- p → ( q → p ).
- ¬ p → ( p → q ).
- ( p → q ) ∨ ( q → r ).
- ( p & ¬ p ) → q .
- p → ( q → q ).
- p → ( q ∨ ¬ q ).
Selain itu, ahli logika relevansi memiliki keraguan tentang kesimpulan tertentu yang logika klasiknya valid. Misalnya, pertimbangkan inferensi yang valid secara klasik
Bulan terbuat dari keju hijau. Oleh karena itu, entah itu hujan di Ekuador sekarang atau tidak.Sekali lagi di sini tampaknya ada kegagalan relevansi. Kesimpulannya sepertinya tidak ada kaitannya dengan premis tersebut. Relevansi ahli logika telah berusaha untuk membangun logika yang menolak tesis dan argumen yang melakukan "kesalahan relevansi".
Ahli logika yang relevan menunjukkan bahwa apa yang salah dengan beberapa paradoks (dan kesalahan) adalah bahwa pendahulunya dan konsekuen (atau premis dan kesimpulan) ada dalam topik yang sama sekali berbeda. Gagasan tentang sebuah topik, bagaimanapun, tampaknya tidak menjadi sesuatu yang harus diminati oleh seorang logika - ini berkaitan dengan konten, bukan bentuk, kalimat atau kesimpulan. Tapi ada prinsip formal yang relevan dengan logika yang berlaku untuk memaksa teorema dan kesimpulan untuk "tetap mengikuti topik". Ini adalah prinsip pembagian variabel. Prinsip pembagian variabel mengatakan bahwa tidak ada rumus bentuk A → B yang dapat dibuktikan dalam logika relevansi jika A dan B tidak memiliki setidaknya satu variabel proposisional (kadang-kadang disebut surat proposisi) yang sama dan bahwa tidak ada kesimpulan yang dapat ditunjukkan valid Jika premis dan kesimpulan tidak berbagi setidaknya satu variabel proposisional.
Pada titik ini beberapa kebingungan adalah wajar tentang apa yang relevan dengan logika yang coba dilakukan. Prinsip pembagian variabel hanyalah syarat mutlak yang harus dimiliki logika sebagai logika relevansi. Itu tidak cukup. Selain itu, prinsip ini tidak memberi kita kriteria yang menghilangkan semua paradoks dan kesalahan. Beberapa tetap paradoks atau keliru meskipun mereka memuaskan berbagi variabel. Akan tetapi, seperti yang akan kita lihat, logika yang relevan memang memberi kita gagasan bukti yang relevan mengenai penggunaan sesungguhnya dari premis (lihat bagian "Teori Bukti" di bawah), namun tidak dengan sendirinya memberi tahu kita apa yang dianggap sebagai kenyataan. (dan relevan) implikasinya. Hanya ketika teori formal digabungkan dengan interpretasi filosofis bahwa hal itu dapat dilakukan (lihat bagian "Semantik untuk Implikasi yang Relevan" di bawah).
Pada artikel ini kami akan memberikan gambaran singkat dan relatif non teknis dari bidang logika relevansi.
1. Semantik untuk Implikasi yang Relevan
Ekspresi logika relevan kita terbelakang paling banyak ditemukan dalam literatur Kita akan mulai, daripada mengakhiri, dengan semantik, karena kebanyakan filsuf saat ini cenderung secara semantis.Semantik yang saya sajikan di sini adalah semantik hubungan terner karena Richard Routley dan Robert K. Meyer. Semantik ini adalah pengembangan semantik semilattice Alasdair Urquhart "(Urquhart 1972). Ada semantik serupa (yang juga didasarkan pada gagasan Urquhart), karena Kit Fine, yang dikembangkan pada saat bersamaan dengan teori Routley-Meyer (Fine 1974). Dan ada aljabar aljabar karena J. Michael Dunn. Model Urquhart's, Fine's, dan Dunn sangat menarik dengan sendirinya, tapi kita tidak punya ruang untuk mendiskusikannya di sini.
Gagasan di balik semantik hubungan terner agak sederhana. Pertimbangkan upaya CI Lewis untuk menghindari paradoks dari implikasi material. Dia menambahkan sebuah penghubung baru dengan logika klasik, yaitu implikasi yang ketat. Dalam istilah semantik post-Kripkean, A ⊰ B benar di dunia jika dan hanya jika untuk semua w 'sehingga w ' dapat diakses dengan baik, A gagal dalam w 'atau B memperolehnya di sana. Sekarang, dalam semantik Kripke untuk logika modal, hubungan aksesibilitas adalah relasi biner. Ini berlaku di antara pasang dunia. Sayangnya, dari sudut pandang yang relevan, teori implikasi ketat masih tidak relevan. Artinya, kita masih membuat rumus yang benar seperti p ⊰ ( q ⊰ q ). Kita bisa melihat dengan mudah bahwa kondisi kebenaran Kripke memaksa formula ini pada kita.
