnya bersamaan dengan hasil mereka tidak relevan dengan kemungkinan hasil untuk eksperimen tambahan. Jika kondisi ini dilanggar secara luas, maka untuk menentukan kemungkinan paling tepat untuk hipotesis tertentu, seseorang harus memasukkan informasi tentang volume pengamatan masa lalu dan hasilnya. Apa yang dikatakan hipotesis tentang kasus masa depan bergantung pada bagaimana kasus-kasus masa lalu telah berlalu. Ketergantungan semacam itu lebih baik tidak terjadi dalam skala besar. Jika tidak, hipotesisnya akan sangat tidak berguna, karena impor empiris pada masing-masing kasus spesifik akan bergantung pada perkiraan volume hasil pengamatan dan eksperimen masa lalu. Namun, kalaupun dependensi semacam itu terjadi, asalkan tidak terlalu luas, kemandirian hasil dapat diakomodasi dengan mudah dengan mengemas setiap kumpulan data yang bergantung pada hasil, memperlakukannya seperti eksperimen atau pengamatan tunggal. Kondisi kemandirian kemudian dipuaskan dengan membiarkan setiap istilah ' c _k ' dalam pernyataan kondisi independensi mewakili gabungan kondisi uji untuk kumpulan uji yang bergantung pada hasil , dan dengan membiarkan setiap istilah ' e _k ' (dan setiap istilah ' o _ku ') berdiri untuk gabungan hasil yang sesuai dengan hasil. Jadi, dengan mengemas data yang bergantung pada hasil bersama dengan cara ini, kondisi kemandirian hasil dipuaskan oleh pernyataan (konjungtif) yang menggambarkan potongan terpisah hasil-independen . ^{[ 19 ]}
Versi dari Teorema Konvergensi Likelihood Rasio yang akan kita periksa hanya bergantung pada Kondisi Bukti Independen (bersama dengan aksioma teori probabilitas). Ini tidak menggunakan asumsi lain. Memang, versi teorema yang lebih umum lagi dapat dibuat yang mengacu pada Kondisi Bukti Independen . Namun, Kondisi Bukti Independen akan terpenuhi dalam hampir semua konteks ilmiah, sehingga sedikit yang akan hilang dengan mengasumsikannya. (Dan presentasi akan berjalan lebih lancar jika kita mengimbangi komplikasi tambahan yang dibutuhkan untuk menjelaskan hasil yang lebih umum.)
Dari sini mari kita asumsikan bahwa versi berikut dari Ketentuan Bukti Independen berlaku.

Asumsi: Asumsi Bukti Independen . Untuk setiap hipotesis h dan latar belakang b yang dipertimbangkan, kami berasumsi bahwa eksperimen dan pengamatan dapat dipaketkan ke dalam pernyataan kondisi, c ₁ , ..., c _k , c _{k +1} , ..., dan hasil yang mungkin dengan cara yang memenuhi kondisi berikut :
(1) Setiap urutan kemungkinan hasil e ^k dari deret kondisi c ^k adalah kondisi-independen dari kondisi tambahan c _{k +1} -ie, P [ e ^k | h · b · c ^k · c _{k +1} ] = P [ e ^k | h · b · c ^k ].
(2) Setiap kemungkinan hasil e _k kondisi c _k adalah hasil-independen dari urutan pengamatan lain dan kemungkinan hasil ( c ^{k -1} · e ^{k -1} ) -ie, P [ e _k | h · b · c _k · ( c ^{k -1} · e ^{k -1} )] = P [ e _k | h · b · c _k ].

Kita sekarang memiliki semua yang diperlukan untuk mulai menyatakan Teorema Konvergensi Likelihood Ratio .

5.3 Likelihood Ratio Konvergensi saat Memalsukan Hasil Kemungkinan

The Likelihood Ratio Convergence Teorema hadir dalam dua bagian. Bagian pertama hanya berlaku untuk eksperimen atau pengamatan c _k dalam arus bukti total c ⁿ dimana beberapa kemungkinan hasil memiliki probabilitas 0 terjadi sesuai dengan hipotesis h _j namun kemungkinan non-0 terjadi sesuai dengan h _i . Hasil seperti itu sangat diinginkan. Jika terjadi, rasio kemungkinan membandingkan h _j ke h _saya akan menjadi 0, dan h _j akan dipalsukan . Eksperimen krusial adalah kasus khusus ini-kasus di mana setidaknya satu hasil yang mungkin terjadi, _ku [ _ku h _i · b · c _k ] = 1 dan P [ o _ku | h _j · b · c _k ] = 0. Dalam kasus yang lebih umum, _saya bersama dengan b mengatakan bahwa salah satu hasil dari c _k setidaknya sangat kecil, sedangkan h _j mengatakan bahwa hasilnya tidak mungkin - yaitu, P [ o _ku | h _i · b · c _k ] > 0 dan P [ o _ku | h _j · b · c _k ] = 0. Ini akan memudahkan untuk menentukan istilah untuk situasi ini.

