Pemahaman tentang logika modal sangat berharga dalam analisis formal argumen filosofis, di mana ungkapan dari keluarga modal sama-sama umum dan membingungkan. Logika modal juga memiliki aplikasi penting dalam ilmu komputer.
1. Apa itu Logika Modal?
Sempit ditafsirkan, penalaran logika maya penalaran yang melibatkan penggunaan ungkapan 'harus' dan 'mungkin'. Namun, istilah 'logika modal' digunakan lebih luas untuk mencakup keluarga logika dengan peraturan serupa dan berbagai simbol yang berbeda.Daftar yang menjelaskan logika paling terkenal berikut ini.
Logika Simbol Ekspresi dilambangkan Logika Modal □ Perlu .. ◊ Mungkin saja ... Logika Deontik HAI Ini adalah kewajiban yang ... P Diijinkan bahwa ... F Dilarang dilarang ... Logika temporal G Itu akan selalu menjadi kasus yang ... F Ini akan menjadi kasus yang ... H Itu selalu terjadi bahwa ... P Itu adalah kasus yang ... Logika Doxastic B x x percaya bahwa ...
2. Logika Modal
Logika yang paling akrab di keluarga modal dibangun dari logika lemah yang disebut K (setelah Saul Kripke). Di bawah pembacaan yang sempit, logika modal menyangkut kebutuhan dan kemungkinan. Berbagai sistem yang berbeda dapat dikembangkan untuk logika semacam itu dengan menggunakan K sebagai pondasi. Simbol K termasuk '~' untuk 'tidak', '→' untuk 'jika ... lalu', dan '□' untuk operator modal 'perlu'. (Connectives '&', '∨', dan '↔' dapat didefinisikan dari '~' dan '→' seperti yang dilakukan dalam logika proposisional.) K menghasilkan dari penambahan berikut ini ke prinsip logika proposisional.Aturan Kebutuhan: Jika A adalah teorema K , maka begitulah □ A.(Dalam prinsip-prinsip ini kita menggunakan ' A ' dan ' B ' sebagai metavariabel yang berkisar pada formula bahasa.) Menurut Aturan Necessition, setiap teorema logika diperlukan. Aksioma Distribusi mengatakan bahwa jika perlu jika A kemudian B , maka jika perlu A , maka harus B.
Aksioma Distribusi: □ ( A → B ) → (□ A → □ B ).
Operator ◊ (untuk 'mungkin') dapat didefinisikan dari □ dengan membiarkan ◊ A = ~ □ ~ A. Di K , operator □ dan ◊ berperilaku sangat mirip dengan quantifier ∀ (all) dan ∃ (beberapa). Misalnya, definisi ◊ dari □ mencerminkan ekuivalensi ∀ x A dengan ~ ∃ x ~ A dalam logika predikat. Selanjutnya, □ ( A & B ) mengandung □ A & □ B dan sebaliknya; sementara □ A ∨ □ B mengandung □ (A∨ B ), tapi tidak sebaliknya. Ini mencerminkan pola yang ditunjukkan oleh pengukur universal: ∀ x ( A & B ) memerlukan ∀ x A & ∀ x B dan sebaliknya, sedangkan ∀ x A ∨ ∀ x B mengandung ∀ x ( A ∨ B ) tapi tidak sebaliknya. Kesamaan serupa antara ◊ dan ∃ dapat ditarik. Dasar korespondensi antara operator modal dan quantifier akan muncul lebih jelas di bagian Semantik Dunia Kemungkinan .
Sistem K terlalu lemah untuk menyediakan akun kebutuhan yang memadai. Aksioma berikut ini tidak dapat dibuktikan di K , tapi jelas diinginkan.
( M ) □ A → A( M ) mengklaim bahwa apapun yang diperlukan adalah kasusnya. Perhatikan bahwa ( M ) tidak benar adalah □ untuk dibaca 'seharusnya itu', atau 'itu adalah kasusnya'. Jadi kehadiran aksioma ( M ) membedakan logika untuk kebutuhan logika lainnya dalam keluarga modal. Logika modal dasar M dihasilkan dari penambahan ( M ) ke K. (Beberapa penulis menyebut sistem ini T. )
Banyak ahli logika percaya bahwa M masih terlalu lemah untuk secara benar meresmikan logika kebutuhan dan kemungkinan. Mereka merekomendasikan aksioma lebih lanjut untuk mengatur iterasi, atau pengulangan operator modal. Inilah dua aksioma iterasi yang paling terkenal:
(4) □ A → □□ A (5) ◊ A → □ ◊ AS4 adalah sistem yang dihasilkan dari penambahan (4) ke M. Demikian pula S5 adalah M plus (5). Pada S4 , kalimat □□ A setara dengan □ A. Akibatnya, setiap rangkaian kotak bisa diganti dengan satu kotak, dan yang sama berlaku untuk senar berlian. Ini berarti gagasan bahwa iterasi operator modal tidak berguna. Mengatakan bahwa A selalu diperlukan dianggap sebagai cara yang tidak berdaya untuk mengatakan bahwa A diperlukan. Sistem S5 memiliki prinsip yang lebih kuat untuk menyederhanakan string operator modal. Di S4 , serangkaian operator sejenis bisa diganti untuk operator itu; di S5 , string yang berisi kedua kotak dan berlian sama dengan operator terakhir dalam string. Jadi, misalnya, mengatakan bahwa ada kemungkinan A diperlukan sama dengan mengatakan bahwa A diperlukan. Ringkasan fitur S4 dan S5 berikut ini.
S4 : □□ ... □ = □ dan ◊◊ ... ◊ = ◊ S5 : 00 ... □ = □ dan 00 ... ◊ = ◊, dimana masing-masing 0 adalah □ atau ◊Seseorang dapat terlibat dalam argumen tanpa henti mengenai kebenaran atau kesalahan prinsip iterasi dan iterasi lainnya untuk □ dan ◊. Kontroversi ini sebagian dapat dipecahkan dengan mengakui bahwa kata-kata 'pasti' dan 'mungkin', memiliki banyak kegunaan yang berbeda. Jadi, akseptabilitas aksioma untuk logika modal bergantung pada penggunaan mana yang ada dalam pikiran kita. Untuk alasan ini, tidak ada logika modal, melainkan keseluruhan sistem keluarga yang dibangun di sekitar M. Hubungan antara sistem ini ditunjukkan pada Bagian 8 , dan penerapannya pada kegunaan yang berbeda dari 'pasti' dan 'mungkin' dapat dipahami lebih dalam dengan mempelajari semantik dunia mereka yang mungkin ada di Bagian 6 .
Sistem B (untuk logika Brouwer) dibentuk dengan menambahkan aksioma ( B ) ke M.
( B ) A → □ ◊ AMenarik untuk dicatat bahwa S5 dapat diformulasikan secara ekuivalen dengan menambahkan ( B ) ke S4 . Aksioma ( B ) menimbulkan poin penting tentang interpretasi formula modal. ( B ) mengatakan bahwa jika A adalah kasusnya, maka A harus dimungkinkan. Orang mungkin berpendapat bahwa ( B ) harus selalu diadopsi dalam logika modal apapun, karena pasti jika A adalah kasusnya, maka perlu A mungkin terjadi. Namun, ada masalah dengan klaim ini yang dapat dikenali dengan mencatat bahwa ◊ □ A → A dapat dibuktikan dari ( B ). Jadi ◊ □ A → A harus diterima jika ( B ) adalah. Namun, ◊ □ A → A mengatakan bahwa jika A mungkin diperlukan, maka A adalah kasusnya, dan ini jauh dari jelas. Mengapa ( B ) tampak jelas, sementara salah satu hal yang dimaksud sepertinya tidak jelas sama sekali? Jawabannya adalah bahwa ada ambiguitas yang berbahaya dalam interpretasi bahasa Inggris dari A → □ ◊ A. Kita sering menggunakan ungkapan 'Jika A maka harus B ' untuk menyatakan bahwa syarat 'jika A maka B ' diperlukan. Penafsiran ini sesuai dengan □ ( A → B ). Pada kesempatan lain, kita maksudkan bahwa jika A , maka B diperlukan: A → □ B. Dalam bahasa Inggris, 'harus' adalah kata keterangan, dan karena kata keterangan biasanya ditempatkan di dekat kata kerja, kita tidak memiliki cara alami untuk menunjukkan apakah operator modal berlaku untuk keseluruhan persyaratan, atau konsekuensinya. Untuk alasan ini, ada kecenderungan untuk membingungkan ( B ): A → □ ◊ A dengan □ ( A → ◊ A ). Tapi □ ( A → ◊ A ) tidak sama dengan ( B ), karena □ ( A → ◊ A ) sudah menjadi teorema M , dan ( B ) tidak. Kita harus berhati-hati agar reaksi positif kita terhadap □ ( A → ◊ A ) tidak menginfeksi evaluasi kita terhadap ( B ). Salah satu cara sederhana untuk melindungi diri kita adalah dengan merumuskan B secara ekuivalen dengan menggunakan aksioma: ◊ □ A → A , di mana ambiguitas lingkup ini tidak muncul.