Seperti logika logika semantik, semantik logika relevansi relativises kebenaran formula ke dunia. Tapi Routley dan Meyer menerapkan logika modal lebih baik dan menggunakan relasi tiga tempat di dunia. Hal ini memungkinkan adanya dunia di mana q → q gagal dan pada gilirannya memungkinkan dunia di mana p → ( q → q ) gagal. Kondisi kebenaran mereka untuk → pada semantik ini adalah sebagai berikut:
A → B benar di dunia jika dan hanya jika untuk semua dunia b dan c sedemikian rupa sehingga Rabc ( R adalah hubungan aksesibilitas) salah A adalah false pada b atau B benar pada c .
Bagi orang baru di lapangan dibutuhkan beberapa waktu untuk membiasakan diri dengan kondisi kebenaran ini. Tapi dengan sedikit kerja, bisa dilihat hanya generalisasi kondisi kebenaran Kripke karena implikasi yang ketat (hanya menetapkan b = c ).
Semantik hubungan terner dapat disesuaikan menjadi semantik untuk berbagai logika. Menempatkan batasan yang berbeda pada relasi membuat berbagai formula dan kesimpulan yang berbeda. Misalnya, jika kita membatasi relasi sehingga Raaa berpegang pada semua dunia a , maka kita menjadikannya benar bahwa jika ( A → B ) & A benar di dunia, maka B juga benar di sana. Dengan fitur Semantic Routley-Meyer lainnya, ini membuat tesis (( A → B ) & A ) → B valid. Jika kita membuat hubungan terner simetris di dua tempat pertama, berarti kita membatasinya sehingga, untuk semua dunia a , b , dan c , jika Rabc kemudian Rbac , maka kita membuat tesis yang benar A → (( A → B ) → B ).
Keterkaitan akses terner membutuhkan interpretasi filosofis untuk memberi implikasi yang relevan makna nyata pada semantik ini. Baru-baru ini ada tiga interpretasi yang dikembangkan berdasarkan teori tentang sifat informasi. Salah satu interpretasi hubungan terner, karena Dunn, mengembangkan gagasan di balik semantik semantik Urquhart. Pada semantik Urquhart, alih-alih memperlakukan indeks sebagai kemungkinan (atau tidak mungkin) dunia, mereka dianggap sebagai potongan informasi. Dalam semantik semilattice, operator menggabungkan informasi dari dua negara - a ° b adalah kombinasi dari informasi dalam a dan b . Semantik Routley-Meyer tidak mengandung kombinasi atau operator "fusi" di dunia, namun kita bisa mendapatkan aproksimasi dengan menggunakan hubungan terner. Pada bacaan Dunn, ' Rabc ' mengatakan bahwa "kombinasi informasi menyatakan a dan b terkandung dalam keadaan informasi c " (Dunn 1986).
Interpretasi lain disarankan di Jon Barwise (1993) dan dikembangkan di Restall (1996). Dalam pandangan ini, dunia dianggap sebagai "situs" teoritis "teoritis" dan "saluran". Situs adalah konteks di mana informasi diterima dan saluran adalah saluran dimana informasi ditransfer. Jadi, misalnya, ketika berita BBC muncul di televisi di ruang tamu saya, kita dapat mempertimbangkan ruang tamu untuk dijadikan tempat dan kabel, satelit, dan sebagainya, yang menghubungkan televisi saya dengan studio di London menjadi sebuah saluran. Dengan menggunakan teori saluran untuk menafsirkan Semantik Routley-Meyer, kita menganggap Rabc berarti bahwa a adalah saluran informasi-teoritis antara situs b dan c . Jadi, kita mengambil A → B agar benar pada jika dan hanya jika, setiap kali menghubungkan sebuah situs b di mana A memperoleh sebuah situs c , B memperoleh c .
Demikian pula, Mares (1997) menggunakan teori informasi karena David Israel dan John Perry (1990). Selain informasi lain, dunia berisi tautan informasi, seperti hukum alam, konvensi, dan sebagainya. Misalnya, dunia Newton akan berisi informasi bahwa semua materi menarik semua hal lainnya. Dalam istilah informasi-teoritis, dunia ini berisi informasi bahwa dua hal 'menjadi materi membawa informasi bahwa mereka saling menarik. Pada pandangan ini, Rabc jika dan hanya jika, sesuai dengan link di, semua informasi yang dibawa oleh apa yang diperoleh dalam b terkandung di dalam c . Jadi, misalnya, jika a adalah dunia Newton dan informasi bahwa x dan y adalah material terkandung dalam b , maka informasi yang saling terkait dan saling menarik satu sama lain terdapat dalam c .