Definisi: Kompatibilitas Hasil Lengkap. Mari kita sebut h _j sepenuhnya hasil-kompatibel dengan h _i pada percobaan atau observasi c _k kapan saja untuk setiap kemungkinan hasil e _k , jika P [ e _k | h _i · b · c _k ] > 0, maka P [ e _k | h _j · b · c _k ] > 0. Secara ekivalen, h _j gagal sepenuhnya sesuai dengan h _i pada eksperimen atau observasi c _k hanya jika setidaknya satu dari kemungkinan hasil yang diinginkan e _k , P [ e _k | h _i · b · c _k ] > 0 tapi P [ e _k | h _j · b · c _k ] = 0.

Bagian pertama dari Teorema Konvergensi Kemungkinan ( Likelihood Ratio Convergence Teorema) berlaku untuk bagian dari total arus bukti (yaitu, bahwa setelah arus bukti total) dimana hipotesis h _j gagal sepenuhnya sesuai dengan hipotesis h _i ; bagian kedua dari teorema tersebut berlaku untuk bagian yang tersisa dari total arus bukti, bahwa asal mula arus bukti total yang dihasilkan sepenuhnya sesuai dengan h _i untuk setiap percobaan dan pengamatan. Ternyata kedua jenis kasus ini harus diperlakukan berbeda. (Ini disebabkan oleh cara konten informasi yang diharapkan untuk membedakan antara dua hipotesis akan diukur untuk eksperimen dan pengamatan yang sepenuhnya sesuai hasil ; ukuran konten informasi ini meledak (tidak terbatas) untuk eksperimen dan pengamatan yang gagal. untuk sepenuhnya hasil yang kompatibel ). Dengan demikian, bagian berikut dari teorema konvergensi hanya berlaku untuk bagian arus total bukti yang terdiri dari eksperimen dan pengamatan yang gagal sepenuhnya sesuai untuk pasangan hipotesis yang terlibat. Inilah bagian teorema pertama.

Likelihood Ratio Teorema Konvergensi 1 - Teorema Pemalsuan:
Anggaplah bahwa arus total bukti mengandung eksperimen atau pengamatan m tepat yang tidak dapat sepenuhnya sesuai dengan h _i . Dan anggap bahwa Ketentuan Bukti Independen berlaku untuk arus bukti c ⁿ sehubungan dengan masing-masing dari kedua hipotesis ini. Lebih jauh lagi, anggaplah ada batas bawah δ> 0 sehingga untuk setiap _{k k} di mana h _j gagal sepenuhnya sesuai dengan h _i , P [ ∨ { o _ku : P [ o _ku | h _j · b · c _k ] = 0} | h _i · b · c _k ] ≥ δ - yaitu, h _saya bersama dengan b · c _k mengatakan , dengan kemungkinan setidaknya sama besar dengan δ, bahwa salah satu hasil akan terjadi yang menurut _j tidak dapat terjadi. Kemudian,

P [ ∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = 0} | h _i · b · c ⁿ ]

= P [ ∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] = 0} | h _i · b · c ⁿ ]

≥ 1- (1-δ) ^m ,

yang mendekati 1 untuk besar m . (Sebagai bukti lihat dokumen pelengkap Bukti Teorema Pemalsuan .)