3. Deontic Logics
Logika deontik mengenalkan simbol primitif O untuk 'itu wajib,', dari mana simbol P untuk 'diizinkan itu' dan F untuk 'dilarang itu' didefinisikan: P A = ~ O ~ A dan F A = O ~ A. Analog deontik dari aksioma modal ( L ): O A → A jelas tidak sesuai untuk logika deontik. (Sayangnya, yang seharusnya tidak selalu terjadi). Namun, sistem dasar logika deontik D dapat dibangun dengan menambahkan aksioma lemah ( D ) ke K.( D ) O A → P AAksioma ( D ) menjamin konsistensi sistem kewajiban dengan menegaskan bahwa jika A adalah wajib, A diperbolehkan. Sistem yang mewajibkan kita untuk mewujudkan A , tapi tidak mengizinkan kita melakukannya, menempatkan kita pada ikatan yang tak terhindarkan. Meskipun beberapa orang akan berpendapat bahwa konflik kewajiban semacam itu setidaknya dimungkinkan, kebanyakan ahli logika deontik menerima ( D ).
O ( O A → A ) adalah aksioma deontik lain yang nampaknya diinginkan. Meskipun salah jika mengatakan bahwa jika A diwajibkan maka A adalah kasusnya ( O A → A ), tetap saja kondisional ini seharusnya terjadi. Jadi, beberapa ahli logika deontik percaya bahwa D perlu dilengkapi dengan O ( O A → A ) juga.
Kontroversi tentang iterasi (pengulangan) operator muncul lagi dalam logika deontik. Dalam beberapa konsepsi kewajiban, O O A hanya berjumlah O A. 'Seharusnya itu harus' diperlakukan sebagai semacam gagap; tambahan 'seharusnya tidak menambahkan sesuatu yang baru. Jadi aksioma ditambahkan untuk menjamin kesetaraan O O A dan O A. Kebijakan iterasi yang lebih umum yang terkandung dalam S5 juga dapat diadopsi. Namun, ada konsepsi kewajiban di mana perbedaan antara O A dan O O A dipertahankan. Idenya adalah bahwa ada perbedaan nyata antara kewajiban yang sebenarnya kita miliki dan kewajiban yang harus kita adopsi. Jadi, misalnya, 'Seharusnya itu adalah perintah A ' yang menerapkan beberapa kewajiban yang mungkin tidak benar, sehingga O O A bisa berlaku bahkan jika O A salah.
4. Fisika Temporal
Dalam logika temporal (juga dikenal sebagai logika tegang), ada dua operator dasar, G untuk masa depan, dan H untuk masa lalu. G dibaca 'akan selalu demikian' dan operator yang didefinisikan F (baca 'akan menjadi kasus yang') dapat dikenalkan oleh F A = ~ G ~ A. Demikian pula, H dibaca: 'selalu demikian' dan P (untuk 'itu adalah kasus') didefinisikan oleh P A = ~ H ~ A. Sistem dasar logika temporal yang disebut Kt menghasilkan penerapan prinsip-prinsip K untuk G dan H , bersama dua aksioma untuk mengatur interaksi antara operator masa lalu dan masa depan:Aturan "Kebutuhan":Aksioma interaksi menimbulkan pertanyaan mengenai asimetri antara masa lalu dan masa depan. Intuisi standar adalah bahwa masa lalu sudah diperbaiki, sementara masa depan masih terbuka. Aksioma interaksi pertama ( A → G P A ) sesuai dengan intuisi ini untuk melaporkan bahwa apa yang terjadi ( A ), kapanpun, akan terjadi di masa lalu ( G P A ). Namun A → H F A mungkin nampaknya memiliki nada deterministik yang tidak dapat diterima, karena klaim tersebut mengklaim bahwa yang sebenarnya sekarang ( A ) selalu terjadi seperti itu akan terjadi di masa depan ( H F A ). Namun, kemungkinan semantik dunia untuk logika temporal mengungkapkan bahwa kekhawatiran ini diakibatkan oleh kebingungan sederhana, dan bahwa dua aksioma interaksi sama-sama dapat diterima.
Jika A adalah sebuah teorema maka demikianlah G A dan H A. Aksioma Distribusi:
G ( A → B ) → ( G A → G B ) dan H ( A → B ) → ( H A → H B )
Aksioma interaksi:
A → G P A dan A → H F A
Perhatikan bahwa aksioma logika logika yang khas, ( L ): □ A → A , tidak dapat diterima baik untuk H atau G , karena A tidak mengikuti dari 'selalu terjadi bahwa A ', atau dari 'selalu akan kasus yang A '. Namun, dapat diterima dalam logika temporal yang terkait erat dimana G dibaca 'itu dan akan selalu demikian', dan H dibaca 'itu dan selalu'.
Bergantung pada asumsi mana yang dibuat tentang struktur waktu, aksioma lebih lanjut harus ditambahkan ke logika temporal. Daftar aksioma yang umum digunakan dalam logika temporal berikut. Sebuah catatan tentang bagaimana mereka bergantung pada struktur waktu akan ditemukan di bagian Kemungkinan Semesta Dunia .
G A → G G A dan H A → H H A G G A → G A dan H H A → H AMenarik untuk dicatat bahwa kombinasi antara past tense dan future tense operators dapat digunakan untuk mengekspresikan tenses yang kompleks dalam bahasa Inggris. Misalnya, F P A , sesuai dengan kalimat A di masa depan yang sempurna, (seperti dalam '20 detik dari sekarang cahaya akan berubah '). Demikian pula, P P A mengungkapkan masa lalu yang sempurna.
G A → F A dan H A → P A
Untuk pembahasan lebih rinci, lihat entri di logika temporal .
5. Logika Bersyarat dan Relevansi
Pendiri logika modal, CI Lewis, mendefinisikan serangkaian logika modal yang tidak memiliki □ sebagai simbol primitif. Lewis berkepentingan untuk mengembangkan logika kondisional yang bebas dari Paradox of Material Implication, yaitu teorema klasik A → (~ A → B ) dan B → ( A → B ). Dia memperkenalkan simbol itu
untuk "implikasi ketat" dan mengembangkan logika di mana A (~ A B ) atau B (SEBUAH B ) dapat dibuktikan. Praktik modern adalah mendefinisikan A B oleh □ ( A → B ), dan gunakan logika modal yang mengatur □ untuk mendapatkan hasil yang serupa. Namun, provabilitas formula tersebut sebagai ( A & ~ A ) B dalam logika semacam itu nampaknya bertentangan dengan kekhawatiran akan paradoksnya. Anderson dan Belnap (1975) telah mengembangkan sistem R (for Relevance Logic) dan E (for Entailment) yang dirancang untuk mengatasi kesulitan tersebut. Sistem ini memerlukan revisi sistem standar logika proposisional. (Lihat Mares (2004) dan masuk pada logika relevansi .) David Lewis (1973) dan yang lainnya telah mengembangkan logika kondisional untuk menangani ekspresi kontrafakta, yaitu ungkapan bentuk 'jika A akan terjadi maka B akan terjadi'. (Kvart (1980) adalah sumber lain yang bagus mengenai topik ini.) Logika kontrafaktual berbeda dari yang didasarkan pada implikasi yang ketat karena mantan menolak sementara yang terakhir menerima kontraposisi.
6. Semantik Dunia yang Mungkin
Tujuan logika adalah untuk mengkarakterisasi perbedaan antara argumen yang valid dan tidak benar. Sistem logis untuk bahasa adalah sekumpulan aksioma dan aturan yang dirancang untuk membuktikan argumen yang benar yang benar dalam bahasa. Membuat logika semacam itu mungkin merupakan tugas yang sulit. Logika harus memastikan bahwa sistem itu sehat , yaitu bahwa setiap argumen yang terbukti menggunakan peraturan dan aksioma sebenarnya benar. Selanjutnya, sistem harus lengkap , artinya setiap argumen yang valid memiliki bukti dalam sistem. Mendemonstrasikan kesehatan dan kelengkapan sistem formal adalah perhatian utama sang ahli logika.Demonstrasi semacam itu tidak dapat berjalan sampai konsep validitas didefinisikan secara ketat. Semantik formal untuk logika memberikan definisi validitas dengan mengkarakteristikkan perilaku kebenaran dari kalimat sistem. Dalam logika proposisional, validitas dapat didefinisikan dengan menggunakan tabel kebenaran. Argumen yang valid hanyalah satu di mana setiap baris tabel kebenaran yang membuat premisnya benar juga membuat kesimpulannya benar. Namun tabel kebenaran tidak dapat digunakan untuk menyediakan akun validitas dalam logika modal karena tidak ada tabel kebenaran untuk ungkapan seperti 'perlu', 'wajib itu', dan sejenisnya. (Masalahnya adalah bahwa nilai kebenaran A tidak menentukan nilai kebenaran untuk □ A. Misalnya, ketika A adalah 'Anjing adalah anjing', □ A benar, tapi bila A adalah 'Anjing adalah hewan peliharaan', □ A adalah false.) Namun demikian, semantik untuk logika modal dapat didefinisikan dengan mengenalkan kemungkinan dunia. Kami akan menggambarkan kemungkinan semantik dunia untuk logika kebutuhan yang mengandung simbol ~, →, dan □. Kemudian kita akan menjelaskan bagaimana strategi yang sama dapat disesuaikan dengan logika lainnya dalam keluarga modal.