Interpretasi lain dikembangkan di Mares (2004). Interpretasi ini menggunakan semantik Routley-Meyer untuk menjadi formalisasi gagasan "implikasi yang terletak". Penafsiran ini mengambil "dunia" semantik Routley-Meyer menjadi situasi . Situasi adalah representasi sebagian dari alam semesta. Informasi yang terkandung dalam dua situasi, a dan b memungkinkan kita untuk menyimpulkan informasi lebih lanjut tentang alam semesta yang terkandung dalam situasi apa pun. Jadi, misalnya, anggaplah dalam situasi kita saat ini bahwa kita memiliki informasi yang terdapat dalam hukum teori relativitas umum (ini adalah teori gravitasi Einstein). Kemudian kita berhipotesiskan situasi di mana kita bisa melihat bintang bergerak dalam elips. Kemudian, atas dasar informasi yang kita miliki dan situasi hipotesa, kita dapat menyimpulkan bahwa ada situasi di mana ada tubuh yang sangat berat yang bekerja pada bintang ini.
Kita dapat memodelkan kesimpulan yang ada dengan menggunakan relasi I (untuk "implikasi"). Kemudian kita memiliki IabP , di mana P adalah proposisi, jika dan hanya jika informasi dalam a dan b bersama-sama mensahkan kesimpulan bahwa ada situasi di mana P memegang. Kita bisa memikirkan proposisi itu sendiri sebagai seperangkat situasi. Kami menetapkan A → B untuk menahan pada jika dan hanya jika, untuk semua situasi b di mana A memegang, Iab | B |, dimana | B | adalah himpunan situasi di mana B benar. Kami menetapkan Rabc untuk menahan apakah dan hanya jika c milik setiap proposisi P sedemikian rupa sehingga IabP . Dengan penambahan dalil bahwa, untuk sekumpulan proposisi P sedemikian rupa sehingga IabP , persimpangan dari himpunan X sedemikian rupa sehingga IabX , kita menemukan bahwa implikasi yang dibuat benar pada situasi apa pun yang menggunakan kondisi kebenaran yang menarik bagi saya adalah sama seperti yang dibuat benar oleh kondisi kebenaran Routley-Meyer. Dengan demikian, gagasan tentang inferensi yang ada memberi jalan untuk memahami semantik Routley-Meyer. (Ini adalah versi diskusi yang sangat singkat mengenai kesimpulan yang ada di Bab 2 dan 3 Mares (2004).)
Dengan sendirinya, penggunaan hubungan terner tidak cukup untuk menghindari semua paradoks implikasi. Mengingat apa yang telah kita katakan sejauh ini, tidak jelas bagaimana semantik dapat menghindari paradoks seperti ( p & ¬ p ) → q dan p → ( q ∨ ¬ q ). Paradoks-paradoks ini dihindari oleh masuknya dunia yang tidak konsisten dan tidak bivalen dalam semantik. Sebab, jika tidak ada dunia di mana p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p → → q juga akan terus di mana-mana. Demikian juga, jika q ∨ ¬ q diadakan di setiap dunia, maka p → ( q ∨ ¬ q ) akan menjadi kenyataan universal.
Pendekatan terhadap relevansi yang tidak memerlukan hubungan terner adalah karena Routley dan Loparic (1978) dan Priest (1992) dan (2008). Semantik ini menggunakan seperangkat dunia dan relasi biner, S. Dunia terbagi dalam dua kategori: dunia normal dan dunia non-normmal. Implikasi A → B benar pada dunia normal jika dan hanya jika untuk semua dunia b , jika A benar pada b maka B juga benar benar pada b . Di dunia non-normal, nilai kebenaran untuk implikasi bersifat acak. Beberapa mungkin benar dan yang lainnya salah. Formula berlaku jika dan hanya jika benar pada setiap model seperti itu di dunia normalnya . Pembagian dunia ini menjadi normal dan tidak normal dan penggunaan nilai kebenaran acak untuk implikasi pada dunia non-normal memungkinkan kita menemukan countermodel untuk formula seperti p → ( q → q ).