Dengan kata lain, kita hanya menduga bahwa untuk setiap pengamatan m , c _k , (diambil dari total aliran semua n pengamatan, c ⁿ ), h _saya mengatakan pengamatan c _k setidaknya memiliki kemungkinan kecil untuk menghasilkan salah satu dari Hasil yang _kuanggap tidak mungkin dilakukan. Jika jumlah m percobaan atau pengamatan semacam itu cukup besar (atau jika batas bawah δ pada kemungkinan mendapatkan hasil seperti itu cukup besar), dan jika h _i (bersama dengan b · c ⁿ ) benar, maka sangat tinggi Mungkin salah satu hasil yang tidak mungkin dilakukan oleh h _j akan benar-benar terjadi. Jika salah satu dari hasil ini terjadi, maka rasio kemungkinan untuk h _j dibandingkan dengan h _i akan menjadi 0. Menurut Teorema Bayes, bila ini terjadi, h _j benar-benar dibantah oleh bukti - probabilitas posteriornya menjadi 0.
Teorema Pemalsuan sangat masuk akal. Pertama, perhatikan bahwa jika ada eksperimen penting dalam arus bukti, teorema tersebut benar-benar jelas. Yaitu, misalkan untuk eksperimen spesifik c _k (dalam arus bukti c ⁿ ) ada dua hasil yang tidak mungkin terjadi o _kv dan o _ku sehingga P [ o _kv | h _j · b · c _k ] = 1 dan P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 1. Maka, jelas, P [ ∨ { o _ku : P [ o _ku | h _j · b · c _k ] = 0} | h _i · b · c _k ] = 1, karena o _ku adalah salah satu _kuantum sehingga P [ o _ku | h _j · b · c _k ] = 0. Jadi, di mana ada eksperimen penting yang tersedia, teorema berlaku dengan m = 1 dan δ = 1.
Teorema sama-sama masuk akal untuk kasus-kasus dimana tidak ada percobaan penting yang tersedia. Untuk melihat apa yang tertulis dalam kasus tersebut, pertimbangkan sebuah contoh. Biarlah _saya menjadi beberapa teori yang menyiratkan laju peluruhan proton yang spesifik, namun tingkat yang sangat rendah sehingga hanya ada kemungkinan kecil bahwa proton tertentu akan membusuk pada tahun tertentu. Pertimbangkan sebuah teori alternatif yang menyiratkan bahwa proton tidak pernah membusuk. Jika h _i benar, maka untuk urutan pengamatan yang cukup gigih (misalnya, jika detektor yang tepat dapat dibangun dan triliunan proton terus diawasi cukup lama), akhirnya peluruhan proton hampir pasti dapat dideteksi. Bila ini terjadi, rasio kemungkinan menjadi 0. Jadi, kemungkinan posterior dari h _j menjadi 0.
Sangat penting untuk memasukkan beberapa nilai spesifik ke dalam formula yang diberikan oleh Teorema Pemalsuan, untuk melihat seperti apa tingkat konvergensi tersebut. Misalnya, teorema tersebut mengatakan bahwa jika kita membandingkan sepasang hipotesis dan arus pada arus bukti yang mengandung setidaknya m = 19 pengamatan atau eksperimen yang memiliki δ ≥ .10 untuk kemungkinan menghasilkan hasil pemalsuan , maka kemungkinan (pada h _i · b · c ⁿ ) mendapatkan urutan hasil yang menghasilkan rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] = 0, paling sedikit sebesar 1- (1 -1) ¹⁹ = 0,865. (Pembaca juga diajak untuk mencoba nilai lain dari δ dan m juga.)
Komentar tentang kebutuhan dan kegunaan teorema konvergensi ini adalah agar, sekarang kita sudah melihatnya. Dengan beberapa hipotesis ilmiah tertentu h _i dan h _j seseorang dapat secara langsung menghitung kemungkinan, mengingat ( h _i · b · c ⁿ ), bahwa rangkaian percobaan atau pengamatan yang diusulkan akan menghasilkan salah satu urutan hasil yang menghasilkan rasio likelihood rendah. Jadi, dengan memberikan beberapa hipotesis dan urutan eksperimen yang spesifik, kita tidak memerlukan Teorema Konvergensi umum untuk memberi tahu kita kemungkinan untuk mendapatkan bukti yang menolak. Hipotesis spesifik h _i dan h _j memberitahu kita ini sendiri . Mereka memberi tahu kita kemungkinan mendapatkan setiap arus hasil yang spesifik, termasuk yang menolak pesaing atau menghasilkan rasio kemungkinan yang sangat kecil untuk itu. Selanjutnya, setelah kita benar-benar melakukan eksperimen dan mencatat hasilnya, semua yang penting adalah rasio kemungkinan sebenarnya untuk hasil itu. Teorema konvergensi menjadi diperdebatkan.
Inti dari Teorema Konvergensi Likelihood (baik Teorema Pemalsuan dan bagian dari teorema yang masih akan datang) adalah meyakinkan kita terlebih dahulu mengenai pertimbangan beberapa hipotesis spesifik bahwa jika arus bukti yang mungkin menguji hipotesis memiliki karakteristik tertentu yang mencerminkan keunikan hipotesis empiris, maka kemungkinan besar salah satu urutan hasil akan terjadi yang menghasilkan rasio kemungkinan yang sangat kecil. Teorema ini memberikan batasan yang terbatas pada seberapa cepat konvergensi semacam itu terjadi. Dengan demikian, mereka menunjukkan bahwa CoA merasa puas sebelum menggunakan logika untuk menguji pasangan hipotesis tertentu satu sama lain.

5.4 Likelihood Ratio Convergence Bila Tidak Memalsukan Hasil Kemungkinan

Teorema Pemalsuan berlaku bilamana arus bukti mencakup kemungkinan hasil yang dapat memalsukan hipotesis alternatif. Namun, ini hanya memperhitungkan pengaruh percobaan atau pengamatan yang mungkin dipalsukan. Ini sepenuhnya mengabaikan pengaruh eksperimen atau pengamatan apa pun dalam arus bukti dimana hipotesa h _j sepenuhnya sesuai dengan hipotesis h _i . Kita sekarang beralih ke sebuah teorema yang berlaku untuk arus bukti tersebut (atau ke bagian arus bukti) yang hanya terdiri dari eksperimen dan pengamatan dimana hipotesa h _j sepenuhnya sesuai dengan hipotesis h _i . Aliran bukti semacam ini tidak mengandung kemungkinan hasil pemalsuan . Dalam kasus seperti itu, satu-satunya hasil eksperimen atau observasi c _k yang hipotesisnya dapat menentukan 0 kemungkinan adalah hipotesis dimana _saya menentukan 0 kemungkinan juga.