Dalam logika proposisional, penilaian dari kalimat atom (atau baris dari tabel kebenaran) memberikan nilai kebenaran ( T atau F ) pada masing-masing variabel proposisi. Kemudian nilai kebenaran dari kalimat kompleks dihitung dengan tabel kebenaran. Dalam semantik modal, seperangkat W kemungkinan dunia diperkenalkan. Penilaian kemudian memberikan nilai kebenaran pada masing-masing variabel proposisional untuk masing-masing dunia yang mungkin terjadi di W. Ini berarti bahwa nilai yang diberikan pada p untuk dunia w mungkin berbeda dari nilai yang diberikan ke p untuk dunia lain.
Nilai kebenaran dari kalimat atom di dunia yang diberikan oleh penilaian v dapat dituliskan v ( p , w ). Dengan catatan ini, nilai kebenaran ( T untuk true, F for false) dari kalimat kompleks logika modal untuk valuasi tertentu v (dan anggota dari himpunan dunia W ) dapat didefinisikan dengan klausa kebenaran berikut. ('iff' abbreviates 'jika dan hanya jika'.)
(~) v (~ A , w ) = T iff v ( A , w ) = F.Klausa (~) dan (→) cukup menggambarkan perilaku tabel kebenaran standar untuk negasi dan implikasi material masing-masing. Menurut (5), □ A benar (di dunia w ) persis ketika A benar di semua dunia yang mungkin. Mengingat definisi ◊, (yaitu, ◊ A = ~ □ ~ A ) kondisi kebenaran (5) memastikan bahwa ◊ A benar terjadi jika A benar di beberapa dunia yang mungkin. Karena klausa kebenaran untuk □ dan ◊ melibatkan quantifier 'all' dan 'some' (masing-masing), paralel dalam perilaku logis antara □ dan ∀ x , dan antara ◊ dan ∃ x yang tercantum dalam bagian 2 akan diharapkan.
(→) v ( A → B , w ) = T iff v ( A , w ) = F atau v ( B , w ) = T.
(5) v (□ A , w ) = T iff untuk setiap dunia w 'di W , v ( A , w ') = T.
Klausul (~), (→), dan (5) memungkinkan kita untuk menghitung nilai kebenaran dari setiap kalimat di dunia manapun dengan penilaian tertentu. Definisi validitas sekarang hanya sekitar sudut. Argumennya adalah 5-valid untuk satu set W (kemungkinan dunia) jika dan hanya jika setiap penilaian dari kalimat atom yang menugaskan tempat T di dunia di W juga memberikan kesimpulan T di dunia yang sama. Argumen dikatakan 5-valid jika itu berlaku untuk setiap himpunan yang tidak kosong dari kemungkinan dunia.
Telah ditunjukkan bahwa S5 terdengar dan lengkap untuk 5-validitas (oleh karena itu penggunaan simbol '5'). Argumen 5 valid sama persis dengan argumen yang dapat dibuktikan di S5 . Hasil ini menunjukkan bahwa S5 adalah cara yang benar untuk merumuskan logika kebutuhan.
Namun, S5 bukan logika yang masuk akal untuk semua anggota keluarga maya. Dalam logika deontik, logika temporal, dan lain-lain, analog dengan kondisi kebenaran (5) jelas tidak tepat; Selanjutnya bahkan ada konsepsi kebutuhan dimana (5) harus ditolak juga. Intinya paling mudah untuk dilihat dalam kasus logika temporal. Di sini, anggota W adalah saat-saat tertentu, atau dunia "membeku", seperti pada saat bersamaan. Untuk kesederhanaan mari kita pertimbangkan logika temporal masa depan , logika di mana □ A berbunyi: 'itu akan selalu terjadi'. (Kami merumuskan sistem dengan menggunakan □ daripada G tradisional sehingga koneksi dengan logika modal lainnya akan lebih mudah untuk diapresiasi.) Klausa yang benar untuk □ harus mengatakan bahwa □ A benar pada saat w jika A benar setiap saat masa depan w. Untuk membatasi perhatian pada masa depan, relasi R (untuk 'eaRlier daripada') perlu diperkenalkan. Maka klausa yang benar bisa dirumuskan sebagai berikut.
( K ) v (□ A , w ) = T jika untuk setiap w ', jika w R w ', maka v ( A , w ') = T.Ini mengatakan bahwa □ A benar terjadi jika A benar setiap saat setelah w .
Validitas untuk merek logika temporal sekarang dapat didefinisikan. Bingkai < W , R > adalah sepasang yang terdiri dari himpunan tidak kosong W (dari dunia) dan relasi biner R pada W. Sebuah model < F , v > terdiri dari frame F , dan sebuah valuasi v yang memberikan nilai kebenaran pada setiap kalimat atom di setiap dunia di W. Dengan model, nilai dari semua kalimat kompleks dapat ditentukan dengan menggunakan (~), (→), dan ( K ). Argumennya adalah K- Validid kalau-kalau ada model yang valuasinya menugaskan tempat T di dunia juga memberikan kesimpulan T di dunia yang sama. Seperti yang bisa diduga pembaca dari penggunaan ' K ' kita, telah ditunjukkan bahwa logika modal sederhana K sama-sama baik dan lengkap untuk K -validity.
7. Aksioma dan Kondisi Modal pada Bingkai
Orang mungkin berasumsi dari diskusi ini bahwa K adalah logika yang benar ketika □ dibaca 'itu akan selalu menjadi kasusnya'. Namun, ada alasan untuk berpikir bahwa K terlalu lemah. Salah satu ciri logis yang jelas dari hubungan R (lebih awal dari) adalah transitivitas. Jika w R v ( w lebih awal dari v ) dan v R u ( v lebih awal dari u ), maka berikut bahwa w R u ( w lebih awal dari u ). Jadi mari kita definisikan jenis validitas baru yang sesuai dengan kondisi ini pada R. Misalkan model 4 adalah model yang framenya < W , R > sedemikian rupa sehingga R adalah hubungan transitif pada W. Kemudian sebuah argumen adalah 4-valid jika ada 4 model yang valuasinya menugaskan T ke tempat di dunia juga memberikan T pada kesimpulan di dunia yang sama. Kita menggunakan '4' untuk menggambarkan model transitif seperti itu karena logika yang memadai (baik yang benar dan lengkap) untuk validitas 4 adalah K4 , logika yang dihasilkan dari penambahan aksioma (4): □ A → □□ A to K .Keterhubungan bukan satu-satunya properti yang mungkin kita inginkan dari bingkai < W , R > jika R dibaca 'lebih awal dari' dan W adalah seperangkat momen. Satu syarat (yang hanya sedikit kontroversial) adalah bahwa tidak ada saat terakhir, yaitu bahwa untuk setiap dunia ada beberapa dunia v seperti w R v . Kondisi pada frame ini disebut seriality. Seriality sesuai dengan aksioma ( D ): □ A → ◊ A , dengan cara yang sama dengan transitivitas sesuai dengan (4). D- model adalah K- model dengan bingkai serial. Dari konsep D -Model, gagasan yang sesuai tentang D -validity dapat didefinisikan seperti yang kita lakukan dalam kasus validitas-4. Seperti yang mungkin Anda duga, sistem yang memadai berkenaan dengan D -validity adalah KD , atau K plus ( D ). Tidak hanya itu, tapi sistem KD4 (yaitu K plus (4) dan ( D )) cukup berkenaan dengan D4 -validity, di mana D4- model adalah satu di mana < W , R > adalah serial dan transitif.
Properti lain yang mungkin kita inginkan untuk hubungan 'lebih awal dari' adalah kepadatan, kondisi yang mengatakan bahwa antara dua kali kita selalu dapat menemukan yang lain. Densitas akan salah jika waktu atom, yaitu jika ada interval waktu yang tidak bisa dipecah menjadi bagian yang lebih kecil. Densitas sesuai dengan aksioma ( C4 ): □□ A → □ A , kebalikan dari (4), jadi misalnya, sistem KC4 , yaitu K plus ( C4 ) cukup sesuai dengan model dimana bingkai < W , R > padat, dan KDC4 , cukup berkenaan dengan model yang framenya serasi dan padat, dan seterusnya.
Setiap aksioma logika modal yang telah kita diskusikan sesuai dengan kondisi pada frame dengan cara yang sama. Hubungan antara kondisi pada frame dan aksioma yang sesuai adalah salah satu topik utama dalam studi logika modal. Setelah interpretasi dari operator intensif □ telah diputuskan, kondisi yang sesuai pada R dapat ditentukan untuk memperbaiki anggapan validitas yang sesuai. Ini, pada gilirannya, memungkinkan kita memilih rangkaian aksioma yang tepat untuk logika itu.