Imam menafsirkan dunia yang tidak normal seperti dunia yang sesuai dengan "fiksi logika". Dalam fiksi ilmiah, hukum alam mungkin berbeda dari yang ada di alam semesta kita. Demikian pula, dalam logika fiksi, hukum logika mungkin berbeda dari hukum kita. Sebagai contoh, A → A mungkin gagal untuk menjadi kenyataan dalam beberapa fiksi logika. Dunia yang digambarkan fiksi seperti itu adalah dunia yang tidak normal.
Satu masalah dengan semantik tanpa hubungan terner adalah sulit untuk menggunakannya untuk mengkarakterisasi berbagai macam sistem logis seperti yang dapat dilakukan dengan hubungan terner. Selain itu, logika yang ditentukan oleh semantik ini cukup lemah. Misalnya, mereka tidak memiliki sebagai teorema implikasi implisit - (( A → B ) & ( B → C )) → ( A → C ).
Seperti semantik hubungan terner, semantik ini mengharuskan beberapa dunia untuk menjadi tidak konsisten dan beberapa menjadi non-bivalen.
2. Semantik untuk Negasi
Penggunaan dunia non-bivalen dan inkonsisten membutuhkan kondisi kebenaran non-klasik untuk negasi. Pada awal 1970-an, Richard dan Val Routley menemukan "operator bintang" mereka untuk mengobati negasi. Operator adalah operator di dunia. Untuk setiap dunia a , ada dunia a *. Dan¬ A benar pada jika dan hanya jika A salah pada *.Sekali lagi, kita memiliki kesulitan untuk menafsirkan bagian dari semantik formal. Salah satu interpretasi bintang Routley adalah Dunn (1993). Dunn menggunakan relasi biner, C , di dunia. Cab berarti b itu kompatibel dengan a . a *, maka, adalah dunia maksimal (dunia yang paling banyak mengandung informasi) yang kompatibel dengan a .
Ada semantik lain untuk negasi. Satu, karena Dunn dan dikembangkan oleh Routley, adalah semantik bernilai empat. Semantik ini diperlakukan dalam entri pada logika paraconsistent . Perlakuan pengaburan lainnya, beberapa di antaranya telah digunakan untuk logika yang relevan, dapat ditemukan di Wansing (2001).
3. Bukti Teori
Sekarang ada berbagai macam pendekatan untuk membuktikan teori untuk logika yang relevan. Ada kalkulus berurutan untuk fragmen logika bebas negasi karena Gregory Mints (1972) dan JM Dunn (1973) dan pendekatan yang elegan dan sangat umum yang disebut "Display Logic" yang dikembangkan oleh Nuel Belnap (1982). Untuk yang pertama, lihat dokumen tambahan:Logika RTapi di sini saya hanya akan berurusan dengan sistem deduksi alami untuk logika R karena Anderson dan Belnap.
Sistem deduksi alami Anderson dan Belnap didasarkan pada sistem deduksi natural Fitch untuk logika klasik dan intuisi. Cara termudah untuk memahami teknik ini adalah dengan melihat sebuah contoh.
Ini adalah kasus sederhana modus ponens. Angka dalam kurung set menunjukkan hipotesis yang digunakan untuk membuktikan rumusnya. Kami akan menyebut mereka 'indeks'. Indeks dalam kesimpulan menunjukkan hipotesis mana yang benar-benar digunakan dalam derivasi kesimpulan. Dalam "bukti" berikut premis kedua tidak benar-benar digunakan:
1. A {1} Hip 2. ( A → B ) {2} Hip 3. B {1,2} 1,2, → E
Ini "bukti" benar-benar hanya menunjukkan bahwa kesimpulan dari A dan A → B ke B relevan berlaku. Karena nomor 2 tidak muncul dalam subskrip pada kesimpulan, "premis" kedua tidak benar-benar dihitung sebagai premis.
1. A {1} Hip 2. B {2} Hip 3. ( A → B ) {3} Hip 4. B {1,3} 1,3, → E
Begitu pula, bila implikasinya terbukti relevan, asumsi pendahulunya harus benar-benar digunakan untuk membuktikan kesimpulannya. Berikut adalah contoh bukti implikasi:
Ketika kita mengeluarkan sebuah hipotesis, seperti pada baris 4 dan 5 dari bukti ini, jumlah hipotesis harus benar-benar terjadi dalam subskrip rumus yang menjadi akibat implikasinya.