Hipotesis yang hubungannya dengan bukti sepenuhnya bersifat statistik pasti akan sepenuhnya sesuai dengan keseluruhan arus bukti. Jadi, aliran bukti semacam ini tidak diragukan lagi jauh lebih umum dalam praktik daripada yang mungkin menghasilkan pemalsuan. Selanjutnya, bilamana seluruh arus bukti berisi beberapa campuran eksperimen dan pengamatan dimana hipotesis tidak sepenuhnya sesuai dengan yang lain dan hasilnya akurat , kita dapat memperlakukan eksperimen dan pengamatan yang didukung oleh compatiblity hasil penuh. keterwakilan terpisah dari keseluruhan arus bukti, untuk melihat kemungkinan dampak dari bagian bukti dalam menghasilkan nilai untuk rasio kemungkinan.
Untuk menutupi arus bukti (atau rangkaian arus bukti) yang seluruhnya terdiri dari eksperimen atau pengamatan yang hasilnya sepenuhnya sesuai dengan hipotesis, pertama-tama kita perlu mengidentifikasi cara yang berguna untuk mengukur sejauh mana hipotesis secara empiris berbeda dari satu sama lain pada bukti tersebut. Pertimbangkan beberapa urutan hasil tertentu yang dihasilkan dari pengamatan c ⁿ . Rasio kemungkinan P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] sendiri mengukur sejauh mana urutan hasil membedakan antara h _i dan h _j . Tetapi sebagai ukuran kekuatan bukti untuk membedakan antara hipotesis, rasio lenderihood mentah memberikan skala yang agak miring, skala yang berkisar dari 0 sampai tak terhingga dengan titik tengah, di mana tidak ada perbedaan antara h _i dan h _j , pada 1. Jadi, daripada menggunakan rasio likelihood mentah untuk mengukur kemampuan membedakan antara hipotesis, ini terbukti lebih berguna untuk menggunakan ukuran simetris. Logaritma rasio kemungkinan memberikan ukuran seperti itu.

Definisi : QI-Kualitas Informasi .
Untuk setiap eksperimen atau observasi c _k , tentukan kualitas informasi yang diberikan oleh hasil yang mungkin untuk membedakan h _j dari h _i , diberikan b , sebagai berikut (dimana selanjutnya kita mengambil "log" menjadi basis-2):
QI [ o _ku | h _i / h _j | b · c _k ] = log [ P [ o _ku | h _i · b · c _k ] / P [ o _ku | h _j · b · c _k ]]. Demikian pula, untuk urutan eksperimen atau pengamatan c ⁿ , tentukan kualitas informasi yang diberikan oleh hasil yang mungkin untuk membedakan h _j dari h _i , diberikan b , sebagai berikut:
QI [ e ⁿ | h _i / h _j | b. c ⁿ ] = log [ P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ]]. Artinya, QI adalah logaritma dasar-2 dari rasio kemungkinan untuk h _i selama itu untuk h _j .

Jadi, kami akan mengukur Kualitas Informasi yang akan dihasilkan hasil dalam membedakan antara dua hipotesis sebagai logaritma basis-2 dari rasio kemungkinan. Ini jelas merupakan ukuran simetris dari kekuatan evolusioner hasil pada membedakan antara dua hipotesis. Pada ukuran ini hipotesis h _i dan h _j menetapkan nilai kemungkinan yang sama ke hasil yang diberikan o _ku tepat pada saat QI [ o _ku | h _i / h _j | b. c _k ] = 0. Dengan demikian, QI mengukur informasi mengenai skala logaritmik yang simetris mengenai titik tengah informasi tidak alami, 0. Pengukuran ini disiapkan sehingga informasi positif lebih baik daripada pada h _j , dan informasi negatif lebih disukai. h _j over h _i .
Mengingat Asumsi Bukti Independen sehubungan dengan setiap hipotesis, mudah untuk menunjukkan bahwa QI untuk urutan hasil hanyalah jumlah dari QI dari hasil individu dalam urutan:

(15)

QI [ e n | h i / h j | b · c n ] =

n Σ k = 1

QI [ e k | h i / h j | b · c k ].

Teori probabilitas mengukur nilai yang diharapkan dari sebuah kuantitas dengan terlebih dahulu mengalikan masing-masing nilai yang mungkin dengan probabilitasnya terjadi, dan kemudian menjumlahkan produk ini. Dengan demikian, nilai yang diharapkan dari QI diberikan dengan rumus sebagai berikut:

Definisi : EQI-Kualitas Informasi yang Diharapkan .
Kami mengadopsi konvensi bahwa jika P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0, maka istilah QI [ o _ku | h _i / h _j | b · c _k ] × P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0. Konvensi ini akan masuk akal dalam konteks definisi berikut karena, kapanpun hasil _kuadrat 0 kemungkinan terjadi menurut h _i (bersama dengan b · c _k ), itu masuk akal untuk memberikannya 0 dampak pada kemampuan bukti untuk membedakan antara h _j dan h _i ketika h _i (bersama dengan b · c _k ) adalah benar. Perhatikan juga bahwa kompatibilitas hasil penuh dari h _j dengan h _i pada c _k berarti bahwa setiap kali P [ e _k | h _j · b · c _k ] = 0, kita harus memiliki P [ e _k | h _i · b · c _k ] = 0 juga; jadi kapanpun penyebutnya 0 dalam istilah QI [ o _ku | h _i / h _j | b · c _k ] = log [ P [ o _ku | h _i · b · c _k ] / P [ o _ku | h _j · b · c _k ]], konvensi yang baru saja dijelaskan membuat istilah QI [ o _ku | h _i / h _j | b · c _k ] × P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0. Jadi, gagasan berikut didefinisikan dengan baik:
Untuk hasil akhir yang sesuai dengan h _i pada eksperimen atau observasi c _k , definisikan
EQI [ c _k | h _i / h _j | b ] = Σ _u QI [ o _ku | h _i / h _j | b · c _k ] × P [ o _ku | h _i · b · c _k ].
Juga, untuk hasil yang sesuai dengan h _i pada setiap percobaan dan pengamatan dalam urutan c ⁿ , definisikan

EQI [ c n | h i / h j | b ]

=

Σ e n ∈ E n

QI [ e n | h i / h j | b · c n ] × P [ e n | h i · b · c n ].

