Logika Aristoteles

Logika Aristoteles, terutama teorinya tentang silogisme, memiliki pengaruh yang tak tertandingi terhadap sejarah pemikiran Barat. Itu tidak selalu memegang posisi ini: pada periode Helenistik, logika Stoic, dan khususnya karya Chrysippus, mendapat kebanggaan tersendiri. Namun, di zaman purba berikutnya, mengikuti karya komentator Aristoteles, logika Aristoteles menjadi dominan, dan logika Aristoteles adalah apa yang ditransmisikan ke tradisi Arab dan Latin abad pertengahan, sementara karya Chrysippus belum bertahan.

Posisi historis yang unik ini tidak selalu berkontribusi terhadap pemahaman karya logis Aristoteles. Kant berpikir bahwa Aristoteles telah menemukan segala sesuatu yang perlu diketahui tentang logika, dan sejarawan logika Prantl menarik kesimpulan bahwa ahli logika manapun setelah Aristoteles yang mengatakan sesuatu yang baru bingung, bodoh, atau jahat. Selama munculnya logika formal modern berikut Frege dan Peirce, penganut Logika Tradisional (dilihat sebagai keturunan Logika Aristoteles) dan logika matematika yang baru cenderung saling pandang sebagai saingan, dengan gagasan logika yang tidak sesuai. Beasiswa yang lebih baru sering menerapkan teknik logika matematis untuk teori Aristoteles, mengungkapkan (banyak pendapat) sejumlah kesamaan pendekatan dan minat antara Aristoteles dan ahli logika modern.

Artikel ini ditulis dari perspektif yang terakhir. Dengan demikian, ini tentang logika Aristoteles, yang tidak selalu sama dengan apa yang disebut logika "Aristoteles".
    1. Perkenalan
    2. Karya Logika Aristoteles: Organon
    3. Subjek Logika: "Silogisme"
        3.1 Induksi dan Pengurangan
        3.2 Penguraian Aristotelian dan Argumen Berlaku Modern
    4. Bangunan: Struktur Penegasan
        4.1 Persyaratan
        4.2 Penegasan, Penolakan, dan Kontradiksi
        4.3 Semua, Beberapa, dan Tidak Ada
    5. Syllogistic
        5.1 Angka
        5.2 Metode Bukti: Pengurangan, Konversi, Pengurangan "Sempurna"
        5.3 Tolak: Contoh dan Ketentuan Sebaiknya
        5.4 Pengurangan Angka ("Suasana Hati")
        5.5 Hasil Metatheoretical
        5.6 Silogisme dengan Modalitas
    6. Demonstrasi dan Ilmu Demonstratif
        6.1 Ilmu Aristotelian
        6.2 Masalah Regres
        6.3 Solusi Aristoteles: "Akhirnya Akhirnya Berhenti"
        6.4 Pengetahuan tentang Prinsip Pertama: Nous
    7. Definisi
        7.1 Definisi dan Esensi
        7.2 Spesies, Genus, dan Differentia
        7.3 Kategori
        7.4 Metode Divisi
        7.5 Definisi dan Demonstrasi
    8. Argumen Dialektika dan Seni Dialektika
        8.1 Tempat Dialektika: Makna Endoksos
        8.2 Dua Unsur Seni Dialektika
        8.3 Kegunaan Argumen Dialektika dan Dialektika
    9. Dialektika dan Retorika
    10. Argumen Sophistical
    11. Non-Kontradiksi dan Metafisika
    12. Waktu dan Kebutuhan: Pertempuran Laut
    13. Glosarium Terminologi Aristotelian

---

1. Perkenalan

Karya logis Aristoteles berisi studi formal logika awal yang kita miliki. Oleh karena itu, semakin luar biasa bahwa bersama-sama mereka terdiri dari teori logis yang sangat maju, yang mampu memberi penghormatan besar-besaran selama berabad-abad: Kant, yang sepuluh kali lebih jauh dari Aristoteles daripada kita darinya, bahkan menganggap bahwa tidak ada yang signifikan. telah ditambahkan ke pandangan Aristoteles dalam campur tangan dua ribu tahun.
Pada abad yang lalu, reputasi Aristoteles sebagai seorang ahli logika telah mengalami dua pembalikan yang luar biasa. Munculnya logika formal modern yang mengikuti karya Frege dan Russell membawa serta pengakuan akan banyak keterbatasan logika Aristoteles; Saat ini, sangat sedikit yang akan mencoba untuk mempertahankan bahwa itu memadai sebagai dasar untuk memahami sains, matematika, atau bahkan penalaran sehari-hari. Pada saat yang sama, para ilmuwan yang dilatih dalam teknik formal modern telah melihat Aristoteles dengan rasa hormat yang baru, tidak begitu banyak untuk kebenaran hasilnya, karena kemiripan semangat yang luar biasa antara sebagian besar karyanya dan logika modern. Seperti yang dikatakan oleh Jonathan Lear, "Aristoteles berbagi dengan para ahli logika modern yang memiliki kepentingan mendasar dalam metadheory": tujuan utamanya adalah tidak menawarkan panduan praktis untuk argumentasi, tetapi untuk mempelajari sifat-sifat sistem inferensial itu sendiri.

Logika Aristoteles - Logika Kuno

Logika sebagai disiplin dimulai dengan transisi dari penggunaan metode logis dan pola argumentasi yang kurang lebih tidak reflektif hingga refleksi dan penyelidikan terhadap metode dan pola ini dan elemennya, termasuk sintaks dan semantik kalimat. Dalam zaman kuno Yunani dan Romawi, diskusi tentang beberapa elemen logika dan fokus pada metode kesimpulan dapat ditelusuri kembali sampai akhir abad ^ke -5 SM. Kaum Sofis, dan kemudian Plato (awal 4 ^th ) menunjukkan ketertarikan pada analisis kalimat, kebenaran, dan kesalahan, dan Eubulides dari Miletus (pertengahan 4 ^th .) Tercatat sebagai penemu pembohong dan Sorites paradoks. Tapi logika sebagai disiplin sistematis sepenuhnya dimulai dengan Aristoteles, yang mensistematisasikan banyak penyelidikan logis pendahulunya.

Prestasinya yang utama adalah teorinya tentang keterkaitan logis dari pernyataan-pernyataan eksistensial dan pernyataan afirmatif dan negatif dan, berdasarkan teori ini, silogistiknya, yang dapat diartikan sebagai sistem kesimpulan deduktif. Logika Aristoteles dikenal sebagai istilah logika, karena berkaitan dengan hubungan logis antara istilah, seperti 'manusia', 'hewan', 'putih'. Ini berbagi elemen dengan kedua teori dan logika predikat. Pengganti Aristoteles di sekolahnya, Peripatos, khususnya Theophrastus dan Eudemus, memperluas ruang lingkup kesimpulan deduktif dan memperbaiki beberapa aspek logika Aristoteles.
Pada periode Helenistik, dan tampaknya terlepas dari prestasi Aristoteles, ahli logika Diodorus Cronus dan muridnya Philo (lihat entri sekolah Dialektika ) menyusun awal logika yang mengambil proposisi, bukan istilah, sebagai elemen dasarnya. Mereka mempengaruhi teoretikus logika utama kedua di zaman purba, Chrysino Stoic (pertengahan 3 ^r . C), yang pencapaian utamanya adalah pengembangan logika proposisional, yang dimahkotai oleh sistem deduktif. Dianggap oleh banyak orang sebagai ahli logika terbesar, ia inovatif dalam sejumlah besar topik yang penting bagi logika formal dan filosofis kontemporer. Banyak kesamaan yang erat antara logika filosofis Chrysippus dan Gottlob Frege sangat mencolok. Pengganti Chryso 'Stoic mensistematisasikan logikanya, dan membuat beberapa tambahan.
Perkembangan logika dari c. 100 SM sampai c. 250 M sebagian besar masih dalam kegelapan, namun tidak dapat diragukan lagi bahwa logika adalah salah satu topik yang dipelajari dan diteliti secara teratur. Pada beberapa titik, Peripatetics dan Stoics mulai memperhatikan sistem logis masing-masing, dan kita menyaksikan beberapa penggabungan kedua terminologi dan teori. Silogisme Aristotelian dikenal sebagai 'silogisme kategoris' dan adaptasi Peripatetik silogisme Stoic sebagai 'silvikris hipotetis'. Pada abad ke 2 Masehi, Galen berusaha untuk mensintesis dua tradisi tersebut; Dia juga mengaku telah memperkenalkan jenis silogisme ketiga, 'silogisme relasional', yang tampaknya dimaksudkan untuk membantu memformalkan penalaran matematis. Upaya beberapa Platonis Tengah (1 ^st c. BC-2 ^nd c. CE) untuk mengklaim logika Platonik yang spesifik gagal, dan sebagai gantinya, Neo-Platonis (3 r6-6 ^th CE) mengadopsi versi skolastik logika Aristoteles sebagai milik mereka sendiri. Dalam volume komentator Yunani yang masif-jika jarang kreatif dari karya-karya logis Aristoteles, kita menemukan unsur-unsur logika Stet dan kemudian Peripatetik serta Platonisme, dan matematika kuno dan retorika. Hal yang sama berlaku untuk tulisan-tulisan logis Latin oleh Apuleius (2 ^nd c. CE) dan Boethius (6 ^th CE), yang membuka jalan bagi logika Aristoteles, sehingga dilengkapi, memasuki era Abad Pertengahan.

1. Logika Pra-Aristoteles

1.1 Sintaks dan Semantik

Beberapa tipe Sophists mengklasifikasikan jenis kalimat ( logoi ) sesuai gaya mereka. Jadi Protagoras (485-415 SM), termasuk harapan, pertanyaan, jawaban dan perintah (Diels Kranz (DK) 80.A1, Diogenes Laertius (DL) 9,53-4), dan Alcidamas (murid Gorgias, fl 4 ^th BCE ), yang membedakan penegasan ( phasis ), penyangkalan ( apophasis ), pertanyaan dan alamat ( prosagoreusis ) (DL 9.54). Antisthenes (pertengahan 5 ^th -mid-4 ^th cent.) Mendefinisikan sebuah kalimat sebagai 'apa yang menunjukkan sesuatu atau apa adanya' (DL 6.3, DK 45) dan menyatakan bahwa seseorang yang mengatakan apa yang benar-benar berbicara (DK49). Mungkin jalur paling awal yang masih ada dalam logika ditemukan di Logi Dissoi atau Argumen Ganda (DK 90.4, sekitar 400 SM). Ini adalah bukti perdebatan tentang kebenaran dan kepalsuan. Yang bertentangan adalah pandangan (i) bahwa kebenaran itu adalah sifat temporal dari kalimat, dan bahwa sebuah kalimat itu benar (jika dikatakan), jika dan hanya jika segala sesuatu sesuai dengan kalimat yang mengatakan bahwa kata-kata tersebut adalah ketika dikatakan, dan salah jika tidak; dan (ii) kebenaran itu adalah hak atemporal dari apa yang dikatakan, dan bahwa apa yang dikatakan itu benar adalah dan jika hal itu terjadi, salah jika tidak demikian. Ini adalah rumusan dasar dari dua teori korespondensi alternatif tentang kebenaran. Bagian yang sama menunjukkan kesadaran akan fakta bahwa penggunaan predikat kebenaran berdasarkan referensial dapat menjadi masalah - sebuah wawasan yang juga didokumentasikan oleh penemuan paradoks pembohong oleh Eubulides dari Miletus (pertengahan 4 SM SM) tidak lama kemudian.
Beberapa dialog Platonis berisi bagian-bagian yang topiknya pasti bisa dipalsukan. Dalam Sophist , Plato menganalisa pernyataan sederhana yang mengandung kata kerja ( rhêma ), yang mengindikasikan tindakan, dan kata benda ( onoma ), yang mengindikasikan agen ( Soph . 261e-262a). Mengantisipasi perbedaan tipe logis modern, dia berpendapat bahwa tidak satu pun serangkaian kata benda atau serangkaian kata kerja dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan ( Soph . 262a-d). Plato juga menceraikan sintaksis ('apa itu pernyataan?') Dari semantik ('kapan benar?'). Sesuatu (misalnya 'Theaetetus sedang duduk') adalah sebuah pernyataan jika keduanya berhasil menentukan subjek dan mengatakan sesuatu tentang subjek ini. Plato menentukan subjek dan predikat sebagai elemen relasional dalam sebuah pernyataan dan tidak termasuk sebagai kombinasi predikat subjek-subjek yang mengandung ungkapan subjek kosong. Sesuatu adalah pernyataan yang benar jika dengan mengacu pada subjeknya (Theaetetus) ia mengatakan tentang apa yang (misalnya duduk) adanya. Sesuatu adalah pernyataan salah jika mengacu pada subjeknya, ia mengatakan sesuatu selain apa adanya (misalnya terbang), memang begitu. Di sini Plato menghasilkan sketsa teori kebenaran deflasi ( Sophs 262e-263d; lih Krat 385b). Dia juga membedakan negasi dari afirmasi dan mengambil partikel negasi untuk memiliki cakupan yang sempit: ia meniadakan predikat, bukan keseluruhan kalimat ( Soph 257b-c). Ada banyak bagian di Plato di mana dia berjuang untuk menjelaskan hubungan logis tertentu: misalnya teorinya bahwa hal-hal yang berpartisipasi dalam Formulir sesuai dengan teori prediksi yang belum sempurna; di dalam kaum Sofis dan di tempat lain ia bergumul dengan hubungan kelas eksklusi, persatuan dan perpanjangan bersama; juga dengan perbedaan antara 'adalah' predikasi (being) dan 'is' of identity (kesamaan); dan di Republic 4, 436bff, dia mengantisipasi hukum yang tidak kontradiktif. Tapi penjelasannya tentang pertanyaan logis ini dilemparkan dalam istilah metafisik, dan oleh karena itu paling tidak dianggap proto logis.

Logika Aristoteles - Logika Relevansi

Logika relevansi adalah logika non-klasik. Disebut 'logika yang relevan' di Inggris dan Australasia, sistem ini dikembangkan sebagai upaya untuk menghindari paradoks material dan implikasi yang ketat. Salah satu paradoks dari implikasi material adalah

• p → ( q → p ).
• ¬ p → ( p → q ).
• ( p → q ) ∨ ( q → r ).

Di antara paradoks implikasi ketat adalah sebagai berikut:

• ( p & ¬ p ) → q .
• p → ( q → q ).
• p → ( q ∨ ¬ q ).

Banyak filsuf, yang dimulai dengan Hugh MacColl (1908), telah mengklaim bahwa tesis ini berlawanan dengan intuisi. Mereka mengklaim bahwa formula ini gagal berlaku jika kita menafsirkan → sebagai representasi konsep implikasi yang kita miliki sebelum kita belajar logika klasik.

Relevansi ahli logika mengklaim bahwa apa yang meresahkan tentang apa yang disebut paradoks ini adalah bahwa di masing-masing anteseden tampaknya tidak relevan dengan konsekuensinya.
Selain itu, ahli logika relevansi memiliki keraguan tentang kesimpulan tertentu yang logika klasiknya valid. Misalnya, pertimbangkan inferensi yang valid secara klasik

Bulan terbuat dari keju hijau. Oleh karena itu, entah itu hujan di Ekuador sekarang atau tidak.

Sekali lagi di sini tampaknya ada kegagalan relevansi. Kesimpulannya sepertinya tidak ada kaitannya dengan premis tersebut. Relevansi ahli logika telah berusaha untuk membangun logika yang menolak tesis dan argumen yang melakukan "kesalahan relevansi".
Ahli logika yang relevan menunjukkan bahwa apa yang salah dengan beberapa paradoks (dan kesalahan) adalah bahwa pendahulunya dan konsekuen (atau premis dan kesimpulan) ada dalam topik yang sama sekali berbeda. Gagasan tentang sebuah topik, bagaimanapun, tampaknya tidak menjadi sesuatu yang harus diminati oleh seorang logika - ini berkaitan dengan konten, bukan bentuk, kalimat atau kesimpulan. Tapi ada prinsip formal yang relevan dengan logika yang berlaku untuk memaksa teorema dan kesimpulan untuk "tetap mengikuti topik". Ini adalah prinsip pembagian variabel. Prinsip pembagian variabel mengatakan bahwa tidak ada rumus bentuk A → B yang dapat dibuktikan dalam logika relevansi jika A dan B tidak memiliki setidaknya satu variabel proposisional (kadang-kadang disebut surat proposisi) yang sama dan bahwa tidak ada kesimpulan yang dapat ditunjukkan valid Jika premis dan kesimpulan tidak berbagi setidaknya satu variabel proposisional.
Pada titik ini beberapa kebingungan adalah wajar tentang apa yang relevan dengan logika yang coba dilakukan. Prinsip pembagian variabel hanyalah syarat mutlak yang harus dimiliki logika sebagai logika relevansi. Itu tidak cukup. Selain itu, prinsip ini tidak memberi kita kriteria yang menghilangkan semua paradoks dan kesalahan. Beberapa tetap paradoks atau keliru meskipun mereka memuaskan berbagi variabel. Akan tetapi, seperti yang akan kita lihat, logika yang relevan memang memberi kita gagasan bukti yang relevan mengenai penggunaan sesungguhnya dari premis (lihat bagian "Teori Bukti" di bawah), namun tidak dengan sendirinya memberi tahu kita apa yang dianggap sebagai kenyataan. (dan relevan) implikasinya. Hanya ketika teori formal digabungkan dengan interpretasi filosofis bahwa hal itu dapat dilakukan (lihat bagian "Semantik untuk Implikasi yang Relevan" di bawah).
Pada artikel ini kami akan memberikan gambaran singkat dan relatif non teknis dari bidang logika relevansi.