1. A {1} Hip 2. ( A → B ) {2} Hip 3. B {1,2} 1,2, → E 4. (( A → B ) → B ) {1} 2,3, → saya 5. A → (( A → B ) → B ) 1,4, → saya
Sekarang, mungkin tampak bahwa sistem indeks memungkinkan tempat yang tidak relevan untuk masuk. Salah satu cara di mana mungkin tampak bahwa ketidakrelevanan dapat mengganggu adalah melalui penggunaan peraturan pengenalan bersama. Artinya, sepertinya kita selalu bisa menambahkan premis yang tidak relevan dengan melakukan, katakanlah, sebagai berikut:
Bagi ahli logika relevansi, premis pertama benar-benar tidak pada tempatnya di sini. Untuk memblokir gerakan seperti ini, Anderson dan Belnap memberikan aturan pengenalan konjungsi berikut ini:
1. A {1} Hip 2. B {2} Hip 3. ( A & B ) {1,2} 1,2, & saya 4. B {1,2} 3, & E 5. ( B → B ) {1} 2,4, → saya 6. A → ( B → B ) 1,5, → saya
Dari A i dan B i untuk menyimpulkan ( A & B ) i .Aturan ini mengatakan bahwa dua formula untuk menjadi conjoined harus memiliki indeks yang sama sebelum aturan pengenalan bersama dapat digunakan.
Tentu saja, ada lebih banyak sistem deduksi alami (lihat Anderson dan Belnap 1975 dan Anderson, Belnap, dan Dunn 1992), namun ini akan cukup untuk tujuan kita. Teori relevansi yang ditangkap oleh setidaknya beberapa logika yang relevan dapat dipahami dalam pengertian bagaimana sistem deduksi alami yang sesuai mencatat penggunaan sebenarnya dari premis.
4. Sistem Logika Relevansi
Dalam karya Anderson dan Belnap, sistem logika keterkaitan utama adalah logika E dari entailment yang relevan dan sistem R dari implikasi yang relevan. Hubungan antara kedua sistem ini adalah bahwa penghubung E harus dilakukan secara ketat (memerlukan adanya) implikasi yang relevan. Untuk membandingkan keduanya, Meyer menambahkan operator kebutuhan ke R (untuk menghasilkan logika NR ). Larisa Maksimova, bagaimanapun, menemukan bahwa NR dan E adalah penting berbeda - bahwa ada teorema NR (pada terjemahan alami) yang bukan merupakan teorema E. Ini telah membuat beberapa ahli logika yang relevan dengan kebingungan. Mereka harus memutuskan apakah akan menganggap NR sebagai sistem implikasi yang ketat, atau mengklaim bahwa NR entah bagaimana kekurangan dan E berdiri sebagai sistem implikasi yang ketat. (Tentu saja, mereka dapat menerima kedua sistem dan mengklaim bahwa E dan R memiliki hubungan yang berbeda satu sama lain.)Di sisi lain, ada logika logika yang menolak R dan E. Ada, seperti Arnon Avron, yang menerima logika lebih kuat dari R (Avron 1990). Dan ada juga yang seperti Ross Brady, John Slaney, Steve Giambrone, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall, dan yang lainnya, yang berpendapat bahwa sistem yang diterima lebih lemah daripada R atau E. Salah satu sistem yang sangat lemah adalah logika S Robert Meyer dan Errol Martin. Seperti yang telah dibuktikan Martin, logika ini tidak mengandung teorema bentuk A → A. Dengan kata lain, menurut S , tidak ada proposisi yang menyiratkan dirinya dan tidak ada argumen dari bentuk ' A , karena itu A ' adalah valid. Dengan demikian, logika ini tidak membuat argumen melingkar yang valid.