EQI dari sebuah percobaan atau pengamatan adalah Kualitas yang Diharapkan dari Informasi untuk membedakan h _i dari h _j ketika _saya benar. Ini adalah ukuran dari kekuatan evolusioner yang diharapkan dari kemungkinan hasil eksperimen atau pengamatan untuk membedakan antara hipotesis ketika h _i (bersama dengan b · c ) adalah benar. Sedangkan QI mengukur kemampuan setiap hasil atau urutan hasil tertentu untuk secara empiris membedakan hipotesis, EQI mengukur kecenderungan eksperimen atau pengamatan untuk menghasilkan hasil yang membedakan. Dapat ditunjukkan bahwa EQI melacak keistimewaan empiris dengan cara yang sangat tepat. Kita kembali ke ini sebentar lagi.
Mudah dilihat bahwa EQI untuk sekuens pengamatan c ⁿ hanyalah jumlah dari EQI dari pengamatan individu c _k dalam urutan:

(16)

EQI [ c n | h i / h j | b ]

=

n Σ k = 1

EQI [ c k | h i / h j | b ].

(Untuk bukti lihat dokumen tambahan Bukti bahwa EQI untuk c ⁿ adalah jumlah dari EQI untuk individu c _k .)

Ini menunjukkan bahwa hal itu mungkin berguna untuk menilai nilai rata-rata nilai EQI [ c _k | h _i / h _j | b ] dengan jumlah observasi n untuk mendapatkan ukuran rata - rata kualitas informasi yang diharapkan di antara eksperimen dan pengamatan yang membentuk arus bukti c ⁿ .

Definisi : Kualitas Informasi Rata-rata yang Diharapkan
Untuk hasil akhir yang sesuai dengan h _i pada setiap percobaan dan pengamatan di arus bukti c ⁿ , tentukan rata-rata kualitas informasi yang diharapkan, EQI , dari c ⁿ untuk membedakan h _j dari h _i , diberikan h _i · b , sebagai berikut:

EQI [ c n | h i / h j | b ]	=	EQI [ c n | h i / h j | b ] ÷ n
	=	(1 / n ) × n Σ k = 1 EQI [ c k | h i / h j | b ].

Ternyata nilai EQI [ c _k | h _i / h _j | b ] tidak boleh kurang dari 0; dan akan lebih besar lagi jika h _i secara empiris berbeda dari pada setidaknya satu hasil o _ku -ie, kalau-kalau secara empiris berbeda dalam arti bahwa P [ o _ku | h _i · b · c _k ] ≠ P [ o _ku | h _j · b · c _k ]. Hal yang sama berlaku untuk rata-rata, EQI [ c ⁿ | h _i / h _j | b ].

Teorema: Nonnegatifitas EQI.
EQI [ c _k | h _i / h _j | b ] ≥ 0; dan EQI [ c _k | h _i / h _j | b ] > 0 jika dan hanya jika untuk setidaknya satu dari hasil yang mungkin o _ku , P [ o _ku | h _i · b · c _k ] ≠ P [ o _ku | h _j · b · c _k ].
Akibatnya, EQI [ c ⁿ | h _i / h _j | b ] ≥ 0; dan EQI [ c ⁿ | h _i / h _j | b ] > 0 jika dan hanya jika setidaknya satu percobaan atau pengamatan c _k memiliki setidaknya satu hasil yang mungkin o _ku sehingga P [ o _ku | h _i · b · c _k ] ≠ P [ o _ku | h _j · b · c _k ].
(Sebagai bukti, lihat dokumen pelengkap Pengaruh pada EQI Mempartisi Ruang Hasil Lebih Baik-Termasuk Bukti Nonnegatifitas EQI .)

Sebenarnya, semakin baik satu partisi pada ruang hasil O _k = { o _{k 1} , ..., o _kv , ..., o _kw } menjadi hasil yang berbeda yang berbeda pada nilai rasio kemungkinan, semakin besar EQI menjadi. ^{[ 20 ]} Hal ini menunjukkan bahwa EQI melacak keistimewaan empiris dengan cara yang tepat. Pentingnya Non-Negatifitas hasil EQI untuk Teorema Konvergensi Likelihood Ratio akan menjadi jelas dalam sekejap.
Kita sekarang berada dalam posisi untuk menyatakan bagian kedua dari Teorema Konvergensi Likelihood Ratio . Ini berlaku untuk semua arus bukti yang tidak mengandung hasil pemalsuan yang mungkin untuk h _j saat _saya memegang - yaitu, ini berlaku untuk semua arus bukti yang mana hasilnya sepenuhnya sesuai dengan h _i pada setiap c _k di arus.