1. Semantik untuk Implikasi yang Relevan

Ekspresi logika relevan kita terbelakang paling banyak ditemukan dalam literatur Kita akan mulai, daripada mengakhiri, dengan semantik, karena kebanyakan filsuf saat ini cenderung secara semantis.
Semantik yang saya sajikan di sini adalah semantik hubungan terner karena Richard Routley dan Robert K. Meyer. Semantik ini adalah pengembangan semantik semilattice Alasdair Urquhart "(Urquhart 1972). Ada semantik serupa (yang juga didasarkan pada gagasan Urquhart), karena Kit Fine, yang dikembangkan pada saat bersamaan dengan teori Routley-Meyer (Fine 1974). Dan ada aljabar aljabar karena J. Michael Dunn. Model Urquhart's, Fine's, dan Dunn sangat menarik dengan sendirinya, tapi kita tidak punya ruang untuk mendiskusikannya di sini.
Gagasan di balik semantik hubungan terner agak sederhana. Pertimbangkan upaya CI Lewis untuk menghindari paradoks dari implikasi material. Dia menambahkan sebuah penghubung baru dengan logika klasik, yaitu implikasi yang ketat. Dalam istilah semantik post-Kripkean, A ⊰ B benar di dunia jika dan hanya jika untuk semua w 'sehingga w ' dapat diakses dengan baik, A gagal dalam w 'atau B memperolehnya di sana. Sekarang, dalam semantik Kripke untuk logika modal, hubungan aksesibilitas adalah relasi biner. Ini berlaku di antara pasang dunia. Sayangnya, dari sudut pandang yang relevan, teori implikasi ketat masih tidak relevan. Artinya, kita masih membuat rumus yang benar seperti p ⊰ ( q ⊰ q ). Kita bisa melihat dengan mudah bahwa kondisi kebenaran Kripke memaksa formula ini pada kita.
Seperti logika logika semantik, semantik logika relevansi relativises kebenaran formula ke dunia. Tapi Routley dan Meyer menerapkan logika modal lebih baik dan menggunakan relasi tiga tempat di dunia. Hal ini memungkinkan adanya dunia di mana q → q gagal dan pada gilirannya memungkinkan dunia di mana p → ( q → q ) gagal. Kondisi kebenaran mereka untuk → pada semantik ini adalah sebagai berikut:

A → B benar di dunia jika dan hanya jika untuk semua dunia b dan c sedemikian rupa sehingga Rabc ( R adalah hubungan aksesibilitas) salah A adalah false pada b atau B benar pada c .

Logika Aristoteles - Logika Klasik

Biasanya, logika terdiri dari bahasa formal atau informal bersama dengan sistem deduktif dan / atau semantik teori-model. Bahasa memiliki komponen yang sesuai dengan bagian bahasa alami seperti bahasa Inggris atau bahasa Yunani. Sistem deduktif adalah untuk menangkap, mengkodifikasikan, atau hanya merekam argumen yang valid untuk bahasa yang diberikan, dan semantiknya adalah untuk menangkap, mengkodifikasi, atau mencatat makna, atau kondisi kebenaran setidaknya untuk sebagian bahasa.

Bagian berikut memberikan dasar-dasar logika yang khas, kadang-kadang disebut "logika dasar klasik" atau "logika orde pertama klasik". Bagian 2 mengembangkan bahasa formal, dengan sintaks dan tata bahasa yang ketat. Bahasa formal adalah kumpulan string yang didefinisikan secara rekursif dengan alfabet tetap. Dengan demikian, tidak ada artinya, atau mungkin lebih baik, arti dari formula-nya diberikan oleh sistem deduktif dan semantik. Beberapa simbol memiliki rekan dalam bahasa sehari-hari. Kami mendefinisikan sebuah argumen sebagai kumpulan formula yang tidak kosong dalam bahasa formal, yang salah satunya menjadi kesimpulan. Rumus lainnya (jika ada) dalam sebuah argumen adalah premisnya. Bagian 3 membuat sebuah sistem deduktif untuk bahasa tersebut, dengan semangat deduksi alami. Sebuah argumen diturunkan jika ada pengurangan dari beberapa atau seluruh premisnya sampai pada kesimpulannya. Bagian 4 memberikan semantik model-teoritis. Sebuah argumen valid jika tidak ada interpretasi (dalam semantik) dimana premisnya semuanya benar dan kesimpulannya salah. Ini mencerminkan pandangan lama bahwa argumen yang benar adalah benar-menjaga.
Pada Bagian 5, kita beralih ke hubungan antara sistem deduktif dan semantik, dan khususnya, hubungan antara turunan dan validitas. Kami menunjukkan bahwa sebuah argumen hanya bisa diturunkan jika valid. Fitur yang menyenangkan ini, yang disebut kesehatan , mengharuskan tidak ada pengurangan yang mengambil satu dari tempat yang sebenarnya menjadi kesimpulan yang salah. Dengan demikian, deduksi menjaga kebenaran, dan tidak banyak deduksi. Kemudian kita membuat sebuah kebalikan, disebut kelengkapan , bahwa sebuah argumen hanya berlaku jika diturunkan. Ini menetapkan bahwa sistem deduktif cukup kaya untuk memberikan deduksi atas setiap argumen yang valid. Jadi ada cukup banyak deduksi: semua dan hanya argumen yang benar yang bisa diturunkan. Kami secara singkat menunjukkan fitur logika lainnya, beberapa di antaranya merupakan konsekuensi wajar dan kelengkapan.

1. Perkenalan

Hari ini, logika adalah cabang matematika dan cabang filsafat. Di kebanyakan universitas besar, kedua departemen menawarkan kursus logika, dan biasanya ada banyak tumpang tindih di antara keduanya. Bahasa formal, sistem deduktif, dan semantik teori model adalah objek matematika dan, karena itu, ahli logika tertarik pada sifat dan relasi matematisnya. Ketertiban, kelengkapan, dan sebagian besar hasil lainnya yang dilaporkan di bawah ini adalah contoh tipikal. Secara filosofis, logika setidaknya terkait erat dengan studi penalaran yang benar . Penalaran adalah kegiatan mental epistemis. Jadi logika setidaknya terkait erat dengan epistemologi. Dalam beberapa dekade terakhir, logika juga telah menjadi cabang utama ilmu komputer, karena, sebagian, berkaitan dengan hubungan komputasi yang menarik dalam sistem logis, dan, sebagian, berkaitan erat dengan argumentasi deduktif formal dan penalaran (lihat entri tentang fungsi rekursif , komputabilitas dan kompleksitas , dan filosofi ilmu komputer ).
Hal ini menimbulkan pertanyaan mengenai relevansi filosofis dari berbagai aspek logika matematika. Bagaimana deduktifitas dan validitasnya, sebagai sifat bahasa formal - rangkaian senar dengan alfabet tetap - berhubungan dengan penalaran yang benar? Apa hasil matematis yang dilaporkan di bawah ini berkaitan dengan isu filosofis asli tentang penalaran yang benar? Ini adalah contoh dari masalah filosofis untuk menjelaskan bagaimana matematika diterapkan pada realitas non-matematis.
Biasanya, penalaran deduktif biasa terjadi dalam bahasa alami, atau mungkin bahasa alami ditambah dengan beberapa simbol matematika. Jadi pertanyaan kita dimulai dengan hubungan antara bahasa alami dan bahasa formal. Tanpa mencoba menjadi komprehensif, mungkin akan membantu untuk membuat sketsa beberapa opsi mengenai masalah ini.
Satu pandangan adalah bahwa bahasa formal secara akurat menunjukkan fitur sebenarnya dari fragmen tertentu dari bahasa alami. Beberapa filsuf mengklaim bahwa kalimat deklaratif bahasa alami memiliki bentuk logis yang mendasarinya dan bentuk-bentuk ini ditampilkan dengan formula bahasa formal. Penulis lain berpendapat bahwa (sukses) kalimat deklaratif mengemukakan proposisi ; dan formula bahasa formal entah bagaimana menampilkan bentuk proposisi ini. Pada pandangan seperti ini, komponen logika memberikan struktur dasar penalaran yang mendasar. Sebuah potongan penalaran dalam bahasa alami adalah benar jika bentuk yang mendasari kalimat merupakan argumen yang valid atau dapat dikurangkan. Lihat misalnya, Montague [1974], Davidson [1984], Lycan [1984] (dan entri dalam bentuk logis ).
Pandangan lain, yang dipegang setidaknya oleh Gottlob Frege dan Wilhelm Leibniz, adalah karena bahasa alam penuh dengan ketidakjelasan dan ambiguitas, mereka harus diganti dengan bahasa formal. Pandangan serupa, yang dipegang oleh WVO Quine (misalnya, [1960], [1986]), adalah bahwa bahasa alami harus diatur, dibersihkan untuk karya ilmiah dan metafisik yang serius. Salah satu desideratum perusahaan adalah bahwa struktur logis dalam bahasa yang ketat harus transparan. Harus mudah untuk "membacakan" sifat logis setiap kalimat. Bahasa yang diatur mirip dengan bahasa formal mengenai, misalnya, ketepatan eksplisit dari sintaks dan kondisi kebenarannya.
Pada pandangan seperti ini, deducibility dan validitas mewakili idealisasi penalaran yang benar dalam bahasa alami. Sejumlah penalaran benar sejauh sesuai dengan, atau dapat diatur oleh, argumen yang valid atau dapat dikurangkan dalam bahasa formal.
Ketika para ahli matematika dan banyak filsuf terlibat dalam penalaran deduktif, mereka kadang-kadang meminta formula dalam bahasa formal untuk membantu disambiguate, atau menjelaskan maksud mereka. Dengan kata lain, kadang-kadang rumus dalam bahasa formal digunakan dalam penalaran biasa. Ini menunjukkan bahwa seseorang mungkin menganggap bahasa formal sebagai tambahan untuk bahasa alami. Kemudian pertanyaan kami saat ini menyangkut hubungan antara addendum dan bahasa asli ini. Apa deduktif dan validitasnya, seperti yang didefinisikan secara tajam pada adendum, ceritakan tentang penalaran deduktif yang benar secara umum?
Pandangan lain adalah bahwa bahasa formal adalah model matematis bahasa alami dalam pengertian yang kira-kira sama seperti, katakanlah, kumpulan massa titik adalah model sistem objek fisik, dan konstruksi Bohr adalah model sebuah atom. Dengan kata lain, bahasa formal menampilkan beberapa fitur bahasa alami, atau idealisasi daripadanya, sambil mengabaikan atau menyederhanakan fitur lainnya. Tujuan dari model matematis adalah untuk menjelaskan model mereka, tanpa mengklaim bahwa modelnya akurat dalam semua hal atau bahwa model tersebut harus menggantikan modelnya. Pada pandangan seperti ini, deducibility dan validitas merupakan model matematis (mungkin berbeda aspek) penalaran yang benar dalam bahasa alami. Potongan penalaran deduktif yang benar sesuai, kurang lebih, untuk argumen yang benar atau dapat dikurangkan; Potongan penalaran yang salah kira-kira sesuai dengan argumen yang tidak benar atau tidak dapat dikurangkan. Lihat, misalnya, Corcoran [1973], Shapiro [1998], dan Cook [2002].
Tidak perlu mengadili masalah ini di sini. Mungkin kebenaran terletak pada kombinasi opsi di atas, atau mungkin pilihan lain adalah yang benar, atau yang paling menyinari. Saya mengajukan masalah hanya untuk memberikan beberapa perspektif filosofis terhadap perlakuan formal berikut ini.

2. Bahasa

Di sini kita mengembangkan dasar-dasar bahasa formal, atau tepatnya, kelas bahasa formal. Sekali lagi, bahasa formal adalah rangkaian senar yang didefinisikan secara rekursif dengan alfabet tetap. Beberapa aspek bahasa formal sesuai, atau memiliki bahasa dalam bahasa alami seperti bahasa Inggris. Secara teknis, "hubungan timbal balik" ini bukan bagian dari perkembangan formal, namun saya akan menyebutkannya dari waktu ke waktu, untuk memotivasi beberapa fitur dan hasil.

Blok bangunan

Kita mulai dengan analog dengan istilah singular , item linguistik yang fungsinya untuk menunjukkan seseorang atau objek. Kami menyebutnya istilah . Kami mengasumsikan stok konstan individu . Ini adalah huruf kecil, di dekat awal alfabet Romawi, dengan atau tanpa subskrip angka:

a , a , b ₂₃ , c , d ₂₂ , dll.

Kami membayangkan potensi tak terbatas dari konstanta individu. Dalam sistem sekarang masing-masing konstan adalah karakter tunggal, dan konstanta individu tidak memiliki sintaks internal. Jadi kita memiliki alfabet yang tak terbatas. Hal ini dapat dihindari dengan mengambil konstanta seperti d ₂₂ , misalnya, terdiri dari tiga karakter, huruf kecil " d " diikuti oleh sepasang subskrip "2" s.
Kami juga mengasumsikan stok variabel individual . Ini adalah huruf kecil, di dekat akhir alfabet, dengan atau tanpa subskrip numerik:

w , x , y ₁₂ , z , z ₄ , dll.

Dalam penalaran matematika biasa, variabel melayani fungsi ganda. Terkadang sebuah variabel digunakan sebagai istilah tunggal untuk menunjukkan objek yang spesifik, namun tidak ditentukan (atau sewenang-wenang). Sebagai contoh, seorang matematikawan mungkin memulai sebuah derivasi: "Misalkan x menjadi bilangan prima yang utama". Variabel juga digunakan untuk menyatakan generalitas, seperti dalam pernyataan matematis bahwa untuk bilangan natural x , ada bilangan asli y , sehingga y > x dan y prima.
Kedua kegunaan tersebut direkam dalam perlakuan formal di bawah ini. Beberapa ahli logika menggunakan simbol yang berbeda untuk objek yang tidak ditentukan (kadang-kadang disebut "parameter individual") dan variabel yang digunakan untuk mengekspresikan generalitas.
Konstanta dan variabel adalah satu-satunya syarat dalam bahasa formal kita, jadi semua persyaratan kita sederhana, sesuai dengan nama yang tepat dan beberapa penggunaan kata ganti. Beberapa penulis juga memperkenalkan surat-surat fungsional , yang memungkinkan istilah kompleks yang sesuai dengan: "7 + 4" dan "istri Bill Clinton", atau istilah kompleks yang mengandung variabel, seperti "ayah dari x " dan " x / y ". Buku logika yang ditujukan untuk matematikawan cenderung mengandung huruf fungsi, mungkin karena sentralitas fungsi pada wacana matematika. Buku yang ditujukan untuk khalayak yang lebih umum (atau pada siswa filsafat), dapat meninggalkan surat-surat fungsi, karena menyederhanakan sintaks dan teori. Kami mengikuti rute yang terakhir di sini. Ini adalah contoh tradeoff umum antara menghadirkan sistem dengan sumber daya ekspresif yang lebih besar, dengan biaya membuat perawatan formalnya lebih kompleks.
Untuk setiap bilangan natural n , kami mengenalkan stok huruf predikat n -place. Ini adalah huruf besar di awal atau di tengah alfabet. Sebuah superskrip menunjukkan jumlah tempat, dan mungkin ada atau mungkin bukan subskrip. Sebagai contoh,

A ³ , B ³ ₂ , P ³ , dll.

adalah tiga tempat predikat huruf. Kita sering menghilangkan superskrip, bila tidak ada kebingungan akan terjadi. Kami juga menambahkan simbol predikat dua tempat khusus "=" untuk identitas.
Huruf predikat zero-place terkadang disebut "kalimat huruf". Mereka sesuai dengan kalimat bebas yang struktur internalnya tidak penting. Huruf predikat satu tempat, yang disebut "huruf predikat monadik", sesuai dengan item linguistik yang menunjukkan sifat, seperti "menjadi manusia", "berwarna merah", atau "menjadi bilangan prima". Huruf predikat dua tempat, yang disebut "huruf predikat biner", sesuai dengan item linguistik yang menunjukkan hubungan biner, seperti "adalah induk dari" atau "lebih besar dari". Huruf predikat tiga tempat sesuai dengan relasi tiga tempat, seperti "terletak pada garis lurus antara". Dan seterusnya.
Terminologi non-logis bahasa terdiri dari konstanta dan predikat masing-masing. Simbol "=", untuk identitas, bukanlah simbol non-logis. Dalam mengambil identitas menjadi logis, kami memberikan perlakuan eksplisit untuk itu dalam sistem deduktif dan dalam model-teorema semantik. Sebagian besar penulis melakukan hal yang sama, namun ada beberapa kontroversi mengenai masalah ini (Quine [1986, Bab 5]). Jika K adalah satu set huruf konstanta dan predikat, maka kita memberikan dasar-dasar bahasa L 1 K = yang dibangun di atas rangkaian terminologi non-logis ini. Ini bisa disebut bahasa orde pertama dengan identitas pada K. Bahasa yang sama yang tidak memiliki simbol identitas (atau yang mengambil identitas menjadi tidak logis) dapat disebut L 1 K , bahasa orde pertama tanpa identitas pada K.