Misalnya, pertimbangkan logika deontik, di mana □ dibaca 'wajib itu'. Di sini kebenaran □ A tidak menuntut kebenaran A di setiap dunia yang mungkin terjadi, namun hanya di subset dari dunia di mana orang melakukan apa yang seharusnya mereka lakukan. Jadi kita juga ingin mengenalkan relasi R untuk logika semacam ini, dan gunakan klausa kebenaran ( K ) untuk mengevaluasi □ A di dunia. Namun, dalam kasus ini, R tidak lebih awal dari. Sebaliknya, w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w lah varian moral yang dapat diterima secara moral, yaitu dunia yang bisa dilakukan tindakan kita yang memenuhi apa yang benar secara moral, benar, atau adil. Dengan membaca seperti itu, harus jelas bahwa kerangka yang relevan harus mematuhi serialitas, kondisi yang mengharuskan setiap dunia yang mungkin memiliki varian yang dapat diterima secara moral. Analisis sifat yang diinginkan untuk R membuat jelas bahwa logika deontik dasar dapat diformulasikan dengan menambahkan aksioma ( D ) dan ke K.
Bahkan dalam logika modal, seseorang mungkin ingin membatasi rentang kemungkinan dunia yang relevan dalam menentukan apakah □ A benar di dunia tertentu. Sebagai contoh, saya mungkin mengatakan bahwa saya perlu membayar tagihan saya, walaupun saya tahu betul bahwa ada kemungkinan dunia di mana saya gagal membayarnya. Dalam pidato biasa, klaim bahwa A diperlukan tidak memerlukan kebenaran A di semua kemungkinan dunia, melainkan hanya di kelas dunia tertentu yang ada dalam pikiran saya (misalnya, dunia dimana saya menghindari hukuman karena kegagalan membayar) . Untuk memberikan perawatan kebutuhan generik, kita harus mengatakan bahwa □ A benar dalam w jika A benar di semua dunia yang berhubungan dengan w dengan cara yang benar. Jadi untuk operator yang diinterpretasikan sebagai kebutuhan, kami mengenalkan relasi R yang sesuai pada set dunia yang mungkin W , yang secara tradisional disebut hubungan aksesibilitas. Hubungan aksesibilitas R antara dunia w dan w 'iff w ' dimungkinkan mengingat fakta w . Di bawah bacaan ini untuk R , harus jelas bahwa frame untuk logika modal harus bersifat refleksif. Dengan demikian logika modal harus dibangun di M , sistem yang dihasilkan dari penambahan ( M ) ke K. Bergantung pada bagaimana hubungan aksesibilitas dipahami, simetri dan transitivitas mungkin juga diinginkan.
Daftar beberapa kondisi yang lebih umum dibicarakan pada frame dan aksioma yang sesuai beserta peta yang menunjukkan hubungan antara berbagai logika modal dapat ditemukan di bagian berikutnya.
8. Peta Hubungan Antara Logika Modal
Diagram berikut menunjukkan hubungan antara logika modal yang paling dikenal, yaitu logika yang dapat dibentuk dengan menambahkan pilihan aksioma ( D ), ( M ), (4), ( B ) dan (5) ke K. Daftar aksioma (dan lainnya) beserta kondisi frame yang sesuai dapat ditemukan di bawah diagram.Dalam bagan ini, sistem diberikan oleh daftar aksioma mereka. Jadi, misalnya M4B adalah hasil penambahan ( M ), (4) dan ( B ) ke K. Dalam tulisan tebal, kami telah menunjukkan nama-nama tradisional dari beberapa sistem. Ketika sistem S muncul di bawah dan / atau di sebelah kiri S 'dihubungkan oleh sebuah garis, maka S ' adalah perpanjangan dari S. Ini berarti bahwa setiap argumen yang dapat dibuktikan dalam S dapat dibuktikan di S ', namun S lebih lemah dari S ', yaitu tidak semua argumen yang dapat dibuktikan dalam S 'dapat dibuktikan dalam S.
Daftar berikut menunjukkan aksioma, nama mereka, dan kondisi yang sesuai pada hubungan aksesibilitas R , untuk aksioma yang telah dibahas dalam entri ensiklopedia ini.
| Aksioma Nama | Aksioma | Kondisi pada Bingkai | R adalah ... |
| ( D ) | □ A → ◊ A | ∃ u w R u | Serial |
| ( M ) | □ A → A | w w w w w | Refleksif |
| (4) | □ A → □□ A | ( w R v & v R u ) ⇒ w R u | Transitif |
| ( B ) | A → □ ◊ A | w R v ⇒ v R w | Simetris |
| (5) | ◊ A → □ ◊ A | ( w R v & w R u ) ⇒ v R u | Euclidean |
| ( C D ) | ◊ A → □ A | ( w R v & w R u ) ⇒ v = u | Fungsional |
| (□ M ) | □ (□ A → A ) | w R v ⇒ v R v | Bergeser Refleksif |
| ( C4 ) | □□ A → □ A | w R v ⇒ ∃ u ( w R u & u R v ) | Padat |
| ( C ) | ◊ □ A → □ ◊ A | w R v & w R x ⇒ ∃ u ( v R u & x R u ) | Konvergen |
Gagasan korespondensi antara aksioma dan kondisi kerangka yang dipermasalahkan di sini dijelaskan pada bagian sebelumnya. Bila S adalah daftar aksioma dan F (S) adalah himpunan kondisi frame yang sesuai, maka S sesuai dengan F (S) tepat ketika sistem K + S memadai (terdengar dan lengkap) untuk F (S) -validitas, Artinya, sebuah argumen dapat dibuktikan dalam K + S jika F (S) -valid. Beberapa pengertian kuat tentang korespondensi antara aksioma dan kondisi kerangka telah muncul dalam penelitian tentang logika modal.
9. Aksioma Umum
Korespondensi antara aksioma dan kondisi pada bingkai mungkin tampak seperti misteri. Hasil yang indah dari Lemmon dan Scott (1977) berjalan jauh untuk menjelaskan hubungan tersebut. Teorema mereka menyangkut aksioma yang memiliki bentuk sebagai berikut:( G ) ◊ h □ i A → □ j ◊ k AKami menggunakan notasi '◊ n ' untuk mewakili n berlian berturut-turut, jadi, misalnya, '◊ 3 ' menyingkat serangkaian tiga berlian: '◊◊◊'. Demikian pula '□ n ' mewakili serangkaian n kotak. Bila nilai h , i , j , dan k semuanya 1, kita memiliki aksioma ( C ):
( C ) ◊ □ A → □ ◊ A = ◊ 1 □ 1 A → □ 1 ◊ 1 AAksioma ( B ) hasil dari pengaturan h dan i ke 0, dan membiarkan j dan k menjadi 1:
( B ) A → □ ◊ A = ◊ 0 □ 0 A → □ 1 ◊ 1 AUntuk mendapatkan (4), kita dapat mengatur h dan k ke 0, mengatur i ke 1 dan j ke 2:
(4) □ A → □□ A = ◊ 0 □ 1 A → □ 2 ◊ 0 ABanyak (tapi tidak semua) aksioma logika modal dapat diperoleh dengan menetapkan nilai yang benar untuk parameter dalam ( G )
Tugas kita selanjutnya adalah memberikan kondisi pada frame yang sesuai dengan ( G ) untuk pilihan nilai yang diberikan untuk h , i , j , dan k . Untuk melakukannya, kita memerlukan sebuah definisi. Komposisi dua relasi R dan R 'adalah relasi baru R
R 'yang didefinisikan sebagai berikut: w RMisalnya, jika R adalah relasi menjadi saudara, dan R 'adalah hubungan menjadi orang tua maka R
R 'adalah hubungan menjadi paman, (karena w adalah paman dari v iff untuk beberapa orang u , keduanya w adalah saudara u dan u adalah orang tua dari v ). Suatu hubungan dapat disusun dengan sendirinya. Misalnya, ketika R adalah relasi menjadi orang tua, maka R R adalah hubungan menjadi kakek dan R R R adalah hubungan menjadi kakek buyut. Ini akan berguna untuk menulis ' R n ', untuk hasil penyusunan R dengan n sendiri. Jadi R 2 adalah R R , dan R4 adalah R R R R. Kita akan membiarkan R1 menjadi R , dan R 0 akan menjadi hubungan identitas, yaitu w R 0 v iff w = v . Kita mungkin sekarang menyatakan hasil Scott-Lemmon. Ini adalah kondisi pada frame yang sesuai dengan aksioma apapun dari bentuk ( G ) adalah sebagai berikut.
( h i j k -Convergence) w R h v & w R j u ⇒ ∃ x ( v R i x & u R k x )Sangat menarik untuk melihat bagaimana kondisi yang diketahui pada hasil R dari menetapkan nilai h , i , j , dan k sesuai dengan nilai dalam aksioma yang sesuai. Misalnya, perhatikan (5). Dalam hal ini i = 0, dan h = j = k = 1. Jadi kondisi yang sesuai adalah
w R v & w R u ⇒ ∃ x ( v R 0 x & u R x ).Kami telah menjelaskan bahwa R 0 adalah hubungan identitas. Jadi jika v R 0 x maka v = x . Tapi ∃ x ( v = x & u R x ), sama dengan u R v , dan dengan demikian kondisi Euclidean diperoleh:
( w R v & w R u ) ⇒ u R v .Dalam kasus aksioma (4), h = 0, i = 1, j = 2 dan k = 0. Jadi kondisi yang sesuai pada frame adalah
( w = v & w R 2 u ) ⇒ ∃ x ( v R x & u = x ).Menyelesaikan identitas ini berjumlah:
v R 2 u ⇒ v R u .Dengan definisi R 2 , v R 2 u iff ∃ x ( v R x & x R u ), maka ini datang ke:
∃ x ( v R x & x R u ) ⇒ v R u ,yang menurut logika predikat, setara dengan transitivitas.
v R x & x R u ⇒ v R u .Pembaca mungkin menganggapnya sebagai latihan yang menyenangkan untuk melihat bagaimana kondisi yang sesuai terlepas dari hijk-Convergence ketika nilai parameter h , i , j , dan k ditetapkan oleh aksioma lain.