Untuk rincian lebih lanjut tentang logika ini lihat suplemen pada logika E , logika R , logika NR , dan logika S.Di antara poin-poin yang mendukung sistem yang lebih lemah adalah bahwa, tidak seperti R atau E , banyak dari mereka dapat dipecahkan. Fitur lain dari beberapa logika lemah ini yang membuat mereka menarik adalah bahwa teori tersebut dapat digunakan untuk membangun teori naif. Teori naif menetapkan teori set yang mencakup teori sebagai aksioma pemahaman naif, yaitu untuk semua formula A (y) ,
∃ x ∀ y ( y ∈ x ↔ A ( y )).Dalam teori yang ditetapkan berdasarkan logika relevan yang kuat, seperti E dan R , dan juga teori teori klasik, jika kita menambahkan aksioma pemahaman naif, kita dapat memperoleh formula sama sekali. Dengan demikian, teori naif menetapkan berdasarkan sistem seperti E dan R dikatakan "sepele". Berikut adalah sketsa intuitif dari bukti sepele teori naif menetapkan menggunakan prinsip-prinsip kesimpulan dari logika R. Misalkan p adalah proposisi yang sewenang-wenang:
| 1. ∃ x ∀ y ( y ∈ x ↔ ( y ∈ y → p )) | Pemahaman Naïve |
| 2. ∀ y ( y ∈ z ↔ ( y ∈ y → p )) | 1, Instansiasi Eksistensial |
| 3. z ∈ z ↔ ( z ∈ z → p ) | 2, Instansiasi Universal |
| 4. z ∈ z → ( z ∈ z → p ) | 3, df dari ↔, & -Eliminasi |
| 5. ( z ∈ z → ( z ∈ z → p )) → ( z ∈ z → p ) | Aksioma Kontraksi |
| 6. z ∈ z → hal | 4,5, Modus Ponens |
| 7. ( z ∈ z → p )) → z ∈ z | 3, df dari ↔, & -Eliminasi |
| 8. z ∈ z | 6,7, Modus Ponens |
| 9. hal | 6,8, Modus Ponens |
Dalam hal sistem deduksi alami, kehadiran kontraksi sesuai dengan memungkinkan tempat untuk digunakan lebih dari satu kali. Perhatikan bukti berikut ini:
Apa yang memungkinkan derivasi kontraksi adalah fakta bahwa subskrip kita adalah kumpulan. Kami tidak mencatat berapa kali (lebih dari sekali) bahwa hipotesis digunakan dalam derivasinya. Untuk menolak kontraksi, kita membutuhkan cara untuk menghitung jumlah penggunaan hipotesis. Jadi, sistem deduksi alami untuk sistem bebas kontraksi menggunakan "multiset" angka relevansi dan bukan set - ini adalah struktur di mana jumlah kejadian jumlah angka tertentu, namun urutan kemunculannya tidak. Bahkan sistem yang lebih lemah dapat dibangun, yang juga melacak urutan hipotesis digunakan (lihat Baca 1986 dan Restall 2000).
1. A → ( A → B ) {1} Hip 2. A {2} Hip 3. A → B {1,2} 1,2, → E 4. B {1,2} 2,3, → E 5. A → B {1} 2-4, → saya 6. ( A → ( A → B )) → ( A → B ) 1-5, → saya
5. Aplikasi Logika Relevansi
Terlepas dari aplikasi yang memotivasi untuk menyediakan formalisme yang lebih baik dari gagasan implikasi dan implikasi pra-formal kita dan memberikan dasar bagi teori naif, logika relevansi telah diterapkan pada berbagai kegunaan dalam filsafat dan ilmu komputer. Disini saya akan daftar beberapa.Dunn telah mengembangkan teori sifat intrinsik dan esensial berdasarkan logika yang relevan. Inilah teorinya tentang predikasi yang relevan . Secara singkat, hal yang saya miliki adalah properti F jika if ∀ x ( x = i → F ( x )). Secara informal, sebuah objek memiliki properti yang relevan jika benda itu relevan berarti memiliki properti itu. Karena kebenaran konsekuensi dari implikasi yang relevan adalah dengan sendirinya tidak mencukupi untuk kebenaran implikasi itu, hal-hal dapat memiliki sifat yang tidak relevan dan relevan. Formulasi Dunn tampaknya menangkap setidaknya satu pengertian di mana kita menggunakan gagasan tentang properti intrinsik. Menambahkan modalitas ke bahasa memungkinkan adanya formalisasi gagasan tentang properti penting sebagai properti yang dimiliki baik secara langsung maupun secara intrinsik (lihat Anderson, Belnap, dan Dunn 1992, §74).
Logika yang relevan telah digunakan sebagai dasar teori matematika selain teori himpunan. Meyer telah menghasilkan variasi aritmatika Peano berdasarkan logika R. Meyer memberikan bukti finiter bahwa aritmatika yang relevannya tidak memiliki 0 = 1 sebagai teorema. Jadi, Meyer memecahkan salah satu masalah utama Hilbert dalam konteks aritmatika yang relevan; Dia menunjukkan dengan menggunakan cara finiter bahwa aritmatika yang relevan benar-benar konsisten. Hal ini membuat teori Peano aritmatika yang relevan sangat menarik. Sayangnya, seperti yang ditunjukkan oleh Meyer dan Friedman, aritmatika yang relevan tidak mengandung semua teorema aritmatika Peano klasik. Oleh karena itu, kita tidak dapat menyimpulkan dari ini bahwa aritmatika Peano klasik benar-benar konsisten (lihat Meyer dan Friedman 1992).