Rumus atom

Jika V adalah huruf predikat n- tempat di K , dan t1 , ..., t _n adalah istilah K (yaitu konstanta dalam K atau variabel), maka Vt ₁ ... t _n adalah formula atomik dari L 1 K =. Perhatikan bahwa istilah t ₁ , ..., t _n tidak perlu berbeda. Contoh formula atom meliputi:

P ⁴ xaab , C ¹ x , C ¹ a , D ⁰ , A ³ abc .

Yang terakhir adalah analog dari sebuah pernyataan bahwa relasi tertentu ( A ) berada di antara tiga objek ( a , b , c ). Jika t1 dan t ₂ adalah istilah, maka t ₁ = t ₂ juga merupakan formula atomik dari L 1 K =. Ini sesuai dengan pernyataan bahwa t1 identik dengan t ₂ .
Jika formula atom tidak memiliki variabel, maka itu disebut kalimat atom . Jika memang memiliki variabel, itu disebut terbuka . Dalam daftar contoh di atas, yang pertama dan kedua terbuka; sisanya adalah kalimat.

Rumus majemuk

Kami sekarang memperkenalkan item akhir dari leksikon:

¬, &, ∨, →, ∀, ∃, (,)

Kami memberikan definisi rekursif dari formula L 1 K =:

1. Semua formula atom L 1 K = adalah rumus L 1 K =. 2. Jika θ adalah rumus L 1 K =, maka seterusnya ¬θ.

Kalimat yang sesuai dengan ¬θ mengatakan bahwa bukan itu θ. Simbol "¬" disebut "negasi", dan merupakan penghubung yang tidak biasa.

3. Jika θ dan ψ adalah rumus L 1 K =, maka begitu juga (θ & ψ).

Ampersand "&" sesuai dengan bahasa Inggris "dan" (bila "dan" digunakan untuk menghubungkan kalimat). Jadi (θ & ψ) bisa dibaca "θ dan ψ". Rumus (θ & ψ) disebut "konjungsi" dari θ dan ψ.

4. Jika θ dan ψ adalah rumus L 1 K =, maka adalah (θ ∨ ψ).

Baji "∨" sesuai dengan "baik ... atau ... atau keduanya", jadi (θ ∨ ψ) dapat dibaca "θ atau ψ". Rumus (θ ∨ ψ) disebut "disjungsi" dari θ dan ψ.

5. Jika θ dan ψ adalah rumus L 1 K =, maka adalah (θ → ψ).

Panah "→" kira-kira sesuai dengan "jika ... lalu ...", jadi (θ → ψ) dapat dibaca "jika θ lalu ψ" atau "θ hanya jika ψ".
Simbol "&", "∨", dan "→" disebut "koneksi biner", karena keduanya berfungsi untuk "menghubungkan" dua kalimat menjadi satu. Beberapa penulis mengenalkan (θ ↔ ψ) sebagai singkatan dari ((θ → ψ) & (ψ → θ)). Simbol "↔" adalah analog dari lokus "jika dan hanya jika".

6. Jika θ adalah rumus L 1 K = dan v adalah sebuah variabel, maka ∀ v θ adalah rumus L 1 K =.

Simbol "∀" disebut pengukur universal , dan merupakan analog dari "untuk semua"; jadi ∀ v θ bisa dibaca "untuk semua v , θ".

7. Jika θ adalah rumus dari L 1 K = dan v adalah sebuah variabel, maka ∃ v θ adalah rumus dari L 1 K =.

Simbol "∃" disebut pengukur eksistensial , dan merupakan analog dari "ada" atau "ada"; jadi ∃ v θ bisa dibaca "ada v sedemikian rupa sehingga θ".

8. Itu semua orang. Artinya, semua formula dibuat sesuai dengan peraturan (1) - (7).

Ayat (8) memungkinkan kita melakukan induksi pada kompleksitas formula. Jika properti tertentu memegang rumus atom dan ditutup di bawah operasi yang disajikan dalam klausa (2) - (7), maka properti menyimpan semua formula. Berikut adalah contoh sederhananya:

Teorema 1 . Setiap formula L 1 K = memiliki jumlah kurung kiri dan kanan yang sama. Selain itu, masing-masing kurung kiri sesuai dengan tanda kurung yang unik, yang terjadi di sebelah kanan kurung kiri. Demikian pula, setiap tanda kurung yang benar sesuai dengan kurung kiri yang unik, yang terjadi di sebelah kiri kurung kanan yang diberikan. Jika tanda kurung terjadi di antara sepasang tanda kurung yang cocok, maka pasangannya juga terjadi dalam pasangan yang cocok itu. Dengan kata lain, tanda kurung yang terjadi dalam pasangan yang cocok itu sendiri cocok. Bukti : Dengan ayat (8), setiap formula dibuat dari rumus atom dengan menggunakan klausa (2) - (7). Rumus atom tidak memiliki tanda kurung. Tanda kurung diperkenalkan hanya dalam klausul (3) - (5), dan setiap kali diperkenalkan sebagai rangkaian yang sesuai. Jadi pada tahap apapun dalam konstruksi formula, tanda kurung dipasangkan.

Kami selanjutnya mendefinisikan gagasan tentang terjadinya variabel bebas atau terikat dalam formula. Variabel yang langsung mengikuti quantifier (seperti pada "∀ x " dan "∃ y ") tidak bebas dan tidak terikat. Kami bahkan tidak memikirkannya sebagai kejadian variabel. Semua variabel yang terjadi dalam formula atom bebas. Jika sebuah variabel terjadi bebas (atau terikat) di θ atau di ψ, maka kejadian yang sama adalah bebas (atau terikat) dalam ¬θ, (θ & ψ), (θ ∨ ψ), dan (θ → ψ). Artinya, connecters (unary dan binary) tidak mengubah status variabel yang terjadi di dalamnya. Semua kejadian dari variabel v dalam θ terikat dalam ∀ v θ dan ∃ v θ. Setiap kejadian v bebas di θ terikat oleh pengukur awal. Semua variabel lain yang terjadi di θ bebas atau terikat dalam ∀ v θ dan ∃ v θ, seperti pada θ.
Misalnya, dalam rumus (∀x ( Axy ∨ Bx ) & Bx ), kejadian " x " di Axy dan pada BX pertama terikat oleh quantifier. Terjadinya " y " dan kejadian terakhir " x " bebas. Dalam ∀ x ( Ax → ∃ xBx ), " x " di Ax terikat oleh pengukur universal awal, sedangkan kejadian x lainnya terikat oleh quantifier eksistensial. Sintaks di atas memungkinkan "double-binding" ini. Meski tidak menimbulkan ambiguitas (lihat di bawah), kita akan menghindari rumusan tersebut, sebagai soal selera dan kejelasan.
Sintaksnya juga memungkinkan pengikatan hampa disebut, seperti dalam ∀x Bc . Ini juga akan dihindari seperti berikut. Beberapa perlakuan logika menyingkirkan pengikatan hampa dan pengikatan ganda sebagai soal sintaksis. Itu menyederhanakan beberapa perawatan di bawah ini, dan mempersulit orang lain.
Variabel bebas sesuai dengan pemegang tempat, sedangkan variabel terikat digunakan untuk mengekspresikan generalitas. Jika formula tidak memiliki variabel bebas, maka itu disebut kalimat . Jika formula memiliki variabel bebas, maka disebut open .

Fitur sintaksnya

Sebelum beralih ke sistem deduktif dan semantik, saya menyebutkan beberapa fitur bahasa, seperti yang dikembangkan sejauh ini. Ini membantu menarik kontras antara bahasa formal dan bahasa alami seperti bahasa Inggris.
Kami berasumsi sejak awal bahwa semua kategori saling terkait. Misalnya, tidak ada penghubung juga merupakan pengukur atau variabel, dan istilah non-logis juga bukan tanda kurung atau penghubung. Selain itu, item dalam setiap kategori berbeda. Misalnya, tanda untuk disjungsi tidak melakukan tugas ganda sebagai simbol negasi, dan mungkin lebih signifikan lagi, tidak ada predikat dua tempat juga merupakan predikat satu tempat.
Satu perbedaan antara bahasa alami seperti bahasa Inggris dan bahasa formal seperti L 1 K = adalah bahwa yang terakhir tidak seharusnya memiliki ambiguitas. Kebijakan bahwa berbagai kategori simbol tidak saling tumpang tindih, dan bahwa tidak ada simbol yang melakukan tugas ganda, menghindari jenis ambiguitas, yang terkadang disebut "ketidakjelasan", yang terjadi ketika satu kata memiliki dua makna: "Saya akan menemuimu di bank. "Tapi ada beberapa jenis ambiguitas lainnya. Pertimbangkan kalimat bahasa Inggris:

John sudah menikah, dan Mary lajang, atau Joe gila.

Ini bisa berarti bahwa John sudah menikah dan Mary adalah lajang atau Joe tergila-gila, atau bisa juga berarti bahwa baik John sudah menikah dan Mary lajang, atau Joe sendiri gila. Sebuah ambiguitas seperti ini, karena berbagai cara untuk mengurai kalimat yang sama, kadang disebut "amphiboly". Jika bahasa formal kita tidak memiliki tanda kurung di dalamnya, maka akan ada amfibi. Misalnya, akan ada "rumus" A & B ∨ C. Apakah ini seharusnya (( A & B ) ∨ C ), atau apakah ( A & ( B ∨ C ))? Tanda kurung menyelesaikan apa yang akan menjadi amfibi.
Bisakah kita memastikan bahwa tidak ada amfibi lain dalam bahasa kita? Artinya, dapatkah kita memastikan bahwa setiap formula L 1 K = dapat digabungkan hanya dalam satu cara? Tugas kita selanjutnya adalah menjawab pertanyaan ini.
Mari kita sementara menggunakan istilah "unary marker" untuk simbol negasi (¬) atau quantifier diikuti oleh variabel (misalnya, ∀ x , ∃ z ).

Lemma 2 . Setiap formula terdiri dari serangkaian nol atau lebih penanda yang tidak biasa diikuti oleh formula atom atau formula yang dihasilkan dengan menggunakan penghubung biner, melalui salah satu dari klausa (3) - (5). Bukti : Kami melanjutkan dengan induksi pada kompleksitas rumus atau, dengan kata lain, pada jumlah aturan formasi yang diterapkan. Lemma dengan jelas memegang formula atom. Misalkan n adalah bilangan asli, dan anggaplah Lemma memegang rumus yang dibuat dari n atau lebih sedikit contoh klausa (2) - (7). Misalkan θ adalah formula yang dibuat dari n +1 instance. Lemma memegang jika klausa terakhir yang digunakan untuk membangun θ adalah (3), (4), atau (5). Jika klausa terakhir yang digunakan untuk membangun θ adalah (2), maka θ adalah ¬ψ. Karena ψ dibangun dengan n contoh aturan, Lemma berlaku untuk ψ (dengan hipotesis induksi), dan karenanya berlaku untuk θ. Alasan serupa menunjukkan Lemma bertahan untuk θ jika klausa terakhir adalah (6) atau (7). Dengan klausa (8), ini menguras kasus, dan Lemma bertahan untuk θ, dengan induksi.
Lemma 3 . Jika formula θ berisi tanda kurung siku kiri, maka itu berakhir dengan tanda kurung yang tepat, yang sesuai dengan tanda kurung kiri paling kiri di θ.
Bukti : Disini kita juga melanjutkan dengan induksi pada jumlah contoh (2) - (7) yang digunakan untuk membuat rumus. Jelas, Lemma memegang formula atom, karena mereka tidak memiliki tanda kurung. Misalkan, maka, Lemma memegang rumus yang dibuat dengan n atau lebih sedikit contoh (2) - (7), dan biarkan θ dibangun dengan n +1 contoh. Jika klausa terakhir yang diterapkan adalah (3) - (5), maka Lemma bertahan sejak θ sendiri dimulai dengan tanda kurung kiri dan diakhiri dengan tanda kurung yang sesuai. Jika klausa terakhir yang diterapkan adalah (2), maka θ adalah ¬ψ, dan hipotesis induksi berlaku untuk ψ. Demikian pula, jika klausa terakhir yang diterapkan adalah (6) atau (7), maka θ terdiri dari quantifier, variabel, dan formula yang dapat kita gunakan untuk hipotesis induksi. Ini mengikuti bahwa Lemma berlaku untuk θ.
Lemma 4 . Setiap formula mengandung setidaknya satu formula atom.

Bukti hasil induksi pada jumlah contoh (2) - (7) digunakan untuk menyusun rumus, dan kita membiarkannya sebagai latihan.

Teorema 5 . Misalkan α, β adalah urutan karakter yang tidak kosong pada alfabet kita, sehingga αβ (yaitu α diikuti oleh β) adalah formula. Lalu α bukan formula. Bukti : Dengan Teorema 1 dan Lemma 3, jika α berisi tanda kurung di sebelah kiri, maka tanda kurung yang tepat yang sesuai dengan tanda kurung kiri paling kiri pada αβ datang pada akhir αβ, dan tanda tangan kanan yang tepat ada pada β. Jadi, α memiliki tanda kurung yang lebih banyak daripada tanda kurung yang benar. Dengan Teorema 1, α bukanlah formula. Jadi sekarang anggaplah bahwa α tidak mengandung tanda kurung kiri. Dengan Lemma 2, αβ terdiri dari serangkaian nol atau lebih penanda yang tidak biasa diikuti oleh formula atom atau formula yang dihasilkan dengan menggunakan penghubung biner, melalui salah satu dari klausa (3) - (5). Jika formula yang terakhir diproduksi melalui salah satu klausa (3) - (5), maka dimulai dengan kurung kiri. Karena α tidak mengandung tanda kurung apapun, itu harus berupa rangkaian penanda yang tidak biasa. Tapi kemudian α tidak mengandung formula atom, dan oleh Lemma 4, α bukan formula. Satu-satunya kasus yang tersisa adalah di mana αβ terdiri dari serangkaian penanda gelap yang diikuti oleh formula atomik, baik dalam bentuk t ₁ = t ₂ atau Pt ₁ ... t _n . Sekali lagi, jika α hanya terdiri dari penanda unary, itu tidak akan menjadi formula, dan karenanya α harus terdiri dari tanda-tanda yang tidak awam yang memulai αβ, diikuti oleh t ₁ dengan sendirinya, t1 = dengan sendirinya, atau huruf predikat P , dan mungkin beberapa (tapi tidak semua) dari persyaratan t ₁ , ..., t _n . Dalam dua kasus pertama, α tidak mengandung formula atomik, dengan kebijakan bahwa kategori tidak tumpang tindih. Karena P adalah sebuah surat predikat n -place, dengan kebijakan bahwa huruf predikatnya berbeda, P bukan huruf predikat m- tempat untuk m ≠ n . Jadi bagian dari α yang terdiri dari P diikuti oleh istilah bukan formula atom. Dalam semua kasus ini, maka, α tidak mengandung formula atom. Dengan Lemma 4, α bukan formula.