Hasil Scott-Lemmon menyediakan metode cepat untuk menetapkan hasil tentang hubungan antara aksioma dan kondisi frame yang sesuai. Karena mereka menunjukkan kecukupan logika yang meluas K dengan pilihan aksioma dalam bentuk ( G ) berkenaan dengan model yang memenuhi persyaratan kerangka yang sesuai, mereka memberikan bukti kecukupan "grosir" untuk sebagian besar sistem dalam modal keluarga. Sahlqvist (1975) telah menemukan generalisasi penting dari hasil Scott-Lemmon yang mencakup rentang jenis aksioma yang jauh lebih luas.
Pembaca harus diberi peringatan, bagaimanapun, bahwa korespondensi rapi antara aksioma dan kondisi pada frame tidak biasa. Ada condtions pada frame yang sesuai dengan tidak ada aksioma, dan bahkan ada kondisi pada frame yang tidak ada sistem yang memadai. (Sebagai contoh lihat Boolos, 1993, hlm. 148ff.)
10. Semantik Dua Dimensi
Semantik dua dimensi adalah varian dari semantik dunia yang mungkin menggunakan dua (atau lebih) jenis parameter dalam evaluasi kebenaran, bukan dunia yang mungkin saja. Misalnya, logika ekspresi indeks, seperti 'I', 'here', 'now', dan sejenisnya, perlu membawa konteks linguistik (atau konteks singkatnya). Dengan konteks c = < s , p , t > di mana s adalah pembicara, di tempat itu, dan saat pengucapan, maka 'saya' mengacu pada ' s ', di sini 'ke p , dan' sekarang 'untuk t . Jadi dalam konteks c = <Jim Garson, Houston, 3:00 PM CST pada 4/3/2014> 'Saya di sini sekarang' adalah T iff Jim Garson ada di Houston, pukul 15:00 CST pada tanggal 4/3 / 2014.Dalam semantik dunia yang mungkin, nilai kebenaran kalimat bergantung pada dunia di mana ia dievaluasi. Namun, indexicals membawa dimensi kedua - jadi kita perlu menggeneralisasi lagi. Kaplan (1989) mendefinisikan karakter dari sebuah kalimat B sebagai fungsi dari himpunan konteks (linguistik) terhadap isi (atau intensi) B, di mana konten, pada gilirannya, hanyalah intensi B, yaitu sebuah berfungsi dari kemungkinan dunia ke nilai kebenaran. Di sini, evaluasi kebenaran bergantung ganda - baik pada konteks linguistik dan kemungkinan dunia.
Salah satu pengamatan Kaplan yang paling menarik adalah bahwa beberapa kalimat indeksik bersifat kontingen, namun pada saat yang sama analitis benar. Contohnya adalah (1).
(1) Saya di sini sekarang.Dari makna kata-kata tersebut, Anda dapat melihat bahwa (1) harus benar dalam konteks apapun c = < s , p , t >. Bagaimanapun, c dianggap sebagai konteks linguistik jika seseorang adalah pembicara yang berada di tempat pada waktu t . Oleh karena itu (1) benar pada huruf c , dan itu berarti bahwa pola nilai kebenaran (1) sepanjang dimensi konteks harus semua Ts (mengingat dunia yang mungkin diadakan tetap). Ini menunjukkan bahwa dimensi konteks sangat tepat untuk melacak pengetahuan analitik yang diperoleh dari penguasaan bahasa kita. Di sisi lain, dimensi kemungkinan dunia mencatat apa yang diperlukan. Memegang konteks tetap, ada kemungkinan dunia di mana (1) salah. Misalnya, ketika c = <Jim Garson, Houston, 3:00 PM CST pada 4/3/2014>, (1) gagal di c di dunia yang mungkin di mana Jim Garson berada di Boston pada pukul 15:00 CST pada tanggal 4 / 3/2014. Ini berarti bahwa 'Saya di sini sekarang' adalah kebenaran analitik kontinjensi. Oleh karena itu, semantik dua dimensi dapat menangani situasi dimana kebutuhan dan analisis terlepas.
Contoh lain di mana membawa dua dimensi berguna adalah logika untuk masa depan yang terbuka (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Di sini seseorang menggunakan struktur temporal di mana banyak kemungkinan sejarah masa depan terbentang dari waktu tertentu. Pertimbangkan (2).
(2) Joe akan memerintahkan pertempuran laut besok.Jika (2) kontingen, maka ada kemungkinan sejarah di mana pertempuran terjadi sehari setelah masa evaluasi, dan satu lagi di tempat yang tidak terjadi saat itu. Jadi untuk mengevaluasi (2) Anda perlu mengetahui dua hal: berapa waktu t evaluasi, dan sejarah mana yang berjalan melalui t adalah yang harus dipertimbangkan. Jadi kalimat dalam logika semacam itu dievaluasi pada pasangan < t , h >.
Masalah lain yang diselesaikan oleh semantik dua dimensi adalah interaksi antara 'sekarang' dan ekspresi temporal lainnya seperti tegang masa depan 'akan menjadi kasusnya'. Maka masuk akal untuk berpikir bahwa 'sekarang' mengacu pada waktu evaluasi. Jadi kita akan memiliki kondisi kebenaran berikut:
(Sekarang) v (Sekarang B , t ) = T iff v ( B , t ) = T.Namun ini tidak akan bekerja untuk kalimat seperti (3).
(3) Di beberapa titik di masa depan, semua orang yang sekarang hidup tidak akan diketahui.Dengan F sebagai operator tegang masa depan, (3) dapat diterjemahkan:
(3) 'F∀ x (Sekarang Lx → Ux ).(Terjemahan yang benar tidak boleh ∀ x (Sekarang Lx → F Ux ), dengan F mengambil ruang lingkup sempit, karena (3) mengatakan ada masa depan ketika semua hal yang sekarang tidak diketahui bersama, tidak bahwa setiap makhluk hidup tidak diketahui beberapa masa depannya sendiri). Bila kondisi kebenaran untuk (3) 'dihitung, dengan menggunakan (Sekarang) dan kondisi kebenaran (F) untuk F, ternyata bahwa (3)' benar pada saatnya jika Anda ada waktu setelah Anda sedemikian rupa sehingga segala sesuatu yang terjadi tinggal di t (bukan kamu !) tidak diketahui di t .
(F) v (F B , t ) = T jika untuk beberapa waktu u lebih dari t , v ( B , u ) = T.Untuk mengevaluasi (3) 'dengan benar sehingga sesuai dengan apa yang kita maksud dengan (3), kita harus memastikan bahwa' sekarang 'selalu merujuk kembali ke waktu ujaran yang sebenarnya ketika' sekarang 'berada pada lingkup operator temporal lainnya seperti F. Oleh karena itu kita perlu mencatat waktu mana waktu ujaran ( u ) serta waktu mana waktu evaluasi ( t ). Jadi, indeks kita berbentuk pasangan < u , e >, di mana u adalah waktu ujaran, dan e adalah waktu evaluasi. Kemudian kondisi kebenaran (sekarang) direvisi menjadi (2DNow).
(2Langkah) v (Sekarang B , < u , e >) = T iff v ( B , < u , u >) = T.Ini memastikan bahwa Sekarang B benar pada saat u ucapan dan waktu e evaluasi asalkan B benar ketika Anda dianggap sebagai waktu evaluasi. Bila kondisi kebenaran untuk F, ∀, dan → direvisi dengan cara yang jelas (abaikan saja pasangan Anda), (3) 'benar di < u , e > asalkan ada waktu e ' lebih lambat dari pada e sehingga segala sesuatu yang hidup di u tidak diketahui di e '. Dengan membawa catatan tentang apa yang Anda lakukan selama penghitungan kebenaran, kita selalu dapat memperbaiki nilai 'sekarang' pada ucapan asli, bahkan saat 'sekarang' tertanam dalam operator temporal lainnya.
Fenomena serupa muncul dalam logika modal dengan operator aktualitas A (baca 'sebenarnya kasusnya'). Untuk mengevaluasi dengan benar (4) kita perlu melacak dunia mana yang dianggap dunia sebenarnya (atau nyata) dan mana yang dibawa ke dunia evaluasi.