Anderson (1967) merumuskan sebuah sistem logika deontik berdasarkan R dan, baru-baru ini, logika relevansi telah digunakan sebagai dasar logika deontik oleh Mares (1992) dan Lou Goble (1999). Sistem ini menghindari beberapa masalah standar dengan logika deontik yang lebih tradisional. Satu masalah yang dihadapi oleh logika deontik standar adalah bahwa mereka membuat valid kesimpulan dari teori A menjadi teorema OA sebagai teorema, di mana ' OA ' berarti 'seharusnya A '. Alasan bahwa masalah ini muncul adalah bahwa sekarang standar untuk memperlakukan logika deontik sebagai logika modal normal. Pada semantik standar untuk logika modal, jika A valid, maka itu benar di semua kemungkinan dunia. Selain itu, OA benar di dunia jika dan hanya jika A benar di setiap dunia dapat diakses oleh a . Jadi, jika A adalah formula yang valid, maka OA . Tapi tampaknya konyol untuk mengatakan bahwa setiap formula yang benar seharusnya terjadi. Mengapa harus terjadi apakah sekarang hujan di Ekuador atau tidak? Dalam semantik untuk logika yang relevan, tidak setiap dunia membuat setiap formula yang berlaku. Hanya kelas dunia yang istimewa (kadang-kadang disebut "dunia dasar" dan kadang-kadang disebut "dunia normal") membuat formula yang benar berlaku. Setiap formula yang valid bisa gagal di dunia. Dengan membiarkan "dunia tidak normal" ini dalam model kami, kami membatalkan peraturan bermasalah ini.
Operator modal jenis lain juga ditambahkan ke logika yang relevan. Lihat, Fuhrmann (1990) untuk perlakuan umum terhadap logika modal dan Wansing yang relevan (2002) untuk pengembangan dan penerapan logika epistemik yang relevan.
Routley dan Val Plumwood (1989) dan Mares dan André Fuhrmann (1995) menyajikan teori kontraktual kontrafaktual berdasarkan logika yang relevan. Semantik mereka menambahkan semantik Routley-Meyer standar sebagai hubungan aksesibilitas yang mencakup antara formula dan dua dunia. Pada semantik Routley dan Plumwood, A > B memegang sebuah dunia seandainya dan hanya jika untuk semua dunia b seperti SAab , B bertahan di b . Semantik Mares dan Fuhrmann sedikit lebih rumit: A > B berpegang pada dunia jika dan hanya jika untuk semua dunia b seperti SAab , A → B berlaku di b (lihat juga Brady (ed.) 2002, §10 untuk rincian keduanya semantik). Mares (2004) menyajikan teori kondisional yang lebih kompleks yang mencakup kondisional kontrafaktual. Semua teori ini menghindari analogi paradoks implikasi yang muncul dalam logika standar kontrafaktual.
Logika yang relevan telah digunakan dalam ilmu komputer dan juga filsafat. Logika linier - cabang logika yang diprakarsai oleh Jean-Yves Girard - adalah logika sumber daya komputasi. Ahli logika linier membaca sebuah implikasi A → B yang mengatakan bahwa memiliki sumber daya tipe A memungkinkan kita untuk mendapatkan sesuatu dari tipe B. Jika kita memiliki A → ( A → B ), maka, kita tahu bahwa kita dapat memperoleh B dari dua sumber daya tipe A. Tapi ini tidak berarti kita bisa mendapatkan B dari satu sumber tunggal tipe A , yaitu kita tidak tahu apakah kita bisa mendapatkan A → B. Oleh karena itu, kontraksi gagal dalam logika linier. Logika linier sebenarnya adalah logika yang relevan yang kekurangan kontraksi dan distribusi konjungsi disolusi ( A & ( B ∨ C )) → (( A & B ) ∨ ( A & C ))). Mereka juga termasuk dua operator (! Dan?) Yang dikenal sebagai "eksponensial". Menempatkan eksponensial di depan formula memberi formula itu kemampuan untuk bertindak secara klasik, sehingga bisa berbicara. Sebagai contoh, seperti dalam logika relevansi standar, kita biasanya tidak dapat menambahkan premis ekstra ke kesimpulan yang valid dan tetap valid. Tapi kita selalu bisa menambahkan premis dari form! A ke inferensi yang valid dan memilikinya tetap valid. Logika linier juga memiliki kontraksi untuk formula bentuk! A , yaitu, ini adalah teorema dari logika-logika ini yang (! A → (! A → B )) → (! A → B ) (lihat Troelstra 1992). Penggunaan! memungkinkan untuk pengobatan sumber daya "yang dapat diduplikasi atau diabaikan sesuka hati" (Restall 2000, p 56). Untuk lebih lanjut tentang logika linier, lihat entri pada logika substruktur .