Kami akhirnya pada posisi untuk menunjukkan bahwa tidak ada amfibi dalam bahasa kita.

Teorema 6 . Misalkan θ adalah formula L 1 K =. Jika θ bukan atom, maka ada satu dan hanya satu di antara (2) - (7) yang merupakan klausa terakhir yang diterapkan untuk membangun θ. Artinya, θ tidak dapat diproduksi oleh dua klausa yang berbeda. Selain itu, tidak ada formula yang dihasilkan oleh klausa (3) - (7) adalah atom. Bukti : Dengan Ayat (8), θ adalah atom atau diproduksi oleh salah satu dari klausa (2) - (7). Jadi, simbol pertama di θ harus berupa sebuah surat predikat, sebuah istilah, sebuah tanda tak bertanda, atau tanda kurung kiri. Jika simbol pertama di θ adalah huruf predikat atau istilah, maka θ adalah atom. Dalam kasus ini, θ tidak diproduksi oleh salah satu dari (2) - (7), karena semua formula semacam itu dimulai dengan sesuatu selain surat predikat atau istilah. Jika simbol pertama di θ adalah tanda negasi "¬", maka θ diproduksi oleh ayat (2), dan bukan oleh klausa lain (karena klausa lainnya menghasilkan formula yang dimulai dengan quantifier atau tanda kurung kiri). Demikian pula, jika θ dimulai dengan quantifier universal, maka dihasilkan oleh ayat (6), dan bukan oleh klausa lain, dan jika θ dimulai dengan quantifier eksistensial, maka dihasilkan oleh ayat (7), dan bukan oleh klausa lainnya Satu-satunya kasus yang tersisa adalah di mana θ dimulai dengan kurung kiri. Dalam hal ini, harus diproduksi oleh salah satu dari (3) - (5), dan bukan oleh klausa lainnya. Kita hanya perlu mengesampingkan kemungkinan bahwa θ diproduksi lebih dari satu (3) - (5). Sebagai contoh, misalkan θ diproduksi oleh (3) dan (4). Kemudian θ adalah (ψ ₁ & ψ ₂ ) dan θ juga (ψ ₃ ∨ ψ ₄ ), di mana ψ ₁ , ψ ₂ , ψ ₃ , dan ψ ₄ adalah formula sendiri. Artinya, (ψ ₁ & ψ ₂ ) adalah rumus yang sama dengan (ψ ₃ ∨ ψ ₄ ). Dengan Teorema 5, ψ ₁ tidak dapat menjadi bagian yang tepat dari ψ ₃ , dan juga tidak dapat menjadi bagian yang tepat dari ψ ₁ . Jadi ψ ₁ harus sama dengan rumus ψ ₃ . Tapi kemudian "&" harus menjadi simbol yang sama dengan "∨", dan ini bertentangan dengan kebijakan bahwa semua simbol berbeda. Jadi θ tidak diproduksi oleh kedua Ayat (3) dan Ayat (4). Alasan yang sama menangani kombinasi lainnya.

Hasil ini terkadang disebut "unique readability". Ini menunjukkan bahwa setiap formula dihasilkan dari formula atom melalui berbagai klausa dengan tepat satu arah. Jika θ diproduksi dengan ayat (2), maka konektif utamanya adalah awal "¬". Jika θ diproduksi dengan klausa (3), (4), atau (5), maka konektif utamanya adalah "&", "∨", atau "→" yang diperkenalkan. Jika θ diproduksi dengan klausa (6) atau (7), maka penghubung utamanya adalah pengukur awal. Saya mohon maaf atas detail yang membosankan. Saya memasukkan mereka untuk menunjukkan tingkat ketepatan dan ketelitian sintaksinya.

3. Pengurangan

Kami sekarang memperkenalkan sistem deduktif , D , untuk bahasa kami. Seperti di atas, kita mendefinisikan sebuah argumen sebagai kumpulan formula yang tidak kosong dalam bahasa formal, yang salah satunya menjadi kesimpulan . Jika ada rumus lain dalam argumen, itu adalah premisnya . Dengan konvensi, kita menggunakan "Γ", "Γ '", "Γ ₁ ", dan lain-lain, untuk merangkai serangkaian formula, dan kita menggunakan huruf "φ", "ψ", "θ", huruf besar atau huruf kecil, dengan atau tanpa subskrip, untuk rentang lebih dari satu formula. Kami menulis "Γ, Γ '" untuk penyatuan Γ dan Γ', dan "Γ, φ" untuk penyatuan Γ dengan {φ}.
Kami menulis sebuah argumen dalam bentuk <Γ, φ>, di mana Γ adalah himpunan tempat dan φ adalah kesimpulannya. Ingat bahwa Γ mungkin kosong. Kami menulis Γ ⊢ φ untuk menunjukkan bahwa φ dapat dikurangkan dari Γ, atau, dengan kata lain, argumen <Γ, φ> dapat di deduksi dalam D. Kita dapat menulis Γ ⊢ _D φ untuk menekankan sistem deduktif D. Kami menulis ⊢ φ atau ⊢ _D φ untuk menunjukkan bahwa φ dapat disimpulkan (dalam D ) dari kumpulan tempat kosong.
Aturan di D dipilih untuk menyesuaikan hubungan logis mengenai analog bahasa Inggris dari terminologi logis dalam bahasa tersebut. Sekali lagi, kita mendefinisikan relasi deducibility dengan rekursi. Kita mulai dengan aturan asumsi:

(As) Jika φ adalah anggota Γ, maka Γ ⊢ φ.

Dengan demikian kita memiliki {φ} ⊢ φ; setiap premis mengikuti dari dirinya sendiri. Kami selanjutnya menyajikan dua klausa untuk setiap penghubung dan pengukur. Klausa menunjukkan bagaimana "mengenalkan" dan "menghilangkan" formula di mana setiap simbol adalah penghubung utama.
Pertama, ingat bahwa "&" adalah analog dari penghubung Inggris "dan". Secara intuitif, seseorang dapat menyimpulkan formula dalam bentuk (θ & ψ) jika seseorang telah menyimpulkan θ dan satu telah menyimpulkan ψ. Sebaliknya, kita dapat menyimpulkan θ dari (θ & ψ) dan seseorang dapat menyimpulkan ψ dari (θ & ψ):

(& I) Jika Γ ₁ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ψ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ (θ & ψ). (& E) Jika Γ ⊢ (θ & ψ) maka Γ ⊢ θ; dan jika Γ ⊢ (θ & ψ) lalu Γ ⊢ ψ.

Nama "& I" berarti "& -introduksi"; "& E" singkatan dari "& -eliminasi".
Karena, simbol "∨" sesuai dengan bahasa Inggris "atau", (θ ∨ ψ) harus dapat dikurangkan dari θ, dan (θ ∨ ψ) juga dapat dikurangkan dari ψ:

(∨ I ) Jika Γ ⊢ θ lalu Γ ⊢ (θ ∨ ψ); jika Γ ⊢ ψ lalu Γ ⊢ (θ ∨ ψ).

Aturan eliminasi sedikit lebih rumit. Misalkan "θ atau ψ" benar adanya. Misalkan juga φ berikut dari θ dan φ berikut dari ψ. Seseorang dapat beralasan bahwa jika θ benar, maka φ adalah benar. Jika sebaliknya ψ benar, kita masih memiliki itu φ adalah benar. Jadi bagaimanapun juga, φ pasti benar.

(∨ E ) Jika Γ ₁ ⊢ (θ ∨ ψ), Γ ₂ , θ ⊢ φ dan Γ ₃ , ψ ⊢ φ, maka Γ ₁ , Γ ₂ , Γ ₃ ⊢ φ.

Untuk klausa berikutnya, ingat bahwa simbol "→" adalah analog dari konstruksi bahasa Inggris "if ... then ...". Jika seseorang tahu, atau mengasumsikan (θ → ψ) dan juga tahu, atau mengasumsikan θ, maka orang dapat menyimpulkan ψ. Sebaliknya, jika seseorang menyimpulkan ψ dari asumsi θ, maka seseorang dapat menyimpulkan bahwa (θ → ψ).

(→ I ) Jika Γ, θ ⊢ ψ, maka Γ ⊢ (θ → ψ). (→ E ) Jika Γ ₁ ⊢ (θ → ψ) dan Γ ₂ ⊢ θ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ψ.

Aturan penghapusan ini kadang disebut "modus ponens". Dalam beberapa teks logika, aturan pendahuluan terbukti sebagai "teorema deduksi".
Klausa kami selanjutnya adalah untuk tanda negasi, "¬". Ide dasarnya adalah bahwa formula ψ tidak sesuai dengan negasi ¬ nya. Mereka tidak bisa menjadi kenyataan. Kami memanggil sepasang formula ψ, ¬ ' berlawanan kontradiktif . Jika seseorang dapat menyimpulkan pasangan seperti itu dari asumsi θ, maka seseorang dapat menyimpulkan bahwa θ salah, atau, dengan kata lain, seseorang dapat menyimpulkan ¬θ.

(¬I) Jika Γ ₁ , θ ⊢ ψ dan Γ ₂ , θ ⊢ ¬ψ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ¬θ.

Dengan (As), kita memiliki { A , ¬ A } ⊢ A dan { A, ¬A } ⊢ ¬ A. Jadi oleh ¬I kita memiliki itu { A } ⊢ ¬¬ A. Namun, kita belum bisa berbicara sebaliknya. Secara intuitif, ¬ ¬ 'sesuai dengan "bukan itu masalahnya bukan itu". Orang mungkin berpikir bahwa yang terakhir ini setara dengan θ, dan kita memiliki peraturan untuk efek itu:

(DNE) Jika Γ ⊢ ¬¬θ, maka Γ ⊢ θ.

Nama DNE adalah singkatan dari "eliminasi double-negation". Ada beberapa kontroversi mengenai kesimpulan ini. Hal ini ditolak oleh para filsuf dan matematikawan yang tidak menganggap bahwa setiap kalimat bermakna itu benar atau tidak benar. Logika intuisi tidak memberi sanksi atas kesimpulan yang dimaksud (lihat Dummett [2000], atau masukan logika intuisi , atau sejarah logika intuisi ), tapi, sekali lagi, logika klasik melakukannya.
Untuk menggambarkan bagian-bagian dari sistem deduktif yang disajikan D sejauh ini, saya tunjukkan bahwa ⊢ ( A ∨ ¬ A ):

(i) {¬ ( A ∨ ¬ A ), A } ¬ ¬ ( A ∨ ¬ A ), oleh (As) (ii) {¬ ( A ∨ ¬ A ), A } ⊢ A , oleh (As).
(iii) {¬ ( A ∨ ¬ A ), A } ⊢ ( A ∨ ¬ A ), oleh (∨I), dari (ii).
(iv) {¬ ( A ∨ ¬ A )} ⊢ ¬ A, oleh (¬I), dari (i) dan (iii).
(v) {¬ ( A ∨ ¬ A ), ¬ A } ⊢ ¬ ( A ∨ ¬ A ), oleh (As)
(vi) {¬ ( A ∨ ¬ A ), ¬ A } ⊢ ¬ A , oleh (As)
(vii) {¬ ( A ∨ ¬ A ), ¬ A } ⊢ ( A ∨ ¬ A ), oleh (∨I), dari (vi).
(viii) {¬ ( A ∨ ¬ A )} ⊢ ¬¬ A , oleh (¬I), dari (v) dan (vii).
(ix) ⊢ ¬¬ ( A ∨ ¬ A ), oleh (¬I), dari (iv) dan (viii).
(x) ⊢ ( A ∨ ¬ A ), oleh (DNE), dari (ix).

Prinsip (θ ∨ ¬θ) kadang-kadang disebut hukum yang dikecualikan tengah . Ini tidak valid dalam logika intuisi.
Biarkan θ, ¬θ menjadi sepasang lawan yang kontradiktif, dan biarkan ψ menjadi formula sama sekali. Dengan (As) kita memiliki {θ, ¬θ, ¬ψ} ⊢ θ dan {θ, ¬θ, ¬ψ} ⊢ ¬θ. Jadi dengan (¬I), {θ, ¬θ} ⊢ ¬¬ψ. Jadi, dengan (DNE) kita memiliki {θ, ¬θ} ⊢ ψ. Artinya, apapun sama-sama mengikuti sepasang lawan yang kontradiktif. Beberapa ahli logika memperkenalkan sebuah aturan untuk menyusun kesimpulan serupa:

Jika Γ ₁ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ¬θ, maka untuk rumus ψ, Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ψ

Kesimpulannya kadang disebut ex falso quodlibet atau, lebih berwarna, ledakan . Beberapa menyebutnya "¬-eliminasi", tapi mungkin ini membentang gagasan tentang "eliminasi" sedikit. Kami tidak secara resmi memasukkan quodlibet ex falso sebagai aturan tersendiri dalam D , namun seperti yang akan ditunjukkan di bawah ini (Teorema 10), setiap contohnya dapat diturunkan dalam sistem kami D.
Beberapa ahli logika keberatan dengan quotlibet ex falso , dengan alasan bahwa rumus ψ mungkin tidak relevan dengan lokasi di Γ. Misalkan, misalnya, yang dimulai dengan beberapa premis Γ tentang sifat dan fakta manusia tentang orang-orang tertentu, dan kemudian menyimpulkan kedua kalimat tersebut "Clinton memiliki hubungan seksual ekstra-perkawinan" dan "Clinton tidak memiliki hubungan seksual ekstra-nikah". Orang mungkin bisa menyimpulkan bahwa ada sesuatu yang salah dengan premis Γ. Tapi haruskah kita diijinkan untuk menyimpulkan sama sekali dari Γ? Haruskah kita diijinkan untuk menyimpulkan "Perekonomian itu sehat"?
Sebagian kecil ahli logika, yang disebut dialetheist , berpendapat bahwa beberapa kontradiksi sebenarnya benar adanya. Bagi mereka, ex falso quodlibet bukanlah kebenaran-melestarikan.
Sistem deduktif yang diremehkan dari ex falso quodlibet disebut paraconsistent . Kebanyakan logika yang relevan adalah paraconsistent. Lihat entri tentang logika relevansi , logika paraconsistent , dan dialetheisme . Atau lihat Anderson dan Belnap [1975], Anderson, Belnap, dan Dunn [1992], dan Tennant [1997] untuk gambaran umum logika yang lebih lengkap; dan Priest [2006], [2006a] untuk dialetheisme. Isu filosofis yang mendalam mengenai sifat konsekuensi logis dilibatkan. Jauhlah itu untuk sebuah artikel dalam ensiklopedia filsafat untuk menghindari masalah filosofis, namun pertimbangan ruang menghalangi perlakuan yang lebih lengkap terhadap masalah ini di sini. Cukuplah untuk dicatat bahwa inferensi ex falso quodlibet dikenai sanksi dalam sistem logika klasik , subjek dari artikel ini. Penting untuk menetapkan keseimbangan antara sistem deduktif dan semantik (lihat § 5 di bawah).
Potongan selanjutnya dari D adalah klausa untuk quantifiers. Misalkan θ adalah formula, v sebuah variabel, dan t sebuah istilah (yaitu, variabel atau konstanta). Kemudian tentukan θ ( v | t ) menjadi hasil pengganti t untuk setiap kejadian bebas v di θ. Jadi, jika θ adalah ( Qx & ∃ xPxy ), maka θ ( x | c ) adalah ( Qc & ∃ xPxy ). Kejadian terakhir x tidak bebas (tapi ingat kita hindari menggunakan rumus seperti ini).
Kami memiliki satu hal lain yang patut diperhatikan. Misalkan v ₁ dan v ₂ adalah variabel. Mungkin terjadi bahwa beberapa contoh tersubstitusi v ₂ terikat dalam θ ( v ₁ | v ₂ ). Bila ini terjadi, kita katakan bahwa ada benturan variabel. Misalkan, misalnya, bahwa θ adalah ∃ y (¬ x = y ), dan jadi θ ( x | y ) adalah ∃ y (¬ y = y ). Kita mengatakan bahwa istilah t bebas untuk variabel v di θ jika salah satu t adalah konstanta atau tidak ada benturan variabel dalam θ ( v | t ). Idenya adalah bahwa tidak ada contoh tersubstitusi dari t harus menjadi variabel terikat dalam θ ( v | t ). Mungkin dicatat bahwa dalam beberapa perawatan, hanya kalimat yang muncul dalam deduksi. Itu meniadakan kebutuhan akan hal ini.
Rumus dalam bentuk ∀ v θ adalah analog dari bahasa Inggris "untuk setiap v , θ memegang". Jadi seseorang harus bisa menyimpulkan θ ( v | t ) dari ∀ v θ:

(∀ E ) Jika Γ ⊢ ∀ v θ, maka Γ ⊢ θ ( v | t ), asalkan t bebas untuk v di θ.