(4) Ada kemungkinan bahwa setiap orang benar-benar hidup tidak diketahui.Gagasan untuk membedakan dimensi dunia yang berbeda dalam semantik memiliki aplikasi yang berguna dalam filsafat. Sebagai contoh, Chalmers (1996) telah mengemukakan argumen dari dugaan (katakanlah) zombie terhadap kesimpulan dualis dalam filsafat pikiran. Chalmers (2006) telah menyebarkan semantik dua dimensi untuk membantu mengidentifikasi aspek apriori makna yang akan mendukung kesimpulan tersebut.
Gagasan tersebut juga telah dikerahkan dalam filsafat bahasa. Kripke (1980) dengan terkenal berpendapat bahwa 'Air adalah H2O' adalah posteriori tapi bagaimanapun merupakan kebenaran yang diperlukan, karena mengingat air itu hanya H20, tidak ada kemungkinan dunia di mana hal-hal itu (katakanlah) elemen dasar seperti yang dipikirkan orang Yunani. Di sisi lain, ada intuisi kuat yang membuat dunia nyata agak berbeda dari apa adanya, cairan tak berbau yang turun dari langit seperti hujan, mengisi danau dan sungai kita, dan lain-lain mungkin sangat bagus sebagai elemen. Jadi dalam beberapa hal bisa dibayangkan bahwa air bukan H20. Semantik dua dimensi memberi ruang bagi intuisi ini dengan menyediakan dimensi terpisah yang melacak konsepsi air yang mengabaikan sifat kimia air sebenarnya. Seperti 'konten sempit' tentang arti 'air' dapat menjelaskan bagaimana seseorang dapat menampilkan kompetensi semantik dalam penggunaan istilah itu dan tetap tidak mengetahui tentang kimia air (Chalmers, 2002).
11. Terbukti logika
Logika modal telah berguna untuk mengklarifikasi pemahaman kita tentang hasil utama mengenai provokasi dalam dasar matematika (Boolos, 1993). Logika pembuktian adalah sistem dimana variabel proposisional p , q , r , dan sebagainya berkisar pada formula beberapa sistem matematika, misalnya sistem Peano PA untuk aritmatika. (Sistem yang dipilih untuk matematika mungkin berbeda, namun menganggapnya sebagai PA untuk diskusi ini.) Gödel menunjukkan bahwa aritmatika memiliki kekuatan ekspresif yang kuat. Dengan menggunakan nomor kode untuk kalimat aritmatika, dia dapat menunjukkan korespondensi antara kalimat matematika dan fakta tentang kalimat mana dan tidak dapat dibuktikan di PA . Misalnya, dia menunjukkan ada kalimat C yang benar kalau-kalau ada kontradiksi yang bisa dibuktikan di PA dan ada kalimat G (kalimat Gödel yang terkenal) yang benar kalau-kalau tidak bisa dibuktikan di PA .Dalam logika pembuktian, □ p diinterpretasikan sebagai formula (aritmatika) yang mengungkapkan bahwa apa yang ditunjukkan oleh huruf ini dapat dibuktikan di PA . Dengan menggunakan notasi ini, kalimat-kalimat logika pembuktian mengungkapkan fakta tentang provabilitas. Misalkan ⊥ adalah konstanta logika provabilitas yang menunjukkan kontradiksi. Kemudian □ ⊥ mengatakan bahwa PA konsisten dan □ A → A mengatakan bahwa PA terdengar dalam arti bahwa ketika itu membuktikan A , A memang benar. Selanjutnya, kotak itu mungkin iterasi. Jadi, misalnya, □ ~ □ ⊥ membuat klaim yang meragukan bahwa PA dapat membuktikan konsistensi sendiri, dan ~ □ ⊥ → ~ □ ~ □ ⊥ menegaskan (sebagaimana dinyatakan oleh Gödel) bahwa jika PA konsisten maka PA tidak dapat buktikan konsistensinya sendiri.
Meskipun logika pembuktian membentuk keluarga sistem yang terkait, sistem GL sejauh ini paling dikenal. Ini hasil dari menambahkan aksioma berikut ke K :
( GL ) □ (□ A → A ) → □ AAksioma (4): □ A → □□ A dapat dibuktikan di GL , jadi GL sebenarnya adalah penguatan K4 . Namun, aksioma seperti ( M ): □ A → A , dan bahkan yang lebih lemah ( D ): □ A → ◊ A tidak tersedia (atau yang diinginkan) di GL . Dalam logika pembuktian, provabilitas tidak harus diperlakukan sebagai merek kebutuhan. Alasannya adalah bahwa ketika p dapat dibuktikan dalam sistem S yang sewenang-wenang untuk matematika, tidak demikian p itu benar, karena S mungkin tidak sehat. Selanjutnya, jika p dapat dibuktikan dalam S (□ p ), ia bahkan tidak perlu mengikuti bahwa tidak ada bukti (~ □ ~ p = ◊ p ). S mungkin tidak konsisten dan jadi buktikan baik p dan ~ p .
Aksioma ( GL ) menangkap isi Teorema Loeb, sebuah hasil penting dalam dasar aritmatika. □ A → A mengatakan bahwa PA masuk akal untuk A , yaitu jika A terbukti, A benar. (Klaim semacam itu mungkin tidak aman untuk sistem S yang sewenang-wenang yang dipilih, karena A mungkin dapat dibuktikan dalam S dan false.) ( GL ) mengklaim bahwa jika PA berhasil membuktikan kalimat yang menyatakan sehat untuk kalimat A tertentu , maka A adalah sudah bisa dibuktikan di PA . Teorema Loeb melaporkan semacam kerendahan hati pada bagian PA (Boolos, 1993, hal 55). PA tidak pernah bersikeras (membuktikan) bahwa bukti A mensyaratkan kebenaran A, kecuali jika sudah memiliki bukti A untuk mendukung klaim tersebut.
Telah ditunjukkan bahwa GL memadai untuk provabilitas dalam pengertian berikut. Biarkan kalimat GL selalu dapat dibuktikan tepat ketika kalimat aritmatika yang ditunjukkannya dapat dibuktikan tidak peduli bagaimana variabel-variabelnya diberi nilai pada kalimat PA . Kemudian kalimat yang bisa dibuktikan dari GL adalah kalimat yang selalu bisa dibuktikan. Hasil kecukupan ini sangat berguna, karena pertanyaan umum mengenai provabilitas PA dapat ditransformasikan menjadi pertanyaan lebih mudah tentang apa yang dapat ditunjukkan di GL .
GL juga bisa dilengkapi dengan semantik dunia yang mungkin terdengar dan lengkap. Kondisi yang sesuai pada frame untuk GL -validity adalah frame itu transitif, terbatas dan tidak refleksif.
12. Logika Modal Lanjutan
Aplikasi logika modal untuk matematika dan ilmu komputer menjadi semakin penting. Logika konstabilitas hanyalah satu contoh dari tren ini. Istilah "logika modal maju" mengacu pada tradisi dalam penelitian logika modal yang sangat terwakili dengan baik di departemen matematika dan sains komputer. Tradisi ini telah dituangkan ke dalam sejarah logika maya sejak permulaannya (Goldblatt, 2006). Penelitian tentang hubungan dengan topologi dan algebras merupakan beberapa karya teknis pertama mengenai logika modal. Namun istilah 'logika modal maju' umumnya mengacu pada gelombang kedua kerja yang dilakukan sejak pertengahan 1970an. Beberapa contoh dari banyak topik menarik yang dibahas mencakup hasil pada kemampuan decidability (apakah mungkin untuk menghitung apakah formula logika modal yang diberikan adalah teorema) dan kompleksitas (biaya dalam waktu dan memori yang dibutuhkan untuk menghitung fakta-fakta tentang logika modal) .13. Bisimulasi
Bisimulasi memberikan contoh bagus dari interaksi bermanfaat yang telah dikembangkan antara logika modal dan ilmu komputer. Dalam ilmu komputer, sistem transisi berlabel (LTSs) biasanya digunakan untuk mewakili jalur komputasi yang mungkin selama pelaksanaan program. LTSs adalah generalisasi dari frame Kripke, yang terdiri dari himpunan negara bagian, dan kumpulan relasi i- aksesibilitas R i , satu untuk setiap proses komputer i . Secara intuitif, w R i w 'berlaku persis ketika w ' adalah keadaan yang dihasilkan dari penerapan proses i untuk menyatakan w .Bahasa logika poli-modal atau dinamis memperkenalkan kumpulan operator modal □ i , satu untuk setiap program i (Harel, 1984). Kemudian □ i A menyatakan bahwa kalimat A berlaku di setiap hasil penerapan i . Jadi ide seperti kebenaran dan penghentian program yang berhasil dapat dinyatakan dalam bahasa ini. Model untuk bahasa seperti itu seperti model Kripke yang menyimpan bahwa LTS digunakan di tempat bingkai. Bisimulasi adalah hubungan antara negara-negara dari dua model seperti itu sehingga variabel propositional yang sama benar terjadi di negara-negara pendamping, dan kapan pun dunia v dapat diakses dari satu dari dua negara mitra, maka mitra lainnya menanggung hubungan i- aksesibilitas. ke beberapa rekan v . Singkatnya, struktur i- aksesibilitas seseorang dapat "melihat" dari keadaan tertentu meniru apa yang dilihat seseorang dari rekan kerja. Bisimulasi adalah gagasan yang lebih lemah daripada isomorfisma (hubungan bisimulasi tidak perlu 1-1), namun cukup untuk menjamin kesetaraan dalam pemrosesan.