Bibliografi
Yang sangat bagus, walaupun sedikit ketinggalan zaman, daftar pustaka tentang logika relevansi disatukan oleh Robert Wolff dan ada di Anderson, Belnap, dan Dunn (1992). Berikut ini adalah daftar singkat perkenalan dan buku tentang logika dan karya yang relevan yang disebut di atas.Buku tentang Relevansi Logika dan Perkenalan ke Lapangan:
- Anderson, AR dan ND Belnap, Jr., 1975, Entailment: Logika Relevansi dan Kebutuhan , Princeton, Princeton University Press, Volume I. Anderson, ARND Belnap, Jr. dan JM Dunn (1992) Entailment , Volume II. [Ini adalah kedua koleksi artikel yang sedikit dimodifikasi mengenai logika relevansi bersama dengan banyak materi yang unik untuk volume ini. Karya bagus dan masih buku standar tentang subjek. Tapi mereka sangat teknis dan cukup sulit.]
- Brady, RT, 2005, Universal Logic , Stanford: Publikasi CSLI, 2005. [Buku yang sulit namun penting, yang memberikan rincian semantik Brady dan pembuktiannya bahwa teori naif dan logika tingkat tinggi berdasarkan logika relevannya yang lemah konsisten. .]
- Dunn, JM, 1986, "Relevansi Logika dan Kelayakan" di F. Guenthner dan D. Gabbay (ed.), Buku Pegangan Logika Filosofis , Jilid 3, Dordrecht: Reidel, hlm. 117-24. [Dunn telah menulis ulang artikel ini bersama Greg Restall dan versi baru telah muncul dalam buku 6 dari edisi baru Buku Pegangan Logika Filosofis , Dordrecht: Kluwer, 2002, hlm. 1-128.]
- Mares, ED, 2004, Relevan Logika: Sebuah Interpretasi Filosofis , Cambridge: Cambridge University Press.
- Mares, ED dan RK Meyer, 2001, "Relevan Logika" di L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Oxford: Blackwell.
- Paoli, F., 2002, Logika Substruktur: A Primer , Dordrecht: Kluwer. [Pengenalan yang bagus dan jelas untuk bidang logika yang mencakup logika relevansi.]
- Priest, G., 2008, Pengantar Logika Non-Klasik: Dari If to Is , Cambridge: University of Cambridge Press. [Penyajian yang sangat bagus dan sangat jelas tentang logika non-klasik yang relevan dan yang menggunakan pendekatan tablo untuk membuktikan teori.]
- Baca, S., 1988, Logika Relevan , Oxford: Blackwell. [Sebuah buku yang sangat menarik dan menyenangkan. Idiosyncratic, tapi secara filosofis mahir dan prima pada sejarah pra-sejarah dan sejarah logika relevansi.]
- Restall, G., 2000, Pengantar Logika Substructural , London: Routledge. [Pengenalan yang bagus dan jelas untuk bidang logika yang mencakup logika relevansi.]
- Rivenc, François, 2005, Pendahuluan à la logique pertinente , Paris: Menekan Universitaires de France. [Di Perancis. Memberikan interpretasi "struktural" terhadap logika yang relevan, yang sebagian besar merupakan bukti teoritis. Struktur yang terlibat adalah struktur bangunan dalam sebuah kalkulus berurutan.]
- Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood dan R. Brady, 1983, Logika yang Relevan dan Rivals-nya (Volume I), Atascardero, CA: Ridgeview. [Sebuah buku yang sangat berguna untuk hasil formal terutama tentang logika logika semantik. Pengantar dan ucapan filosofis penuh dengan "Richard Routleyisms". Mereka cenderung pandangan Routley daripada pandangan para penulis lainnya dan cukup radikal bahkan bagi para ahli logika yang relevan. Volume II memperbarui Volume I dan mencakup topik lain seperti kondisional, kuantifikasi, dan prosedur keputusan: R.Brady (ed.), Logika yang Relevan dan Rivals mereka (Volum II), Aldershot: Ashgate, 2003.]
- Goldblatt, R., 2011, Kuantifier, Proposisi dan Identitas: Semantik yang Diijinkan untuk Quantified Modal dan Substructural Logics , Cambridge: Cambridge University Press. [Penjelasan rinci tentang semantik yang dapat diterima untuk logika kuantitatif, diterapkan pada logika modal dan relevansi, dan menyediakan jenis semantik baru untuk logika relevansi terukur, "semantik penutup".]