Idenya di sini adalah bahwa jika ∀ v θ benar, maka θ harus memegang t , tidak peduli apa itu. Kita dapat menggambarkan pembatasan pada (∀E) sebagai berikut: Kalimat ∀ x ∃ y (¬ x = y ) sesuai dengan pernyataan bahwa untuk setiap objek x , ada objek yang berbeda dari x . Ini adalah pernyataan yang koheren dan masuk akal. Memang benar jika dan hanya jika alam semesta memiliki setidaknya dua objek. Harus mengikuti bahwa tidak peduli apa pun objeknya, ada sesuatu yang berbeda dari t . Namun, jika kita diijinkan untuk mengganti variabel y untuk x , kita akan menyimpulkan ∃ y (¬ y = y ), yang mengatakan bahwa ada sesuatu yang berbeda dari dirinya sendiri, sebuah kepalsuan yang terang-terangan.
Klausa pengenalan untuk pengukur universal sedikit lebih rumit. Misalkan sebuah formula θ memiliki variabel v bebas, dan θ telah disimpulkan dari satu set tempat Γ. Jika variabel v tidak terjadi bebas pada anggota Γ manapun, maka θ tidak akan menyimpan benda yang mungkin v . Artinya, ∀ v θ berikut.

(∀ I ) Jika Γ ⊢ θ dan variabel v tidak terjadi bebas pada anggota Γ, maka Γ ⊢ ∀ v θ.

Sistem deduktif yang hanya berhubungan dengan kalimat biasanya berbicara tentang konstanta individu daripada variabel bebas di sini. Aturan ini (∀ I ) sesuai dengan kesimpulan umum dalam matematika. Anggaplah seorang matematikawan mengatakan "biarlah menjadi bilangan alami" dan terus menunjukkan bahwa n memiliki properti tertentu P , tanpa mengasumsikan apapun tentang n (kecuali bahwa itu adalah bilangan asli). Dia kemudian mengingatkan pembaca bahwa n adalah "sewenang-wenang", dan menyimpulkan bahwa P memegang semua bilangan asli. Kondisi bahwa variabel v tidak terjadi dalam premis apa pun yang menjamin bahwa hal itu memang "sewenang-wenang". Bisa jadi objek apa saja, jadi apa pun yang kita simpulkan tentang itu berlaku untuk semua objek.
Pengukur eksistensial adalah analog dari ekspresi bahasa Inggris "ada", atau mungkin hanya "ada". Jika kita telah menetapkan (atau mengasumsikan) bahwa objek yang diberikan t memiliki properti tertentu, maka berikut bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu. Sekali lagi, kita harus berhati-hati dengan sintaksnya, dan hindari benturan variabel.

(∃ I ) Jika Γ ⊢ θ, maka Γ ⊢ ∃ v θ ', dimana θ' diperoleh dari θ dengan mengganti variabel v untuk nol atau lebih kejadian dari sebuah istilah t , asalkan (1) jika t adalah variabel, maka semua kejadian pengganti t bebas di θ, dan (2) semua kejadian v tersubstitusi bebas di θ '.

Ketentuan (1) mencegah kita mengganti variabel terikat. Ketentuan (2) muncul hanya jika v terikat oleh pengukur lain di θ, membuat ikatan ganda. Seperti disebutkan di atas, kita menghindari formula semacam itu.
Aturan penghapusan untuk ∃ tidak sesederhana itu:

(∃ E ) Jika Γ ₁ ⊢ ∃ v θ dan Γ ₂ , θ ⊢ φ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ φ, asalkan v tidak terjadi bebas φ, atau pada anggota Γ ₂ manapun.

Aturan penghapusan ini juga sesuai dengan kesimpulan umum. Misalkan seorang ahli matematika mengasumsikan atau entah bagaimana menyimpulkan bahwa ada bilangan natural dengan properti tertentu P. Dia kemudian mengatakan "biarlah menjadi bilangan wajar, jadi Pn ", dan lanjutkan untuk menetapkan sebuah kalimat φ, yang tidak menyebutkan angka n . Jika derivasi φ tidak memanggil apapun tentang n (selain asumsi bahwa ia memiliki properti yang diberikan P ), maka n bisa saja ada jumlah yang memiliki properti P. Artinya, n adalah nomor yang sewenang - wenang dengan properti P. Tidak masalah nomor n mana? Karena φ tidak menyebutkan n , maka berikut ini dari pernyataan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti P. Ketentuan yang ditambahkan pada (∃E) adalah untuk menjamin bahwa x "sewenang-wenang".
Seperti yang telah disebutkan di bagian sebelumnya, beberapa penulis mengenalkan huruf yang berbeda untuk variabel terikat dan (berapa jumlahnya) variabel bebasnya. Hal ini membuat sintaksnya sedikit lebih kompleks, namun menyederhanakan ketentuan pada beberapa aturan inferensi. Penulis buku logika sering menghadapi pengorbanan seperti ini.
Item terakhir adalah aturan untuk tanda identitas "=". Aturan pendahuluan adalah tentang sederhana seperti dapat:

(= I) Γ ⊢ t = t , dimana t adalah istilah apapun.

"Inferensi" ini sesuai dengan penyangkalan bahwa semuanya identik dengan dirinya sendiri. Aturan penghapusan sesuai dengan prinsip bahwa jika a identik dengan b , maka sesuatu yang benar juga berlaku untuk b , sekali lagi memperhatikan benturan variabel.

(= E) Jika Γ ₁ ⊢ t ₁ = t ₂ dan Γ ₂ ⊢ θ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ ', dimana θ' diperoleh dari θ dengan mengganti nol atau lebih kejadian t ₁ dengan t ₂ , asalkan bahwa tidak ada variabel terikat yang diganti, dan jika t ₂ adalah variabel, maka semua kejadian tersubstitusinya bebas.

Aturan (= E) menunjukkan batasan tertentu dalam sumber ekspresif bahasa kita. Misalkan, misalnya, bahwa Harry identik dengan Donald (karena orang tua nakal memberinya dua nama). Menurut intuisi kebanyakan orang, itu tidak akan mengikuti dari ini dan "Dick tahu bahwa Harry jahat" bahwa "Dick tahu bahwa Donald itu jahat", karena alasan bahwa Dick mungkin tidak tahu bahwa Harry identik dengan Donald. Konteks seperti ini, di mana identik tidak dapat dengan aman diganti satu sama lain, disebut "buram". Kita berasumsi bahwa bahasa kita L 1 K = tidak memiliki konteks buram.
Satu klausa akhir melengkapi deskripsi sistem deduktif D :

(*) Itu semua orang. Γ ⊢ θ hanya jika θ mengikuti anggota Γ dengan aturan di atas.

Sekali lagi, klausul ini memungkinkan bukti dengan induksi pada aturan yang digunakan untuk membuat argumen. Jika sebuah properti dari argumen memegang semua contoh (As) dan (= I), dan jika peraturan lainnya melestarikan properti, maka setiap argumen yang dapat di dedikasikan dalam D menikmati properti yang dimaksud.
Sebelum beralih ke teori model untuk L 1 K =, kami berhenti sejenak untuk mencatat beberapa fitur dari sistem deduktif. Untuk mengilustrasikan tingkat ketelitian, kita mulai dengan lemma bahwa, jika tidak ada benturan, pilihan variabel tidak masalah.

Lemma 7. Anggaplah Γ ⊢ _D φ, dan misalkan v 'menjadi variabel yang tidak terjadi bebas di φ atau di anggota Γ. Asumsikan bahwa v 'bebas untuk v di φ dan di setiap anggota Γ. Biarkan Γ 'menjadi {θ ( v | v ') | θ ∈ Γ}. Artinya, Γ 'adalah hasil penggantian setiap kejadian bebas dari sebuah variabel v dengan v ' pada setiap anggota Γ. Kemudian Γ '⊢ _D φ ( v | v '). Bukti: Bukti lemma ini membosankan, tapi kami memberikan hal yang hakiki. Kami melanjutkan dengan induksi pada jumlah aturan yang digunakan untuk sampai di Γ ⊢ φ. Misalkan n > 0 adalah bilangan natural, dan lemma berlaku untuk argumen yang diturunkan dengan menggunakan aturan kurang dari n , dan anggap bahwa Γ ⊢ φ menggunakan n tepat. Jika n = 1, maka aturan yang diterapkan adalah baik (As) atau (= I). Dalam kasus ini, Γ '⊢ φ ( v | v ') dengan aturan yang sama. Jika aturan terakhir yang diterapkan adalah (& I), maka φ memiliki bentuk (θ & ψ), dan kami memiliki Γ ₁ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ψ, dengan Γ = Γ ₁ , Γ ₂ . Kami menerapkan hipotesis induksi pada deduksi θ dan ψ, dan kemudian menerapkan (& I) hasilnya. Jika aturan terakhir yang diterapkan adalah (& E), kita memiliki dua sub-kasus, namun keduanya simetris. Kami memiliki Γ ⊢ (φ & ψ). Ada dua komplikasi kecil di sini: variabel baru v 'dapat terjadi bebas di ψ dan mungkin tidak bebas untuk v dalam ψ. Dalam kedua kasus, pertama pilih variabel baru u yang tidak terjadi (bebas atau terikat) di (φ & ψ) atau di anggota Γ manapun. Sekarang terapkan hipotesis induksi, ganti u untuk v 'dalam deduksi Γ ⊢ (φ & ψ). Karena v 'tidak terjadi bebas di φ atau pada anggota Γ, formula tersebut tidak berubah. Manuver menghilangkan kejadian v 'bebas dari subformula ψ. Sekarang oleskan hipotesis induksi ke hasilnya, ganti v 'untuk v , dan kemudian terapkan (& E). Kasus yang tersisa serupa.
Teorema 8. Aturan Melemah. Jika Γ ₁ ⊢ φ dan Γ ₁ ⊆ Γ ₂ , maka Γ ₂ ⊢ φ.
Bukti: Sekali lagi, kita lanjutkan dengan induksi pada jumlah aturan yang digunakan untuk sampai pada Γ ₁ ⊢ φ. Misalkan n > 0 adalah bilangan natural, dan teorema tersebut berlaku untuk argumen yang diturunkan dengan menggunakan aturan kurang dari n . Misalkan Γ ₁ ⊢ φ menggunakan n tepat. Jika n = 1, maka aturannya adalah baik (As) atau (= I). Dalam kasus ini, Γ ₂ ⊢ φ dengan aturan yang sama. Jika aturan terakhir yang diterapkan adalah (& I), maka φ memiliki bentuk (θ & ψ), dan kami memiliki Γ ₃ ⊢ θ dan Γ ₄ ⊢ ψ, dengan Γ ₁ = Γ ₃ , Γ ₄ . Kami menerapkan hipotesis induksi pada deduksi θ dan ψ, untuk mendapatkan Γ ₂ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ψ. dan kemudian menerapkan (& I) untuk mendapatkan Γ ₂ ⊢ φ. Sebagian besar kasus lainnya persis seperti ini. Sedikit komplikasi hanya muncul dalam peraturan (∀I) dan (∃E), karena di sana kita harus memperhatikan kondisi peraturan. Dimulai dengan (∃E), kita memiliki Γ ₃ ⊢ ∃ v θ dan Γ ₄ , θ ⊢ φ, dengan Γ ₁ menjadi Γ ₃ , Γ ₄ , dan v tidak bebas φ, atau pada anggota Γ ₄ . Kami menerapkan hipotesis induksi untuk mendapatkan Γ ₂ ⊢ ∃ v θ, dan kemudian (∃E) berakhir dengan Γ ₂ ⊢ φ. Misalkan aturan terakhir yang diterapkan untuk mendapatkan Γ ₁ ⊢ φ adalah (∀I). Jadi φ adalah formula dalam bentuk ∀ v θ, dan kita memiliki Γ ₁ ⊢ θ dan variabel v tidak terjadi secara gratis pada anggota Γ ₁ . Masalahnya adalah bahwa v dapat terjadi secara gratis dalam anggota Γ ₂ , jadi kita tidak bisa hanya memohon hipotesis induksi dan menerapkan (∀I) ke hasilnya. Misalkan v 'adalah variabel yang tidak terjadi (bebas atau terikat) dalam θ atau pada anggota Γ ₂ , dan Γ' menjadi hasil penggantian v 'untuk setiap kejadian bebas dari v dalam Γ ₂ . Karena v tidak terjadi bebas pada anggota Γ ₁ , kita masih memiliki Γ ₁ ⊆Γ. Hipotesis induksi memberi kita Γ '⊢ θ, dan sekarang kita menerapkan (∀I) untuk mendapatkan Γ' ⊢ φ. Kami sekarang menerapkan Lemma 7, mengganti v untuk variabel baru v '. Hasilnya adalah Γ ₂ ⊢ φ.

Teorema 8 memungkinkan kita menambahkan tempat pada kemauan. Ini mengikuti bahwa Γ ⊢ φ jika dan hanya jika ada subset Γ'⊆Γ sedemikian rupa sehingga Γ '⊢ φ. Beberapa sistem logika yang relevan tidak memiliki kelemahan, juga logika substruktur (lihat entri tentang logika relevansi , logika substruktur , dan logika linier ).
Dengan klausa (*), semua derivasi dibuat dalam jumlah langkah yang terbatas. Jadi kita punya

Teorema 9 . Γ ⊢ φ jika dan hanya jika ada Γ'fin yang terbatas sehingga Γ '⊢ φ. Teorema 10 . Aturan ex falso quodlibet adalah "aturan turunan" dari D : jika Γ ₁ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ¬θ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ψ, untuk formula ψ.
Bukti: Misalkan Γ ₁ ⊢ θ dan Γ ₂ ⊢ ¬θ. Kemudian oleh Teorema 8, Γ ₁ , ¬ψ ⊢ θ, dan Γ ₂ , ¬ψ ⊢ ¬θ. Jadi dengan (¬I), Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ¬¬ψ. Dengan (DNE), Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ ψ.
Teorema 11. Aturan Potong . Jika Γ ₁ ⊢ ψ dan Γ ₂ , ψ ⊢ θ, maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ.
Bukti: Misalkan Γ ₁ ⊢ ψ dan Γ ₂ , ψ ⊢ θ. Kita lanjutkan dengan induksi pada jumlah aturan yang digunakan untuk menetapkan Γ ₂ , ψ ⊢ θ. Misalkan n adalah bilangan natural, dan teorema tersebut berlaku untuk setiap argumen yang diturunkan dengan menggunakan aturan kurang dari n . Misalkan Γ ₂ , ψ ⊢ θ diturunkan dengan menggunakan aturan n . Jika aturan terakhir yang digunakan adalah (= I), maka Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ juga merupakan instance dari (= I). Jika Γ ₂ , ψ ⊢ θ adalah turunan dari (As), maka θ adalah ψ, atau θ adalah anggota Γ ₂ . Dalam kasus sebelumnya, kita memiliki Γ ₁ ⊢ θ dengan anggapan, dan mendapatkan Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ oleh Weakening (Teorema 8). Dalam kasus terakhir, Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ itu sendiri adalah sebuah instance dari (As). Misalkan Γ ₂ , ψ ⊢ θ diperoleh dengan menggunakan (& E). Kemudian kita memiliki Γ ₂ , ψ ⊢ (θ & φ). Hipotesis induksi memberi kita Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ (θ & φ), dan (& E) menghasilkan Γ ₁ , Γ ₂ ⊢ θ. Kasus yang tersisa serupa.

Teorema 11 memungkinkan kita untuk mengumpulkan kesimpulan bersama. Ini sesuai dengan praktik pembentukan teorema dan lemmas dan kemudian menggunakan teorema dan lemmas itu nanti, sesuka hati. Prinsip pemotongannya, menurut saya, penting untuk penalaran. Dalam beberapa sistem logis, prinsip pemotongan adalah teorema yang dalam; pada orang lain itu tidak sah Sistem di sini dirancang, sebagian, untuk membuat bukti Teorema 11 secara langsung.
Jika Γ ⊢ _D θ, maka kita mengatakan bahwa rumus θ adalah konsekuensi deduktif dari himpunan formula Γ, dan argumen <Γ, θ> secara deduktif valid . Rumus θ adalah teorema logis , atau kebenaran logis deduktif , jika ⊢ _D θ. Artinya, θ adalah teorema logis jika merupakan konsekuensi deduktif dari himpunan kosong. Satu set Γ formula konsisten jika tidak ada rumus θ sehingga Γ ⊢ _D θ dan Γ ⊢ _D ¬θ. Artinya, satu set konsisten jika tidak mengandung sepasang formula berlawanan yang kontradiktif.