Pada tahun 1970an, versi bisimulasi telah dikembangkan oleh ahli logika modal untuk membantu lebih memahami hubungan antara aksioma logika modal dan kondisi yang sesuai pada kerangka Kripke. Semantik Kripke memberikan dasar untuk menerjemahkan aksioma modal ke dalam kalimat bahasa orde kedua di mana kuantifikasi diperbolehkan di atas satu huruf predikat satu tempat P. Ganti metavariabel A dengan kalimat terbuka P x , terjemahkan □ P x ke ∀ y ( R x y → P y ), dan tutuplah variabel bebas x dan predikat huruf P dengan bilangan bulat universal. Misalnya, terjemahan logika predikat dari skema aksioma □ A → A sampai pada ∀ P ∀ x [∀ y ( R x y → P y ) → P x ]. Dengan terjemahan ini, seseorang dapat memberi contoh pada variabel P ke predikat satu tempat yang sewenang-wenang, misalnya pada predikat Rx yang ekstensinya adalah himpunan semua dunia sehingga Rxw untuk nilai x tertentu . Kemudian seseorang memperoleh ∀ x [∀ y ( R x y → R x y ) → R x x ], yang mengurangi ∀ x R x x , karena ∀ y ( R x y → R x y ) adalah tautologi. Ini menerangi korespondensi antara □ A → A dan refleksivitas frame (∀ x R x x ). Hasil yang sama berlaku untuk banyak aksioma dan kondisi frame lainnya. "Keruntuhan" kondisi aksioma orde kedua ke kondisi frame pesanan pertama sangat membantu dalam mendapatkan kelengkapan hasil untuk logika modal. Misalnya, inilah inti ide dibalik hasil elegan Sahlqvist (1975).
Tapi kapan terjemahan orde kedua sebuah aksioma dikurangi ke kondisi orde pertama di R dengan cara ini? Pada 1970-an, van Benthem menunjukkan bahwa ini terjadi jika penunjukan terjemahan dalam model memerlukan pemilikannya dalam model bisimular mana, di mana dua model bersifat bisimular jika ada bisimulasi di antara keduanya dalam kasus khusus dimana ada hubungan aksesibilitas tunggal. Hasil itu menggeneralisasi dengan mudah pada kasus poli-moda (van Benthem 1996, hal 88). Ini menunjukkan bahwa logika poli-moda terletak pada tingkat abstraksi yang tepat untuk dijelaskan, dan alasan tentang, perhitungan dan proses lainnya. (Lagi pula, yang sebenarnya penting adalah pelestarian nilai kebenaran dari formula dalam model daripada rincian struktur frame yang lebih baik.) Selanjutnya terjemahan tersirat dari logika tersebut ke dalam fragmen logika predikat yang dipahami dengan baik memberikan banyak informasi tentang minat ilmuwan komputer. Akibatnya, area penelitian yang bermanfaat dalam ilmu komputer telah berkembang dengan bisimulasi sebagai gagasan intinya (Ponse et al 1995).
14. Quantifiers dalam Modal Logika
Tampaknya menjadi masalah sederhana untuk menggunakan logika modal dengan quantifier ∀ (all) dan ∃ (beberapa). Seseorang hanya akan menambahkan aturan standar (atau klasik) untuk quantifiers dengan prinsip logika propositional mana pun yang dipilih seseorang. Namun, menambahkan quantifiers ke logika modal melibatkan sejumlah kesulitan. Beberapa di antaranya bersifat filosofis. Sebagai contoh, Quine (1953) telah dengan terkenal menyatakan bahwa mengkuantifikasi ke dalam konteks modal sama sekali tidak koheren, sebuah pandangan yang telah melahirkan sebuah literatur raksasa. Keluhan Quine tidak membawa beban yang pernah mereka lakukan. (Lihat Barcan 1990 untuk ringkasan yang bagus.) Namun demikian, pandangan bahwa ada sesuatu yang salah dengan "kuantifikasi dalam" masih banyak dilakukan. Jenis komplikasi kedua adalah teknis. Ada beragam pilihan yang bisa kita buat dalam semantik untuk logika kuantitatif, dan bukti bahwa sistem aturan benar untuk pilihan tertentu bisa jadi sulit. Karya Corsi (2002) dan Garson (2005) berjalan menuju kesatuan menuju medan ini, namun situasinya masih tetap menantang.Komplikasi lain adalah bahwa beberapa ahli logika percaya bahwa modalitas memerlukan pengabaian aturan kuantitatif klasik yang mendukung peraturan logika bebas yang lebih lemah (Garson 2001). Poin utama ketidaksetujuan mengenai peraturan quantifier dapat ditelusuri kembali ke keputusan tentang bagaimana menangani domain kuantifikasi. Alternatif paling sederhana, pendekatan fixed-domain (kadang-kadang disebut possibilist), mengasumsikan satu domain kuantifikasi yang berisi semua objek yang mungkin ada. Di sisi lain, interpretasi duniawi (atau aktualis), mengasumsikan bahwa domain perubahan kuantifikasi dari dunia ke dunia, dan hanya berisi benda-benda yang benar-benar ada di dunia tertentu.
Pendekatan fixed-domain tidak memerlukan penyesuaian besar pada mesin klasik untuk quantifiers. Logika modal yang memadai untuk semantik domain tetap biasanya dapat menjadi aksioma dengan menambahkan prinsip-prinsip logika modal proposisional ke aturan kuantifier klasik bersama dengan Formula Barcan ( B F ) (Barcan 1946). (Untuk beberapa pengecualian menarik, lihat Cresswell (1995)).
( B F ) ∀ x □ A → □ ∀ x A.Interpretasi domain tetap memiliki kelebihan kesederhanaan dan keakraban, namun tidak memberikan penjelasan langsung tentang semantik ekspresi kuantifier tertentu dari bahasa alami. Kami tidak berpikir bahwa 'Ada orang yang menandatangani Deklarasi Kemerdekaan' itu benar, setidaknya tidak jika kita membaca 'ada' dalam bentuk sekarang. Meskipun demikian, kalimat ini benar pada tahun 1777, yang menunjukkan bahwa domain untuk ekspresi bahasa alami 'ada orang yang ada yang' berubah untuk mencerminkan manusia mana yang ada pada waktu yang berbeda. Masalah yang terkait adalah bahwa pada interpretasi domain tetap, kalimat ∀ y □ ∃ x ( x = y ) valid. Dengan asumsi bahwa ∃ x ( x = y ) dibaca: y ada, ∀ y □ ∃ x ( x = y ) mengatakan bahwa segala sesuatu ada secara pasti. Namun, tampaknya merupakan ciri mendasar dari gagasan umum tentang modalitas bahwa keberadaan banyak hal bersifat kontingen, dan bahwa objek yang berbeda ada di dunia yang berbeda.
Pembela interpretasi domain tetap dapat menanggapi keberatan ini dengan menekankan bahwa pada pembacaan kuantumnya, domain kuantifikasi berisi semua objek yang mungkin, tidak hanya benda-benda yang kebetulan ada di dunia tertentu. Jadi teorema ∀ y □ ∃ x ( x = y ) membuat klaim yang tidak berbahaya bahwa setiap objek yang mungkin harus ditemukan dalam domain semua objek yang mungkin ada. Selanjutnya, ekspresi quantifier dari bahasa alami yang domainnya adalah dunia (atau waktu) bergantung dapat dinyatakan dengan menggunakan quantifier fixed-domain ∃ x dan sebuah huruf predikat E dengan bacaan 'sebenarnya ada'. Misalnya, alih-alih menerjemahkan 'Beberapa M an ada yang S menyulut Deklarasi Kemerdekaan' oleh
∃ x ( M x & S x ),pembela domain tetap dapat menulis:
∃ x ( E x & M x & S x ),Dengan demikian memastikan terjemahan tersebut dianggap salah pada saat ini. Cresswell (1991) membuat pengamatan yang menarik bahwa kuantifikasi duniawi memiliki daya ekspresif terbatas yang relatif terhadap kuantifikasi domain tetap. Kuantifikasi dunia-relatif dapat didefinisikan dengan pengukur domain tetap dan E , namun tidak ada cara untuk sepenuhnya mengekspresikan kueri domain tetap dengan yang relatif dunia. Meskipun ini berpendapat bahwa pendekatan klasik terhadap logika kuantitatif, taktik terjemahan juga berarti sesuatu dari sebuah konsesi yang mendukung logika bebas, karena quantifier dunia-kuantum begitu didefinisikan sesuai dengan aturan logika bebas.