Likelihood Ratio Teorema Konvergensi 2-Teorema Refutation Non-Pemalsuan.
Misalkan arus bukti hanya mengandung eksperimen atau pengamatan yang _han sepenuhnya sesuai dengan h _i -ie, anggap bahwa untuk setiap kondisi c _k secara berurutan, untuk setiap kemungkinan hasil mungkin dihasilkan o _ku , baik P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0 atau P [ o _ku | h _j · b · c _k ] > 0. Sebagai tambahan (sebagai penguatan sedikit dari dugaan sebelumnya), untuk beberapa γ> 0 angka lebih kecil dari 1 / e ² (≈ .135; di mana ' e ' adalah basis logaritma alami), misalkan untuk setiap kemungkinan hasil o _ku dari setiap kondisi pengamatan c _k di c ⁿ , baik P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0 atau P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h _i · b · c _k ] ≥ γ. Dan anggap bahwa Ketentuan Bukti Independen berlaku untuk arus bukti c ⁿ sehubungan dengan masing-masing hipotesis ini. Sekarang, pilihlah yang positif ε <1, sekecil yang Anda suka, tapi cukup besar (untuk jumlah observasi yang sedang dipertimbangkan) bahwa nilai EQI [ c ⁿ | h _i / h _j | b ] > - (log ε) / n . Kemudian:

P [ ∨ { e ⁿ : P [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <ε} | h _i · b · c ⁿ ]

> 1

-

1 n

×

(log γ) 2 ( EQI [ c n | h i / h j | b ] + (log ε) / n ) 2

(Untuk bukti lihat dokumen pelengkap Bukti Teorema Penghapusan Non-Pemalsuan .)

Teorema ini memberikan kondisi yang cukup untuk kemungkinan penolakan alternatif palsu melalui rasio kemungkinan kecil. Kondisi di mana hal ini terjadi menandai sejauh mana hipotesis yang terlibat secara empiris berbeda satu sama lain. Teorema mengatakan bahwa ketika kondisi ini terpenuhi, menurut hipotesis h _i (diambil bersamaan dengan b · c ⁿ ), kemungkinannya mendekati 1 bahwa salah satu urutan hasil akan terjadi dimana rasio kemungkinannya lebih kecil dari ε (untuk nilai ε yang dapat Anda pilih). Kemungkinan mendapatkan hasil evolusioner seperti itu cukup mendekati 1-yaitu, tidak lebih dari jumlah (1 / n ) × (log γ) ² / ( EQI [ c ⁿ | h _i / h _j | b ] + (log ε) / n ) ^{2 di} bawah 1. (Perhatikan bahwa jumlah di bawah 1 sampai 0 sebagai n meningkat.)
Ternyata hampir setiap kasus (untuk hampir semua hipotesis) kemungkinan yang sebenarnya untuk memperoleh bukti semacam itu (misalnya, bukti yang memiliki nilai rasio kemungkinan kurang dari ε) akan mendekati nilai 1 dari yang ditunjukkan oleh faktor ini. ^{[ 21 ]} Dengan demikian, teorema ini memberikan batasan rendah yang terlalu hati-hati pada kemungkinan mendapatkan rasio kemungkinan kecil. Ini menunjukkan bahwa semakin besar nilai EQI untuk arus bukti, semakin besar kemungkinan arus tersebut untuk menghasilkan urutan hasil yang menghasilkan nilai rasio kemungkinan yang sangat kecil. Tetapi bahkan jika EQI tetap cukup kecil, arus bukti cukup lama, n , dari bukti kelas rendah semacam itu, bagaimanapun, hampir pasti menghasilkan urutan hasil yang memiliki nilai rasio kemungkinan yang sangat kecil. ^{[ 22 ]}
Perhatikan bahwa kondisi pendahuluan teorema, bahwa "baik P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0 atau P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h _i · b · c _k ] ≥ γ, untuk beberapa γ> 0 tapi kurang dari 1 / e ² (≈ .135) ", tidak menyukai hipotesis h _i over h _j dengan cara apapun. Kondisi ini hanya mengesampingkan kemungkinan bahwa beberapa hasil mungkin memberikan bukti yang sangat kuat terhadap h _j relatif terhadap h _i - dengan membuat P [ o _ku | h _i · b · c _k ] = 0 atau dengan membuat P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h _i · b · c _k ] kurang dari beberapa yang cukup kecil γ. Kondisi ini hanya diperlukan karena ukuran pembedaan yang bisa dibuktikan, QI, meledak saat rasio P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h _i · b · c _k ] sangat kecil Selanjutnya, kondisi ini benar-benar tidak ada batasan sama sekali pada kemungkinan eksperimen atau pengamatan. Jika c _k memiliki beberapa kemungkinan hasil kalimat o _ku yang akan membuat P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h · · · γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ _{.........................} Kemudian, kondisi pendahuluan teorema akan terpenuhi, namun dengan kalimat '( o _ku ∨ o _kv )' diperlakukan sebagai satu hasil. Dapat dibuktikan bahwa satu-satunya efek dari "disjungtive lumping" ini adalah membuat EQI lebih kecil dari pada yang seharusnya (sedangkan nilai EQI yang lebih besar lebih diminati). Jika terlalu kuat membantah terjadinya _oknum benar-benar terjadi saat percobaan atau pengamatan dilakukan, semuanya menjadi lebih baik, karena hasilnya adalah menghasilkan rasio kemungkinan P [ o _ku | h _j · b · c _k ] / P [ o _ku | h _i · b · c _k ] lebih kecil dari pada hasil penghindaran tertentu. Kami hanya gagal memperhitungkan kemungkinan penyangkalan yang lebih kuat ini saat menghitung batas bawah pada kemungkinan bahwa sanggahan melalui rasio kemungkinan akan terjadi.
Inti dari dua Teorema Konvergensi yang dieksplorasi dalam bagian ini adalah untuk meyakinkan kita, sebelum mempertimbangkan beberapa hipotesis spesifik, bahwa jika arus bukti yang mungkin menguji mereka memiliki karakteristik tertentu yang mencerminkan pembedaan evidensial mereka, kemungkinan besar hasil yang menghasilkan rasio kemungkinan kecil akan terjadi. Teorema ini memberikan batasan yang terbatas pada seberapa cepat konvergensi kemungkinan terjadi, batas yang menunjukkan bahwa seseorang tidak perlu menunggu konvergensi melalui beberapa jangka panjang. Memang, untuk setiap urutan bukti di mana distribusi probabilitas sama sekali berperilaku baik, kemungkinan sebenarnya untuk mendapatkan hasil yang menghasilkan nilai rasio kemungkinan kecil pasti akan jauh lebih tinggi daripada batas bawah yang diberikan oleh Teorema 1 dan 2.
Singkatnya, menurut Teorema 1 dan 2, setiap hipotesis mengatakan , melalui kemungkinan, bahwa dengan pengamatan yang cukup, sangat mungkin untuk mendominasi saingannya yang secara empiris berbeda dalam sebuah kontes rasio kemungkinan. Hipotesis sebenarnya berbicara dengan jujur ​​tentang hal ini, dan para pesaingnya berbohong. Bahkan urutan pengamatan dengan kualitas informasi rata-rata yang sangat rendah kemungkinannya sangat mungkin untuk melakukan pekerjaan jika urutan evakuasi tersebut cukup lama. Jadi (dengan Persamaan 9), karena bukti terakumulasi, tingkat dukungan untuk hipotesis palsu kemungkinan besar akan mendekati 0, yang menunjukkan bahwa itu mungkin salah; dan karena hal ini terjadi, (oleh Persamaan 10 dan 11) tingkat dukungan untuk hipotesis yang benar akan mendekati 1, yang menunjukkan kemungkinan kebenarannya. Dengan demikian, Kriteria Kecukupan (CoA) terpenuhi.