Teorema 12 . Satu set Γ konsisten jika dan hanya jika ada rumus θ sehingga tidak terjadi Γ ⊢ θ. Bukti: Misalkan Γ konsisten dan biarkan θ menjadi formula apapun. Maka entah itu bukan kasus yang Γ ⊢ θ atau bukan itu yang Γ ⊢ ¬θ. Untuk kebalikannya, anggaplah bahwa Γ tidak konsisten dan biarkan ψ menjadi formula apapun. Kita memiliki rumus bahwa kedua Γ ⊢ θ dan Γ ⊢ ¬θ. Dengan ex falso quodlibet (Teorema 10), Γ ⊢ ψ.

Tentukan satu set Γ dari rumus bahasa L 1 K = agar konsisten secara maksimal jika Γ konsisten dan untuk setiap rumus θ dari L 1 K =, jika θ tidak dalam Γ, maka Γ, θ tidak konsisten. Dengan kata lain, Γ secara maksimal konsisten jika Γ konsisten, dan menambahkan formula apapun dalam bahasa yang belum di Γ membuatnya tidak konsisten. Perhatikan bahwa jika Γ konsisten secara maksimal maka Γ ⊢ θ jika dan hanya jika θ berada di Γ.

Teorema 13. Lindenbaum Lemma. Misalkan Γ adalah formula formula L1 K =. Lalu ada himpunan Γ 'dari formula L 1 K = sehingga Γ⊆Γ' dan Γ 'secara maksimal konsisten. Bukti: Meskipun teorema ini berlaku umum, kita asumsikan di sini bahwa himpunan K dari terminologi non-logis adalah terbatas atau tak terhitung jumlahnya tak terbatas (yaitu, ukuran bilangan asli, biasanya disebut ℵ ₀ ). Dengan demikian, ada penghitungan θ ₀ , θ ₁ , ... dari rumus L 1 K =, sehingga setiap formula L 1 K = pada akhirnya terjadi dalam daftar. Tentukan urutan rangkaian formula, dengan rekursi, sebagai berikut: Γ ₀ adalah Γ; untuk setiap bilangan natural n , jika Γ _n , θ _n konsisten, maka biarkan Γ _{n +1} = Γ _n , θ _n . Jika tidak, biarkan Γ _{n +1} = Γ _n . Biarkan Γ 'menjadi penyatuan semua himpunan Γ _n . Secara intuitif, idenya adalah melalui rumus L 1 K =, lempar masing-masing ke Γ 'jika melakukannya menghasilkan satu set yang konsisten. Perhatikan bahwa setiap Γ _n konsisten. Misalkan Γ 'tidak konsisten. Lalu ada rumus θ sedemikian rupa sehingga Γ '⊢ θ dan Γ' ⊢ ¬θ. Dengan Teorema 9 dan Pelemahan (Teorema 8), ada subset terbatas Γ "dari Γ 'sedemikian rupa sehingga Γ" ⊢ θ dan Γ "⊢ ¬θ. Karena Γ "terbatas, ada bilangan natural n sehingga setiap anggota Γ" ada di Γ _n . Jadi, dengan Weakening lagi, Γ _n ⊢ θ dan Γ _n ⊢ ¬θ. Jadi Γ _n tidak konsisten, yang bertentangan dengan konstruksi. Jadi Γ 'konsisten. Sekarang anggaplah bahwa formula θ tidak ada di Γ '. Kita harus menunjukkan bahwa Γ ', θ tidak konsisten. Rumus θ harus terjadi dalam daftar formula yang disebutkan di atas; katakan bahwa θ adalah θ _m . Karena θ _m tidak ada di Γ ', maka tidak di Γ _{m +1} . Hal ini terjadi hanya jika Γ _m , θ _m tidak konsisten. Jadi sepasang lawan yang kontradiktif dapat disimpulkan dari Γ _m , θ _m . Dengan lemah, sepasang lawan yang kontradiktif dapat disimpulkan dari Γ ', θ _m . Jadi Γ ', θ _m tidak konsisten. Jadi, Γ 'secara maksimal konsisten.

Perhatikan bahwa bukti ini menggunakan prinsip yang sesuai dengan hukum yang dikecualikan tengah. Dalam konstruksi Γ ', kita mengasumsikan bahwa, pada setiap tahap, baik Γ _n konsisten atau tidak. Intuisiis, yang menolak dari tengah yang tidak diikutsertakan, tidak menerima lemma Lindenbaum.

4. Semantik

Biarkan K menjadi seperangkat terminologi non-logis. Interpretasi untuk bahasa L 1 K = adalah struktur M = < d , I >, di mana d adalah himpunan yang tidak kosong, disebut domain-of-wacana , atau hanya domain , dari interpretasi, dan saya adalah sebuah fungsi interpretasi Informal, domain inilah yang kita tafsirkan bahasa L 1 K = menjadi sekitar. Ini adalah apa yang variabel rentang atas. Fungsi interpretasi memberikan ekstensi yang sesuai dengan istilah non-logis. Khususnya,

Jika c adalah konstan di K , maka saya ( c ) adalah anggota dari domain d .

Jadi kita asumsikan bahwa setiap konstanta menunjukkan sesuatu. Sistem dimana ini tidak diasumsikan disebut logika bebas (lihat entri logika bebas ). Melanjutkan,

Jika P ⁰ adalah predikat huruf nol di K , maka I ( P ) adalah nilai kebenaran, baik kebenaran atau kepalsuan.
Jika Q ¹ adalah surat predikat satu tempat di K , maka I ( Q ) adalah subset dari d . Secara intuitif, saya ( Q ) adalah sekumpulan anggota domain yang dimiliki oleh predikat Q. Jika Q mewakili "merah", maka I ( Q ) adalah kumpulan anggota domain yang merah.
Jika R ² adalah surat predikat dua tempat di K , maka saya ( R ) adalah satu set pasangan berpesan anggota d . Secara intuitif, I ( R ) adalah himpunan pasangan anggota domain yang relasi R berada di antara keduanya. Jika R mewakili "cinta", maka saya ( R ) adalah himpunan pasangan < a , b > sedemikian rupa sehingga a dan b adalah anggota dari domain yang dicintai. B.
Secara umum, jika S ⁿ adalah surat predikat n- tempat di K , maka saya ( S ) adalah satu set perintah n -tupel anggota d .

Tentukan untuk menjadi variabel-tugas , atau hanya sebuah tugas , pada interpretasi M , jika s adalah fungsi dari variabel ke domain d dari M. Peran variabel-tugas adalah menetapkan denotasi pada variabel bebas dari formula terbuka. (Dalam arti, quantifier menentukan "makna" dari variabel terikat.) Sistem logika yang mengeluarkan variabel bebas tidak memerlukan penetapan variabel, namun beberapa perangkat lain digunakan.
Misalkan t adalah istilah L 1 K =. Kita mendefinisikan denotasi t dalam M di bawah s , dalam hal fungsi interpretasi dan penugasan variabel:

Jika c adalah konstanta, maka D _{M , s} ( c ) adalah I ( c ), dan jika v adalah variabel, maka D _{M , s} ( v ) adalah s ( v ).

Artinya, interpretasi M menugaskan denotasi ke konstanta, sedangkan variabel-assignment menugaskan denotasi ke variabel (bebas). Jika bahasa berisi simbol fungsi, fungsi denotasi akan didefinisikan dengan rekursi.
Kita sekarang mendefinisikan hubungan kepuasan antara interpretasi, variabel-tugas, dan formula L 1 K =. Jika φ adalah rumus L 1 K =, M adalah interpretasi untuk L 1 K =, dan s adalah variabel-assignment pada M , maka kita tulis M , s ⊨ φ untuk M yang memenuhi φ di bawah tugas s . Idenya adalah bahwa M , s ⊨ φ adalah analog dari "φ keluar benar saat ditafsirkan seperti di M via s ".
Kita lanjutkan dengan rekursi pada kompleksitas rumus L 1 K =.

Jika t ₁ dan t ₂ adalah istilah, maka M , s ⊨ t ₁ = t ₂ jika dan hanya jika D _{M , s} ( t ₁ ) sama dengan D _{M , s} ( t ₂ ).

Ini sama mudahnya seperti yang didapatnya. Identitas t ₁ = t ₂ keluar benar jika dan hanya jika istilah t ₁ dan t ₂ menunjukkan hal yang sama.

Jika P ⁰ adalah predikat huruf nol di K , maka M , s ⊨ P jika dan hanya jika I ( P ) adalah kebenaran. Jika S ⁿ adalah surat predikat n- tempat di K dan t ₁ , ..., t _n adalah istilah, maka M , s ⊨ S t ₁ ... t _n jika dan hanya jika n- tuple < D _{M , s} ( t ₁ ), ..., D _{M , s} ( t _n )> ada di I ( S ).

Ini menangani formula atom. Kami sekarang melanjutkan ke formula majemuk bahasa, kurang lebih mengikuti arti kata-kata bahasa Inggris dari terminologi logis.

M , s ⊨ ¬θ jika dan hanya jika tidak demikian halnya dengan M , s ⊨ θ. M , s ⊨ (θ & ψ) jika dan hanya jika keduanya M , s ⊨ θ dan M , s ⊨ ψ.
M , s ⊨ (θ∨ψ) jika dan hanya jika M , s ⊨ θ atau M , s ⊨ ψ.
M , s ⊨ (θ → ψ) jika dan hanya jika bukan bukan itu M , s ⊨ θ, atau M , s ⊨ ψ.
M , s ⊨ ∀ v θ jika dan hanya jika M , s '⊨ θ, untuk setiap tugas s ' yang sesuai dengan s kecuali mungkin pada variabel v .

Idenya di sini adalah bahwa ∀ v θ keluar benar jika dan hanya jika θ keluar benar tidak peduli apa yang ditugaskan pada variabel v . Klausa terakhir serupa.

M , s ⊨ ∃ v θ jika dan hanya jika M , s '⊨ θ, untuk beberapa tugas s ' yang sesuai dengan s kecuali mungkin pada variabel v .

Jadi ∃ v θ keluar benar jika ada tugas ke v yang membuat θ benar.
Teorema 6, keterbacaan unik, meyakinkan kita bahwa definisi ini koheren. Pada setiap tahap dalam meruntuhkan sebuah formula, ada satu klausa yang tepat untuk diterapkan, jadi kami tidak pernah mendapatkan keputusan yang bertentangan mengenai kepuasan.
Seperti yang ditunjukkan, peran variabel-tugas adalah memberi denotasi pada variabel bebas. Kami sekarang menunjukkan bahwa variabel-tugas tidak memainkan peran lain.

Teorema 14. Untuk setiap rumus θ, jika s ₁ dan s ₂ menyetujui variabel bebas di θ, maka M , s ₁ ⊨ θ jika dan hanya jika M , s ₂ ⊨ θ. Bukti: Kami melanjutkan dengan induksi pada kompleksitas rumus θ. Teorema ini jelas berlaku jika θ adalah atom, karena dalam kasus tersebut hanya nilai-nilai dari variabel-assignment pada variabel dalam θ figure dalam definisi. Asumsikan, kemudian, teorema itu berlaku untuk semua formula yang kurang kompleks daripada θ. Dan anggaplah bahwa s ₁ dan s ₂ setuju pada variabel bebas θ. Asumsikan, pertama, bahwa θ adalah sebuah negasi, ¬ψ. Kemudian, dengan hipotesis induksi, M , s ₁ ⊨ ψ jika dan hanya jika M , s ₂ ⊨ ψ. Jadi, dengan klausa untuk negasi, M , s ₁ ⊨ ¬ψ jika dan hanya jika M , s ₂ ⊨ ¬ψ. Kasus dimana ikat utama θ adalah biner juga mudah. Misalkan θ adalah ∃ v ψ, dan bahwa M , s ₁ ⊨ ∃ v ψ. Lalu ada tugas s ₁ 'yang sesuai dengan yang ada di sini kecuali mungkin pada v sedemikian rupa sehingga M , s ₁ ' ⊨ ψ. Misalkan s ₂ 'menjadi tugas yang sesuai dengan s ₂ pada variabel bebas yang tidak di ψ dan setuju dengan s ₁ ' pada yang lain. Kemudian, dengan hipotesis induksi, M , s ₂ '⊨ ψ. Perhatikan bahwa s ₂ 'setuju dengan s ₂ pada setiap variabel kecuali mungkin v . Jadi M , s ₂ ⊨ ∃ v ψ. Kebalikannya sama, dan kasus di mana θ dimulai dengan quantifier universal serupa.

Ingat bahwa kalimat adalah formula tanpa variabel bebas. Jadi dengan Teorema 14, jika θ adalah sebuah kalimat, dan s ₁ , s ₂ , adalah dua variabel-tugas, maka M , s ₁ ⊨ θ jika dan hanya jika M , s ₂ ⊨ θ. Jadi kita bisa menulis M ⊨ θ jika M , s ⊨ θ untuk beberapa, atau semua, variabel-tugas s .
Misalkan K '⊆ K adalah dua set istilah non-logis. Jika M = < d , I > adalah interpretasi L 1 K =, maka kita mendefinisikan batasan M ke L 1 K 'menjadi interpretasi M ' = < d , saya bahwa saya adalah pembatasan I ke K '. Artinya, M dan M 'memiliki domain yang sama dan menyetujui terminologi non-logis di K '. Induksi langsung menetapkan hal berikut:

Teorema 15 . Jika M 'adalah pembatasan M ke L 1 K ', maka untuk setiap rumus θ dari L 1 K ', jika s adalah variabel-assignment, M , s ⊨ θ jika dan hanya jika M ', s ⊨ θ. Teorema 16. Jika dua interpretasi M ₁ , M ₂ memiliki domain yang sama dan menyetujui terminologi non-logis dari formula θ, maka jika s adalah variabel-assignment, M ₁ , s ⊨ θ jika dan hanya jika M ₂ , s ⊨ θ.

Singkatnya, kepuasan formula hanya bergantung pada domain wacana, interpretasi terminologi non-logis di θ, dan penugasan ke variabel bebas di θ.
Kita mengatakan bahwa sebuah argumen <Γ, θ> semantis valid , atau hanya valid , ditulis Γ ⊨ θ, jika untuk setiap interpretasi M bahasa dan setiap variabel-tugas pada M , jika M , s ⊨ ψ, untuk setiap anggota ψ dari Γ, lalu M , s ⊨ θ. Jika Γ ⊨ θ, kita juga mengatakan bahwa θ adalah konsekuensi logis , atau konsekuensi semantik , atau konsekuensi teoritis model dari Γ. Definisi tersebut sesuai dengan gagasan informal bahwa sebuah argumen berlaku jika tidak mungkin premisnya menjadi kenyataan dan kesimpulannya salah. Definisi konsekuensi logis kita juga memberi sanksi pada tesis umum bahwa argumen yang benar adalah kebenaran - melestarikan - sejauh kepuasan mewakili kebenaran. Secara resmi, sebuah argumen dalam L 1 K = berlaku jika kesimpulannya benar dalam setiap interpretasi bahasa di mana premis itu benar. Validitas adalah model-theoretic counterpart untuk deducibility.
Rumus θ secara logis benar , atau valid , jika M , s ⊨ θ, untuk setiap interpretasi M dan tugas s . Formula secara logika benar jika dan hanya jika itu adalah konsekuensi dari himpunan kosong. Jika θ benar secara logika, maka untuk set Γ formula apapun, Γ ⊨ θ. Kebenaran logis adalah model-theoretic counterpart of theoremhood.
Formula θ dapat diterima jika ada interpretasi M dan variabel-assignment pada M sedemikian M , s ⊨ θ. Artinya, θ bisa memuaskan jika ada interpretasi dan penugasan yang memuaskannya. Satu set Γ dari formula dapat diterima jika ada interpretasi M dan variabel-assignment pada M sedemikian M , s ⊨ θ, untuk setiap formula θ di Γ. Jika Γ adalah himpunan kalimat dan jika M ⊨ θ untuk setiap kalimat θ di Γ, maka kita katakan bahwa M adalah model Γ. Jadi satu set kalimat bisa memuaskan jika memiliki model. Kesetiaan adalah model-theoretic counterpart untuk konsistensi.
Perhatikan bahwa Γ ⊨ θ jika dan hanya jika himpunan Γ, ¬ θ tidak memuaskan. Ini berarti bahwa jika himpunan Γ tidak memuaskan, maka jika θ adalah formula apapun, Γ ⊨ θ. Ini adalah model-teoritis pendamping untuk ex falso quodlibet (lihat Teorema 10). Kita memiliki yang berikut, sebagai analog dengan Teorema 12:

Teorema 17 . Biarkan Γ menjadi seperangkat formula. Berikut ini adalah ekuivalen: (a) Γ memuaskan; (b) tidak ada rumus θ sedemikian rupa sehingga keduanya Γ ⊨ θ dan Γ ⊨ ¬θ; (c) ada beberapa rumus ψ sehingga tidak terjadi Γ ⊨ ψ. Bukti: (a) ⇒ (b): Misalkan Γ dapat memuaskan dan membiarkan θ menjadi formula apapun. Ada interpretasi M dan tugas seperti M , s ⊨ ψ untuk setiap anggota ψ Γ. Dengan klausa untuk negasi, kita tidak dapat memiliki kedua M , s ⊨ θ dan M , s ⊨ ¬θ. Jadi, <Γ, θ> tidak valid atau <Γ, ¬θ> tidak valid. (b) ⇒ (c): Ini segera. (c) ⇒ (a): Misalkan tidak demikian Γ ⊨ ψ. Kemudian ada interpretasi M dan sebuah tugas seperti M , s ⊨ θ, untuk setiap formula θ Γ dan bukan itu M , s ⊨ ψ. A fortiori, M , s memenuhi setiap anggota Γ, dan sangat memuaskan.