6. Bila Kemungkinan Tidak Jelas atau Beragam

Sampai saat ini kita telah menduga bahwa kemungkinan memiliki nilai numerik yang obyektif atau disepakati. Meskipun anggapan ini sering dipuaskan dalam konteks ilmiah, ada beberapa pengaturan penting yang tidak realistis, di mana hipotesis hanya mendukung nilai kemungkinan yang kabur, dan di mana terdapat cukup banyak ambiguitas dalam hipotesis apa yang dikatakan tentang klaim-klaim evolusioner bahwa komunitas ilmiah tidak dapat menyetujui nilai-nilai yang tepat untuk kemungkinan klaim-klaim yang bersifat rahasia. ^{[ 23 ]} Mari sekarang kita lihat bagaimana anggapan nilai-nilai kemungkinan yang disepakati dan tepat dapat santai dengan cara yang masuk akal.

Ingat mengapa kesepakatan, atau kesepakatan dekat, mengenai nilai-nilai yang tepat untuk kemungkinan sangat penting bagi perusahaan ilmiah. Sejauh anggota komunitas ilmiah tidak setuju mengenai kemungkinannya, mereka tidak setuju dengan isi empiris dari hipotesis mereka, tentang apa yang masing-masing hipotesis katakan tentang bagaimana dunia ini berada. Hal ini dapat menyebabkan ketidaksepakatan tentang hipotesis mana yang ditolak atau didukung oleh badan bukti tertentu. Demikian pula, sejauh nilai dari kemungkinan hanya secara samar-samar tersirat oleh hipotesis sebagaimana dipahami oleh agen individual, agen tersebut mungkin tidak dapat menentukan hipotesis mana yang ditolak atau didukung oleh badan bukti yang ada.
Namun, kita telah melihat bahwa nilai kemungkinan individu bukanlah hal yang paling penting dalam menentukan bukti dampak hipotesis. Sebaliknya, seperti yang ditunjukkan Persamaan 9-11, ini adalah rasio kemungkinan yang melakukan pengangkatan berat. Jadi, walaupun dua fungsi pendukung P _α dan P _β tidak setuju mengenai nilai kemungkinan individu, namun, sebagian besar mungkin akan menyetujui sanggahan atau dukungan yang diperoleh dari berbagai hipotesis pesaing, asalkan kondisi berikut terpenuhi:

Kondisi Perjanjian Terarah :
Rasio kemungkinan karena masing-masing sepasang fungsi pendukung P _α dan P _β dikatakan setuju dalam arah (sehubungan dengan kemungkinan hasil eksperimen atau pengamatan yang relevan dengan sepasang hipotesis) untuk berjaga-jaga.

• Kapanpun urutan hasil yang dihasilkan bisa membuat P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <1, itu juga membuat P _β [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P _β [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] <1;
• Kapanpun urutan hasil yang dihasilkan bisa membuat P _α [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P _α [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] > 1, itu juga membuat P _β [ e ⁿ | h _j · b · c ⁿ ] / P _β [ e ⁿ | h _i · b · c ⁿ ] > 1;
• Masing-masing rasio kemungkinan ini sangat dekat dengan 1 untuk kedua fungsi pendukung ini atau untuk kedua fungsi pendukung ini. ^{[ 24 ]}

Bila kondisi ini berlaku, buktinya akan mendukung h _i over h _j sesuai dengan P _α kalau-kalau demikian halnya untuk P _β juga, walaupun kekuatan pendukungnya mungkin berbeda. Selanjutnya, tingkat di mana rasio kemungkinan kenaikan atau penurunan pada arus bukti mungkin berbeda untuk dua fungsi pendukung, namun dampak dari bukti kumulatif pada akhirnya harus mempengaruhi penolakan atau dukungan mereka dengan cara yang sama.
Bila kemungkinan tidak jelas atau beragam, kita dapat mengambil pendekatan yang kita gunakan untuk penilaian masuk akal yang tidak jelas dan beragam sebelumnya. Kami dapat memperluas ketidakjelasan set untuk masing-masing agen untuk memasukkan kumpulan fungsi pendukung induktif yang mencakup rentang nilai untuk rasio kemungkinan bukti yang mengklaim bahwa hipotesis tersebut tampaknya mendukung (dan juga mencakup rentang kekuatan pendukung komparatif sebelumnya untuk hipotesis karena argumen masuk akal dalam b ). Demikian pula, kita dapat memperluas rangkaian keragaman untuk komunitas agen untuk menyertakan fungsi pendukung yang mencakup kisaran nilai rasio kemungkinan (bersama dengan rentang kekuatan pendukung komparatif sebelumnya untuk hipotesis) yang diambil dari kumpulan ketidakjelasan anggota komunitas ilmiah.
Ini memperluas ketidakjelasan dan keragaman yang ditetapkan untuk mengakomodasi nilai lalai yang samar dan beragam tidak membuat masalah bagi konvergensi terhadap hasil kebenaran untuk hipotesis. Karena, dengan syarat bahwa Kondisi Perjanjian Terarah dipenuhi oleh semua fungsi pendukung dalam ketidakjelasan atau keragaman yang diperluas yang dipertimbangkan, Teorema Konvergensi Likelihood Ratio berlaku untuk keseluruhan fungsi pendukung di perangkat tersebut. Bukti teorema tidak bergantung pada anggapan bahwa kemungkinannya adalah objektif atau memiliki nilai intersubjectively agree. Ini berlaku untuk setiap fungsi pendukung individu P _α . Satu-satunya masalah dengan menerapkan hasil ini di berbagai fungsi pendukung adalah ketika nilai nilai kemungkinan mereka berbeda, fungsi P _α mungkin tidak sesuai dengan P _β yang hipotesisnya disukai oleh urutan bukti yang diberikan. Itu bisa terjadi karena fungsi pendukung yang berbeda dapat mewakili hipotesis hipotesis evolusioner secara berbeda, dengan menentukan nilai kemungkinan yang berbeda untuk klaim bukti yang sama. Jadi, arus bukti yang menguntungkan h _i menurut P _α mungkin lebih baik daripada h _j menurut P _β . Namun, ketika Ketentuan Perjanjian Directional berlaku untuk kumpulan fungsi pendukung tertentu, hal ini tidak dapat terjadi. Perjanjian Directional berarti bahwa impor hipotesis secara evolusioner cukup serupa untuk P _α dan P _β sehingga urutan hasil dapat mendukung hipotesis sesuai dengan P _α hanya jika ia melakukannya untuk P _β juga.
Jadi, ketika Ketentuan Perjanjian Directional berlaku untuk semua fungsi pendukung dalam ketidakjelasan atau keragaman yang ditetapkan untuk mencakup kemungkinan yang tidak jelas atau beragam, jika cukup terbukti membedakan percobaan atau pengamatan dapat dilakukan, semua fungsi dukungan dalam penyimpangan atau keragaman yang diperluas akan sangat mungkin terjadi. datang untuk setuju bahwa rasio kemungkinan untuk pesaing palsu yang berbeda secara empiris dari hipotesis yang benar sangat kecil. Seperti yang terjadi, masyarakat sepakat untuk menolak pesaing ini, dan hipotesis sebenarnya naik ke puncak tumpukan. ^{[ 25 ]}
Bagaimana jika hipotesis sebenarnya memiliki saingan setara? Kemungkinan posterior mereka juga harus naik. Dalam kasus ini, kami hanya yakin bahwa disjungsi hipotesis sebenarnya dengan saingannya yang setara secara nyata akan didorong ke 1 karena bukti menunjukkan rendahnya saingannya yang jelas. Hipotesis yang benar akan dengan sendirinya mendekati 1 hanya jika keduanya tidak memiliki saingan yang setara, atau lawan setara apa pun yang dimilikinya dinyatakan rendah oleh argumen masuk akal dari jenis yang tidak bergantung pada kemungkinan evidensial.

sumber: plato.stanford.edu