5. Meta-teori

Kami sekarang menyajikan beberapa hasil yang menghubungkan gagasan deduktif dengan rekan teoretisi model mereka. Yang pertama mungkin yang paling mudah. Kami memotivasi berbagai peraturan sistem deduktif D dan berbagai klausa dalam definisi kepuasan dalam arti arti kata bahasa Inggris dengan terminologi logis (kurang lebih sama, dengan penyederhanaan yang sama dalam kedua kasus). Jadi orang akan berharap bahwa sebuah argumen dapat di deduksi, atau berlaku secara deduktif, hanya jika berlaku semantik.

Teorema 18. Kesehatan. Untuk setiap formula θ dan atur Γ formula, jika Γ ⊢ _D θ, maka Γ ⊨ θ. Bukti: Kami melanjutkan dengan induksi pada jumlah klausa yang digunakan untuk menetapkan Γ ⊢ θ. Jadi, mari n menjadi bilangan asli, dan asumsikan teorema itu berlaku untuk setiap argumen yang ditetapkan secara deduktif dengan kurang dari n langkah. Dan anggaplah bahwa Γ ⊢ θ didirikan dengan tepat menggunakan langkah-langkah. Jika aturan terakhir yang diterapkan adalah (= I) maka θ adalah rumus dalam bentuk t = t , dan θ secara logika benar. Sebuah fortiori, Γ ⊨ θ. Jika aturan terakhir yang diterapkan adalah (As), maka θ adalah anggota Γ, dan tentu saja interpretasi dan penugasan yang memenuhi setiap anggota Γ juga memenuhi θ. Misalkan aturan terakhir yang diterapkan adalah (& I). Jadi θ memiliki bentuk (φ & ψ), dan kita memiliki Γ ₁ ⊢ φ dan Γ ₂ ⊢ ψ, dengan Γ = Γ ₁ , Γ ₂ . Hipotesis induksi memberi kita Γ ₁ ⊨ φ dan Γ ₂ ⊨ ψ. Misalkan M , s memenuhi setiap anggota Γ. Kemudian M , s memenuhi setiap anggota Γ ₁ , dan dengan demikian M , s memenuhi φ. Demikian pula, M , s memenuhi setiap anggota Γ ₂ , dan M memenuhinya ψ. Jadi, dengan klausa untuk "&" dalam definisi kepuasan, M , s memenuhi θ. Jadi Γ ⊨ θ. Misalkan klausa terakhir yang diterapkan adalah (∃E). Jadi kita memiliki Γ ₁ ⊢ ∃ v ψ dan Γ ₂ , ψ ⊢ θ, di mana Γ = Γ ₁ , Γ ₂ , dan v tidak terjadi bebas ψ, atau pada anggota Γ ₂ manapun. Dengan hipotesis induksi, kita memiliki Γ ₁ ⊨ ∃ v ψ dan Γ ₂ , ψ ⊨ θ. Misalkan M adalah interpretasi dan penugasan sehingga M , s memenuhi setiap anggota Γ. Kemudian M , s memenuhi setiap anggota Γ ₁ , dan jadi M , s ⊨ ∃ v ψ. Jadi ada tugas yang ' s setuju dengan s pada setiap variabel kecuali mungkin v sedemikian rupa sehingga M , s ' ⊨ ψ. Kami yakin bahwa M , s memenuhi setiap anggota Γ ₂ . Karena v tidak terjadi secara bebas pada anggota Γ ₂ , dan s setuju dengan s 'pada hal lainnya, kita memiliki M , s ' memenuhi setiap anggota Γ ₂ , dengan Teorema 14. Jadi M , s '⊨ θ. Karena v tidak terjadi secara gratis di θ, dan s setuju dengan hal lain, kita memiliki M , s ⊨ θ, juga oleh Teorema 14. Jadi, dalam kasus ini, Γ ⊨ θ. Perhatikan peran pembatasan pada (∃E) di sini. Kasus lainnya hampir sama mudahnya.
Konsekuensi 19. Biarkan Γ menjadi seperangkat formula. Jika Γ memuaskan, maka Γ konsisten.
Bukti: Misalkan Γ memuaskan. Jadi, biarkan M menjadi penafsiran dan sebuah tugas sehingga M , s memenuhi setiap anggota Γ. Asumsikan bahwa Γ tidak konsisten. Lalu ada rumus θ sedemikian rupa sehingga Γ ⊢ θ dan Γ ⊢ ¬θ. Dengan sehat (Teorema 18), Γ ⊨ θ dan Γ ⊨ ¬θ. Jadi kita memiliki M , s ⊨ θ dan M , s ⊨ ¬θ. Tapi ini tidak mungkin, mengingat klausa untuk negasi dalam definisi kepuasan.

Meskipun sistem deduktif D dan semantik teorema model dikembangkan dengan makna terminologi logis, seseorang seharusnya tidak secara otomatis mengharapkan kebalikannya (atau Corollary 19) untuk dipegang. Untuk semua yang kita ketahui sejauh ini, kita mungkin tidak memasukkan cukup banyak aturan kesimpulan untuk menyimpulkan setiap argumen yang benar. Percakapan dengan kesehatan dan konsekuen 19 adalah salah satu hasil yang paling menarik dalam logika matematika kontemporer. Kita mulai dengan yang terakhir.

Teorema 20. Kelengkapan. Gödel [1930]. Biarkan Γ menjadi seperangkat formula. Jika Γ konsisten, maka Γ memuaskan. Bukti: Bukti kelengkapannya agak rumit. Kami hanya membuat sketsa di sini. Misalkan Γ menjadi seperangkat formula L1 K =. Sekali lagi, kita berasumsi untuk kesederhanaan bahwa himpunan K dari terminologi non-logis terbatas atau tak terhitung jumlahnya (walaupun teorema tersebut berlaku bahkan jika K tidak dapat dihitung). Tugas di tangan adalah untuk menemukan interpretasi M dan variabel-tugas pada M , sehingga M , s memenuhi setiap anggota Γ. Perhatikan bahasa yang diperoleh dari L 1 K = dengan menambahkan sebuah bilangan tak terhitung banyaknya konstanta individu baru c ₀ , c ₁ , ... Kami menetapkan bahwa konstanta, c ₀ , c ₁ , ..., semuanya berbeda satu sama lain dan tidak satupun terjadi di K. Salah satu fitur menarik dari konstruksi ini, karena Leon Henkin, adalah bahwa kita membangun interpretasi bahasa dari bahasa itu sendiri, dengan menggunakan beberapa konstanta sebagai anggota domain wacana. Misalkan θ ₀ , θ ₁ , ... menjadi penghitungan rumus bahasa yang diperluas, sehingga setiap rumus terjadi dalam daftar pada akhirnya. Misalkan x adalah variabel, dan tentukan urutan Γ ₀ , Γ ₁ , ... kumpulan rumus (dari bahasa yang diperluas) dengan rekursi sebagai berikut: Γ ₀ = Γ; dan Γ _{n +1} = Γ _n , (∃ x θ _n → θ _n ( x | c _i )), di mana c _i adalah konstanta pertama pada daftar di atas yang tidak terjadi pada θ _n atau anggota Γ _n . Ide dasarnya di sini adalah bahwa jika ∃ x θ _n benar, maka c _i adalah menjadi satu x seperti itu. Biarkan Γ menjadi penyatuan himpunan Γ _n .
Saya membuat sketsa bukti bahwa Γ 'konsisten. Misalkan Γ 'tidak konsisten. Dengan Teorema 9, ada subset terbatas dari Γ yang tidak konsisten, dan salah satu dari set Γ _m tidak konsisten. Dengan hipotesis, Γ ₀ = Γ konsisten. Misalkan n adalah bilangan terkecil sehingga Γ _n konsisten, tapi Γ _{n +1} = Γ _n , (∃ x θ _n → θ _n ( x | c _i )) tidak konsisten. Dengan (¬I), kita memilikinya

(1) Γ _n ⊢ ¬ (∃ x θ _n → θ _n ( x | c _i )).

Dengan ex falso quodlibet (Teorema 10), Γ _n , ¬∃ x θ _n , ∃ x θ _n ⊢ θ _n ( x | c _i ). Jadi dengan (→ I), Γ _n , ¬∃ x θ _n ⊢ (∃ x θ _n → θ _n ( x | c _i )). Dari sini dan (1), kita memiliki Γ _n ⊢ ¬¬∃ x θ _n , oleh (¬I), dan oleh (DNE) yang kita miliki

(2) Γ _n ⊢ ∃ x θ _n .

Dengan (As), Γ _n , θ _n ( x | c _i ), ∃ x θ _n ⊢ θ _n ( x | c _i ). Jadi dengan (→ I), Γ _n , θ _n ( x | c _i ) ⊢ (∃ x θ _n → θ _n ( x | c _i )). Dari sini dan (1), kita memiliki Γ _n ⊢ ¬θ _n ( x | c _i ), oleh (¬I). Misalkan v adalah variabel yang tidak terjadi (bebas atau terikat) dalam θ _n atau pada anggota Γ _n . Dengan substitusi seragam v untuk c _i , kita dapat mengubah derivasi Γ _n ⊢ ¬θ _n ( x | c _i ) menjadi Γ _n ⊢ ¬θ _n ( x | v ). Dengan (∀I), kita punya

(3) Γ _n ⊢ ∀ v ¬θ _n ( x | v ).

Dengan (As) kita memiliki {∀ v ¬θ _n ( x | v ), θ _n } ⊢ θ _n dan dengan (∀E) kita memiliki {∀ v ¬θ _n ( x | v ), θ _n } ⊢ ¬θ _n . Jadi {∀ v ¬θ _n ( x | v ), θ _n } tidak konsisten. Biarkan φ menjadi kalimat bahasa (sehingga φ tidak memiliki variabel bebas). Dengan ex falso quodlibet (Teorema 10), kita memiliki {∀ v ¬θ _n ( x | v ), θ _n } ⊢ φ dan {∀ v ¬θ _n ( x | v ), θ _n } ⊢ ¬φ. Jadi dengan (2), kita memiliki Γ _n , ∀ v ¬θ _n ( x | v ) ⊢ φ dan Γ _n , ∀ v ¬θ _n ( x | v ) ⊢ ¬φ, oleh (∃E). Dengan Potong (Teorema 11), Γ _n ⊢ φ dan Γ _n ⊢ ¬φ. Jadi Γ _n tidak konsisten, bertentangan dengan asumsi. Jadi Γ 'konsisten.
Menerapkan Lindenbaum Lemma (Teorema 13), biarkan Γ "menjadi rangkaian kalimat yang konsisten secara maksimal (bahasa yang diperluas) yang mengandung Γ '. Jadi, tentu saja, Γ "berisi Γ. Kita sekarang dapat mendefinisikan sebuah interpretasi M , dan sebuah variabel-assignment s pada M , sehingga M , s memenuhi setiap anggota Γ ".
Jika kita tidak memiliki tanda identitas dalam bahasa, kita akan membiarkan domain M menjadi koleksi konstanta baru { c ₀ , c ₁ , ...}. Tapi seperti itu, mungkin ada kalimat dalam bentuk c _i = c _j , dengan i ≠ j , in Γ ". Jika demikian, kita tidak dapat memiliki kedua c _i dan c _j dalam domain interpretasi (karena mereka adalah konstanta yang berbeda). Jadi kita mendefinisikan domain d dari M menjadi himpunan { c _i | tidak ada j < i sehingga c _i = c _j ada di Γ "}. Dengan kata lain, konstanta c _i berada dalam domain M jika Γ "tidak menyatakannya identik dengan konstanta sebelumnya dalam daftar. Perhatikan bahwa untuk setiap konstanta baru c _i , ada tepat satu j ≤ i sedemikian sehingga c _j ada di d dan kalimat c _i = c _j ada di Γ ".
Kita sekarang mendefinisikan fungsi interpretasi I. Biarkan menjadi konstan dalam bahasa yang diperluas. Dengan (= I) dan (∃I), Γ "⊢ ∃ x x = a , dan jadi ∃ x x = a ∈ Γ". Dengan konstruksi Γ ', ada sebuah kalimat dalam bentuk (∃ x x = a → c _i = a ) di Γ ". Kami memiliki c _i = a ada di Γ ". Seperti di atas, ada tepat satu c _j di d sedemikian sehingga c _i = c _j ada di Γ ". Biarkan saya ( a ) = c _j . Perhatikan bahwa jika c _i adalah konstanta dalam domain d , maka saya (c _i ) = c _i . Itu masing-masing c _i dalam d menandakan dirinya sendiri.
Misalkan P adalah predikat huruf nol di K. Maka saya ( P ) adalah kebenaran jika P berada dalam Γ "dan I ( P ) adalah kepalsuan sebaliknya. Misalkan Q adalah surat predikat satu tempat di K. Lalu aku ( Q ) adalah himpunan konstanta {c _i | c _i ada di d dan rumus Qc ada di Γ "}. Misalkan R adalah surat predikat biner di K. Kemudian saya ( R ) adalah himpunan pasangan konstanta {< c _i , c _j > | c _i berada di d , c _j ada di d , dan rumus Rc _i c _j ada di Γ "}. Predikat tiga tempat, dll ditafsirkan sama. Akibatnya, saya menafsirkan terminologi non-logis seperti di Γ ".
Penugasan variabel serupa. Jika v adalah variabel, maka s ( v ) = c _i , di mana c _i adalah konstanta pertama di d sedemikian sehingga c _i = v ada di Γ ".
Item terakhir dalam bukti ini adalah lemma yang membosankan yang untuk setiap formula θ dalam bahasa yang diperluas, M , s ⊨ θ jika dan hanya jika θ ada di Γ ". Ini hasil induksi pada kompleksitas θ. Kasus dimana θ adalah atom berikut dari definisi M (yaitu, domain d dan fungsi interpretasi I ) dan variabel-assignment s . Kasus lainnya mengikuti berbagai klausa dalam definisi kepuasan.
Karena Γ⊆Γ ", kami memilikinya, M memenuhi semua anggota Γ. Dengan Teorema 15, pembatasan M ke bahasa aslinya L 1 K = dan s juga memenuhi setiap anggota Γ. Jadi Γ memuaskan.

Kebalikan dari Suara (Teorema 18) adalah konsekuensi langsung:

Teorema 21. Untuk setiap formula θ dan atur Γ rumus, jika Γ ⊨ θ, maka Γ ⊢ _D θ. Bukti: Misalkan Γ ⊨ θ. Maka tidak ada interpretasi M dan tugas sehingga M, s memenuhi setiap anggota Γ namun tidak memenuhi θ. Jadi himpunan Γ, ¬ θ tidak memuaskan. Dengan Kelengkapan (Teorema 20), Γ, ¬θ tidak konsisten. Jadi ada rumus φ sedemikian rupa sehingga Γ, ¬θ ⊢ φ dan Γ, ¬θ ⊢ ¬φ. Dengan (¬I), Γ ⊢ ¬¬θ, dan oleh (DNE) Γ ⊢ θ.

Item kami selanjutnya adalah konsekuensi Teorema 9, Soundness (Teorema 18), dan Kelengkapan:

Konsekuensi 22. Compactness. Satu set Γ formula dapat diterima jika dan hanya jika setiap subset terbatas Γ dapat diterima. Bukti: Jika M , s memenuhi setiap anggota Γ, maka M , s memenuhi setiap anggota dari masing-masing himpunan Γ yang terbatas. Untuk yang sebaliknya, anggaplah bahwa Γ tidak memuaskan. Kemudian kita menunjukkan bahwa beberapa subset terbatas Γ tidak memuaskan. Dengan Kelengkapan (Teorema 20), Γ tidak konsisten. Dengan Teorema 9 (dan Lemah), ada subset terbatas Γ'⊆Γ sehingga Γ 'tidak konsisten. Dengan Corollary 19, Γ 'tidak memuaskan.

Kesetaraan dan kelengkapan berarti bahwa argumen dapat di deducible jika dan hanya jika valid, dan satu set formula konsisten jika dan hanya jika memuaskan. Jadi kita bisa bolak-balik antara teori teoritis dan teori proof-teoritis, mentransfer sifat satu ke yang lain. Compactness memegang teori model karena semua derivasi hanya menggunakan jumlah tempat yang terbatas.
Ingatlah bahwa dalam bukti Kelengkapan (Teorema 20), kami membuat asumsi penyederhanaan bahwa himpunan K dari konstanta non-logis adalah terbatas atau tak terhitung jumlahnya. Penafsiran yang kita hasilkan itu sendiri terbatas atau tak terhitung jumlahnya. Dengan demikian, kita memiliki yang berikut ini:

Corollary 23. Teorema Löwenheim-Skolem. Misalkan Γ menjadi himpunan kalimat yang memuaskan dari bahasa L 1 K =. Jika Γ terbatas atau tak terbatas, maka Γ memiliki model yang domainnya terbatas atau tak terhitung jumlahnya.

Secara umum, biarkan Γ menjadi himpunan kalimat L1 K = yang memuaskan, dan biarkan κ menjadi lebih besar dari ukuran Γ dan tak terhitung jumlahnya. Kemudian Γ memiliki model yang domainnya paling banyak berukuran κ.
Ada versi yang lebih kuat dari Corollary 23. Biarkan M ₁ = < d ₁ , I ₁ > dan M ₂ = < d ₂ , I ₂ > menjadi interpretasi bahasa L 1 K =. Tentukan M ₁ untuk menjadi submodel M ₂ jika d ₁ ⊆ d ₂ , I ₁ ( c ) = I ₂ ( c ) untuk setiap konstanta c , dan saya adalah pembatasan I ₂ sampai d ₁ . Misalnya, jika R adalah huruf relasi biner di K , maka untuk semua a , b dalam d ₁ , pasangan < a , b > ada dalam I ₁ ( R ) jika dan hanya jika < a , b > ada di I ₂ ( R ). Jika kita memasukkan surat-surat fungsi di antara terminologi non-logis, kita juga meminta agar d ditutup di bawah interpretasi mereka di M ₂ . Perhatikan bahwa jika M ₁ adalah submodel M ₂ , maka setiap variabel-assignment pada M ₁ juga merupakan variabel-assignment pada M ₂ .
Katakan bahwa dua interpretasi M ₁ = < d ₁ , I ₁ >, M ₂ = < d ₂ , I ₂ > setara jika salah satunya adalah submodel yang lain, dan untuk formula bahasa dan penugasan variabel apa pun s pada submodel, M ₁ , s ⊨ θ jika dan hanya jika M ₂ , s ⊨ θ. Perhatikan bahwa jika dua interpretasi itu setara, maka mereka memenuhi kalimat yang sama.

Teorema 25. Teorema Löwenheim-Skolem ke Bawah. Misalkan M = < d , I > adalah interpretasi bahasa L 1 K =. Misalkan d adalah subset dari d , dan biarkan κ menjadi ukuran maksimum K , ukuran d ₁ , dan tak terhitung jumlahnya tak terbatas. Kemudian ada submodel M '= < d ', I '> dari M sedemikian rupa sehingga (1) d ' tidak lebih besar dari κ, dan (2) M dan M 'adalah ekuivalen. Secara khusus, jika himpunan K dari terminologi non-logis terbatas atau tak terbatas, maka interpretasi apapun memiliki submodel ekuivalen yang domainnya terbatas atau tak terhitung jumlahnya. Bukti: Seperti kelengkapan, pembuktian ini rumit, dan kita beristirahat dengan sketsa. Teorema Löwenheim-Skolem ke bawah memanggil aksioma pilihan, dan memang, setara dengan aksioma pilihan (lihat entri pada aksioma pilihan ). Jadi misalkan C adalah fungsi pilihan pada d d dense, sehingga untuk setiap subset tidak kosong e ⊆ d , C ( e ) adalah anggota e . Kami menetapkan bahwa jika e adalah himpunan yang kosong, maka C ( e ) adalah C ( d ).
Misalkan s menjadi variabel-assignment pada M , misalkan θ menjadi rumus L 1 K =, dan misalkan v adalah variabel. Tentukan v - saksi θ diatas s , ditulis w _v (θ, s ), sebagai berikut: Misalkan q adalah himpunan semua elemen sehingga ada variabel assignment s 'pada M yang sesuai dengan s pada setiap variabel kecuali mungkin v , seperti M , s '⊨ θ, dan s ' ( v ) = c . Kemudian w _v (θ, s ) = C ( q ). Perhatikan bahwa jika M , s ⊨ ∃ v θ, maka q adalah himpunan elemen dari domain yang dapat digunakan untuk v di θ. Memang, M , s ⊨ ∃ v θ jika dan hanya jika q tidak kosong. Jadi jika M , s ⊨ ∃ v θ, maka w _v (θ, s ) (yaitu, C ( q )) adalah elemen yang dipilih dari domain yang dapat digunakan untuk v di θ. Dalam arti tertentu, ini adalah "saksi" yang memverifikasi M , s ⊨ ∃ v θ.
Jika e adalah subset kosong dari domain d , maka definisikan sebuah variabel-assignment s menjadi e-assignment jika untuk semua variabel u , s ( u ) ada di e . Artinya, s adalah sebuah e- assignment jika memberi elemen e ke setiap variabel. Tentukan sk ( e ), skolem-lambung dari e , menjadi himpunan:

e ∪ { w _v (θ, s ) | θ adalah rumus dalam L 1 K =, v adalah sebuah variabel, dan s adalah sebuah e- assignment}.

Artinya, Skolem-Hull e adalah himpunan e bersama-sama dengan setiap v- saksi setiap formula mengenai setiap penyerahan jabatan. Kira-kira, idenya adalah memulai dengan e dan kemudian memasukkan elemen yang cukup untuk membuat setiap formula terukur secara benar. Tapi kita tidak bisa lagi puas dengan Skolem-lambung. Begitu kita membuang "saksi" ke dalam domain, kita perlu berurusan dengan tugas sk ( e ). Akibatnya, kita membutuhkan satu set yang merupakan Skolem-lambungnya sendiri, dan juga mengandung subset yang diberikan d ₁ .
Kita mendefinisikan urutan himpunan yang tidak kosong e ₀ , e ₁ , ... sebagai berikut: jika subset yang diberikan d ₁ dari d kosong dan tidak ada konstanta di K , maka misalkan e ₀ adalah C ( d ), fungsi pilihan diterapkan ke seluruh domain; Jika tidak, maka e ₀ adalah gabungan dari d ₁ dan denotasi di bawah I dari konstanta di K. Untuk setiap bilangan natural n , _{n n +1} adalah sk ( e _n ). Akhirnya, biarkan d 'menjadi penyatuan himpunan _{n n} , dan biarkan aku ' menjadi pembatasan saya untuk d '. Interpretasi kami adalah M '= < d ', I '>.
Jelas, d ₁ adalah subset dari d ', dan jadi M ' adalah submodel M. Misalkan κ menjadi maksimum ukuran K , ukuran d ₁ , dan tak terhitung jumlahnya tak terbatas. Sebuah perhitungan menunjukkan bahwa ukuran d 'paling banyak κ, berdasarkan fakta bahwa paling banyak ada banyak rumus, dan dengan demikian, paling banyak banyak saksi pada setiap tahap. Perhatikan, secara kebetulan, bahwa perhitungan ini bergantung pada fakta bahwa persatuan denmark set ukuran paling banyak κ itu sendiri paling banyak. Ini juga bergantung pada aksioma pilihan.
Item terakhir adalah untuk menunjukkan bahwa M 'setara dengan M : Untuk setiap formula θ dan setiap variabel-assignment s pada M ',

M , s ⊨ θ jika dan hanya jika M ', s ⊨ θ.

Kita lanjutkan dengan induksi pada kompleksitas θ. Jika θ bersifat atom, maka definisi kepuasan mensyaratkan ekuivalensi. Jadi, biarkan θ menjadi non-atomik, dan asumsikan bahwa M , s ⊨ ψ jika dan hanya jika M ', s ⊨ ψ, untuk semua tugas pada M ' dan semua formula ψ kurang kompleks daripada θ. Biar jadi tugas seperti itu. Jika penghubung utama θ adalah tanda negasi atau penghubung biner, maka hipotesis induksi mensyaratkan bahwa M , s ⊨ θ jika dan hanya jika M ', s ⊨ θ. Kasus yang tersisa adalah kasus di mana θ dimulai dengan quantifier, yaitu, θ adalah ∃ v ψ atau ∀ v ψ. Misalkan M ', s ⊨ ∃ v ψ. Lalu ada variabel-assignment s 'yang sesuai dengan s kecuali mungkin pada v sedemikian rupa sehingga M ', s '⊨ ψ. Dengan hipotesis induksi, M , s '⊨ ψ dan begitu M , s ⊨ ∃ v ψ. Kebalikannya agak rumit, dan jumlahnya menunjukkan bahwa kerangka Skolem d 'is d '. Asumsikan bahwa M , s ⊨ ∃ v ψ. Kami diberi itu s variabel-tugas pada d '. Karena hanya ada banyak variabel bebas di ψ, misalkan n adalah bilangan natural sehingga untuk semua variabel u yang terjadi bebas di ψ, s ( u ) ada di e _n . Misalkan s1 adalah sebuah _n- assignmentment yang sesuai dengan semua variabel bebas di ψ. Kemudian, dengan Teorema 14, M , s ₁ ⊨ ∃ v ψ. Misalkan c adalah w _v (θ, s ₁ ), v - saksi θ diatas s ₁ . Perhatikan bahwa c ada di e _{n +1} dan jadi di d '. Misalkan s ₁ 'setuju dengan s ₁ , kecuali mungkin pada v , dan misalkan s ' ( v ) = c . Jadi s ₁ 'adalah variabel-assignment pada M '. Dengan definisi fungsi saksi, M , s ₁ '⊨ ψ. Dengan hipotesis induksi, M ', s ₁ ' ⊨ ψ, dan jadi M ', s ₁ ⊨ ∃ v ψ. Dengan Teorema 14, M ', s ⊨ ∃ v ψ. Kasus terakhir, dimana θ memiliki bentuk ∀ v ψ, serupa.

Konsekuensi lain dari Compactness (Corollary 22) adalah kebalikan dari teorema Löwenheim-Skolem:

Teorema 26. Teorema Löwenheim-Skolem ke atas. Misalkan Γ adalah kumpulan formula L 1K =, sehingga untuk setiap bilangan natural n , ada interpretasi M _n = < d _n , I _n >, dan sebuah penugasan s _n pada M _n , sehingga d memiliki di paling tidak n elemen, dan M _n , s _n memenuhi setiap anggota Γ. Dengan kata lain, Γ memuaskan dan tidak ada batas atas sampai ukuran interpretasi yang memenuhi setiap anggota Γ. Kemudian untuk kardinal κ yang tak terbatas, ada interpretasi M = < d , I > dan assignment s pada M , sehingga ukuran d paling sedikit κ dan M , s memenuhi setiap anggota Γ. Secara khusus, jika Γ adalah himpunan kalimat, maka model tersebut memiliki model yang sewenang-wenang. Bukti: Tambahkan kumpulan konstanta baru { c _α | α <κ}, dari ukuran κ, ke bahasa, sehingga jika c adalah konstanta dalam K , maka c _α berbeda dari c , dan jika α <β <κ, maka c _α adalah konstanta yang berbeda dari c _β . Perhatikan himpunan formula Γ 'yang terdiri dari Γ bersama dengan himpunan ¬ c _α = c _β | α ≠ β}. Artinya, Γ 'terdiri dari Γ bersama dengan pernyataan bahwa setiap dua konstanta baru yang berbeda menunjukkan objek yang berbeda. Misalkan Γ "menjadi himpunan terbatas dari Γ ', dan misalkan m adalah jumlah konstanta baru yang terjadi di Γ". Kemudian pisahkan interpretasi M _m ke interpretasi M _m 'dari bahasa baru, dengan menafsirkan setiap konstanta baru di Γ "sebagai anggota domain yang berbeda d _m . Dengan hipotesis, ada cukup banyak anggota d _m untuk melakukan ini. Seseorang bisa menafsirkan konstanta baru lainnya sesuka hati. Jadi M _m adalah pembatasan M _m '. Dengan hipotesis (dan Teorema 15), M ' _m , s _m memenuhi setiap anggota Γ. Juga M ' _m , s _m memenuhi anggota {¬ c _α = c _β | α ≠ β} yang ada di Γ ". Jadi M ' _m , s _m memenuhi setiap anggota Γ ". Dengan kekompakan, ada interpretasi M = < d , I > dan sebuah tugas di M sehingga M , s memenuhi setiap anggota Γ '. Karena Γ 'berisi setiap anggota {¬ c _α = c _β | α ≠ β}, domain d dari M harus berukuran sekurang-kurangnya κ, karena masing-masing konstanta baru harus memiliki denotasi yang berbeda. Dengan Teorema 15, pembatasan M ke bahasa aslinya L 1 K = memenuhi setiap anggota Γ, dengan variabel-tugas s .

Gabungan, bukti teorema Löwenheim-Skolem ke bawah dan ke atas menunjukkan bahwa untuk set Γ kalimat yang memuaskan, jika tidak ada batasan terbatas pada model Γ, maka untuk kardinal κ yang tak terbatas, ada model Γ yang memiliki domain memiliki ukuran persis κ.Apalagi jika M adalah setiap interpretasi yang domain adalah tak terbatas, maka untuk setiap κ kardinal tak terbatas, ada interpretasi M 'yang domain memiliki ukuran persis κ sehingga M dan M ' yang setara.
Hasil ini menunjukkan kelemahan dalam sumber daya ekspresif bahasa orde pertama seperti L 1 K =. Tidak ada set satisfiable kalimat dapat menjamin bahwa model yang semua denumerably terbatas, juga tidak dapat setiap set satisfiable kalimat menjamin bahwa model yang tidak terhitung. Jadi dalam arti, bahasa orde pertama tidak bisa mengungkapkan gagasan “denumerably tak terbatas”, setidaknya tidak dalam model teori. (Lihat entri pada orde kedua dan logika tingkat tinggi .)
Mari Sebuah berupa seperangkat kalimat dalam orde pertama bahasa L 1 K =, di mana K termasuk terminologi untuk aritmatika, dan menganggap bahwa setiap anggota A adalah benar dari alam nomor. Kita bahkan dapat membiarkan A adalah himpunan semua kalimat di L 1 K = yang benar dari alam nomor. Kemudian A memiliki model terhitung, memang model dari setiap kardinalitas yang tak terbatas. Interpretasi tersebut antara mereka yang kadang-kadang disebut tidak disengaja , atau non-standar model aritmatika. Mari Bberupa set orde pertama kalimat yang benar dari bilangan real, dan membiarkan C menjadi salah orde pertama axiomatization teori himpunan. Kemudian jika B dan C adalah satisfiable (dalam interpretasi tak terbatas), maka masing-masing dari mereka memiliki model denumerably tak terbatas. Artinya, setiap orde pertama, set teori atau teori bilangan real satisfiable, telah (tidak disengaja) model ukuran dari alam nomor. Hal ini terjadi walaupun fakta bahwa kalimat (tampaknya) yang menyatakan bahwa alam semesta ini terhitung adalah dapat dibuktikan di sebagian besar set-teori. Situasi ini, yang dikenal sebagai paradoks Skolem , telah menghasilkan banyak diskusi, tapi kita harus merujuk pembaca di tempat lain untuk sampel itu (lihat entri pada paradoks Skolem ini dan Shapiro 1996).