Masalah dengan strategi penerjemahan yang digunakan oleh pembela kuantifikasi domain tetap adalah bahwa menerjemahkan bahasa Inggris ke dalam logika kurang langsung, karena E harus ditambahkan ke semua terjemahan dari semua kalimat yang ekspresi pengenalnya memiliki domain yang bergantung pada konteks. Keberatan yang lebih serius terhadap kuantifikasi domain tetap adalah bahwa ia mengkuantifikasi kuantifier peran yang direkomendasikan Quine untuknya, yaitu untuk mencatat komitmen ontologis yang kuat. Pada pandangan ini, domain ∃ x hanya berisi entitas yang secara ontologis terhormat, dan objek yang mungkin terlalu abstrak untuk memenuhi syarat. Aktualis garis ini ingin mengembangkan logika pengukur ∃ x yang mencerminkan komitmen terhadap apa yang sebenarnya ada di dunia tertentu daripada pada apa yang mungkin terjadi.
Namun, karya terakhir aktualisme cenderung melemahkan keberatan ini. Misalnya, Linsky dan Zalta (1994) berpendapat bahwa pengenal domain tetap dapat diberi interpretasi yang dapat diterima sepenuhnya oleh para aktualis. Aktualis yang menggunakan semantik dunia mungkin secara rutin mengukur kemungkinan dunia dalam teori bahasa semantik mereka. Jadi sepertinya dunia yang mungkin sebenarnya adalah aktual oleh lampu-lampu aktualis ini. Dengan cerdiknya melengkapi domain dengan entitas abstrak tidak lebih pantas daripada yang diterima oleh para aktualis, Linsky dan Zalta menunjukkan bahwa Formula Barcan dan prinsip klasik dapat dibenarkan. Namun perlu dicatat, bahwa para aktualis mungkin merespons bahwa mereka tidak perlu berkomitmen terhadap kenyataan dunia yang mungkin selama hal itu dipahami bahwa quantifier yang digunakan dalam teori bahasa mereka tidak memiliki ontologis impor yang kuat. Bagaimanapun juga, ini juga terbuka bagi para aktualis (dan juga non aktualis) untuk menyelidiki logika pengukur dengan domain yang lebih kuat, misalnya domain yang tidak termasuk kemungkinan dunia dan entitas abstrak lainnya, dan hanya berisi informasi spatio-temporal yang ditemukan dalam dunia yang diberikan Untuk pengukur jenis ini, domain dunia relatif sesuai.
Pertimbangan tersebut memotivasi ketertarikan pada sistem yang mengakui ketergantungan konteks kuantifikasi dengan mengenalkan domain dunia-relatif. Di sini setiap dunia yang mungkin memiliki domain kuantifikasinya sendiri (kumpulan objek yang benar-benar ada di dunia itu), dan domainnya berbeda dari satu dunia ke dunia lainnya. Ketika keputusan ini dibuat, sebuah kesulitan muncul untuk teori kuantifikasi klasik. Perhatikan bahwa kalimat ∃ x ( x = t ) adalah teorema logika klasik, dan jadi □ ∃ x ( x = t ) adalah teorema K oleh Peraturan Kebutuhan. Biarkan istilah t bertahan untuk Saul Kripke. Kemudian teorema ini mengatakan bahwa penting bahwa Saul Kripke ada, sehingga dia berada dalam wilayah setiap dunia yang mungkin. Keseluruhan motivasi untuk pendekatan dunia-relatif adalah untuk mencerminkan gagasan bahwa benda-benda di satu dunia mungkin gagal eksis di tempat lain. Jika penguasa kuantifier standar digunakan, bagaimanapun, setiap istilah harus mengacu pada sesuatu yang ada di semua dunia yang mungkin terjadi. Hal ini tampaknya tidak sesuai dengan praktik biasa kita menggunakan istilah untuk merujuk pada hal-hal yang hanya ada secara kontingen.
Salah satu respon terhadap kesulitan ini hanyalah untuk menghilangkan istilah. Kripke (1963) memberi contoh sistem yang menggunakan interpretasi duniawi dan mempertahankan peraturan klasik. Namun, biayanya sangat parah. Pertama, bahasanya sangat miskin, dan kedua, aturan untuk logika modal proposisional harus dilemahkan.
Menganggap bahwa kita menginginkan bahasa yang mencakup persyaratan, dan peraturan klasik harus ditambahkan ke sistem logika proporsional standar, sebuah masalah baru muncul. Dalam sistem seperti itu, adalah mungkin untuk membuktikan ( C B F ), gabungan Formula Barcan.
( C B F ) □ ∀ x A → ∀ x □ A.Fakta ini memiliki konsekuensi serius bagi semantik sistem. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa setiap model relatif dunia ( C B F ) harus memenuhi syarat ( N D ) (untuk 'domain bersarang').
( N D ) Jika w R v maka domain w adalah subset dari domain v .Namun ( N D ) bertentangan dengan titik mengenalkan domain dunia-relatif. Keseluruhan gagasannya adalah bahwa keberadaan benda bersifat kontingen sehingga ada kemungkinan kemungkinan dunia yang dapat diakses dimana salah satu hal di dunia kita tidak ada.
Solusi langsung untuk masalah ini adalah dengan meninggalkan peraturan klasik untuk quantifiers dan mengadopsi peraturan untuk logika bebas ( FL ). Aturan FL sama dengan aturan klasik, kecuali kesimpulan dari ∀ x R x (semuanya nyata) sampai R p (Pegasus nyata) diblokir. Hal ini dilakukan dengan memperkenalkan predikat ' E ' (untuk 'benar-benar ada') dan memodifikasi aturan instantiasi universal. Dari ∀ x R x satu diperbolehkan untuk mendapatkan R p hanya jika seseorang juga telah memperoleh E p . Dengan asumsi bahwa pengukur universal ∀ x primitif, dan pengukur eksistensial ∃ x didefinisikan oleh ∃ x A = df ~ ∀ x ~ A , maka FL dapat dibangun dengan menambahkan dua prinsip berikut ke dalam aturan logika proporsional
Universal generalisasi Jika B → ( E y → A ( y )) adalah sebuah teorema, begitu juga B → ∀ x A ( x ).(Di sini diasumsikan bahwa A ( x ) adalah formula logika predikat yang terbentuk dengan baik, dan bahwa A ( y ) dan A ( n ) dihasilkan dari penggantian y dan n dengan benar untuk setiap kejadian x pada A ( x ).) Perhatikan bahwa aksioma Instansiasi dibatasi dengan menyebutkan En di anteseden. Aturan generalisasi universial dimodifikasi dengan cara yang sama. Dalam FL , bukti formula seperti ∃ x □ ( x = t ), ∀ y □ ∃ x ( x = y ), ( C B F ), dan (BF), yang tampaknya tidak sesuai dengan interpretasi dunia-relatif, adalah diblokir
Instansiasi Universal ∀ x A ( x ) → ( E n → A ( n ))
Satu keberatan filosofis terhadap FL adalah bahwa E nampaknya merupakan predikat eksistensi, dan banyak yang berpendapat bahwa keberadaan bukanlah properti yang sah seperti hijau atau berat lebih dari empat pound. Jadi filsuf yang menolak gagasan bahwa eksistensinya adalah predikat bisa jadi objek FL . Namun, dalam sebagian besar (tapi tidak semua) logika modal kuantitatif yang mencakup identitas (=) kekhawatiran ini mungkin diikat dengan mendefinisikan E sebagai berikut.
E t = df ∃ x ( x = t ).Cara paling umum untuk merumuskan logika modal terukur adalah dengan membuat FS dengan menambahkan aturan FL ke logika modal propositional yang diberikan S. Dalam situasi di mana kuantifikasi klasik diinginkan, seseorang dapat dengan mudah menambahkan E t sebagai aksioma ke FS , sehingga prinsip klasik menjadi peraturan yang dapat diturunkan. Hasil kecukupan untuk sistem semacam itu dapat diperoleh untuk sebagian besar pilihan logika modal S , namun ada pengecualian.
Komplikasi terakhir dalam semantik untuk logika modal kuantitatif perlu disebutkan. Ini muncul ketika ungkapan-ungkapan yang tidak kaku seperti 'penemu bifokal' diperkenalkan pada bahasa tersebut. Istilah tidak kaku bila memilih benda berbeda di berbagai kemungkinan dunia. Nilai semantik dari istilah semacam itu dapat diberikan oleh apa yang disebut Carnap (1947) sebagai konsep individual, sebuah fungsi yang memilih denotasi istilah untuk setiap dunia yang mungkin. Salah satu pendekatan untuk menangani istilah-istilah yang tidak kaku adalah menggunakan teori deskripsi Russell. Namun, dalam bahasa yang memperlakukan ungkapan-ungkapan yang tidak kaku sebagai istilah asli, ternyata baik aturan klasik maupun logika bebas untuk kuantifier dapat diterima. (Masalahnya tidak dapat diatasi dengan melemahkan peraturan substitusi untuk identitas). Solusi untuk masalah ini adalah menggunakan perlakuan kuantitatif yang lebih umum, di mana domain kuantifikasi mengandung konsep individual dan bukan objek. Penafsiran yang lebih umum ini memberikan kecocokan yang lebih baik antara perlakuan istilah dan perlakuan terhadap kuantifier dan menghasilkan sistem yang memadai untuk aturan logika klasik atau bebas (tergantung pada apakah domain tetap atau domain dunia relatif dipilih). Ini juga menyediakan bahasa dengan kekuatan ekspresif yang kuat dan sangat dibutuhkan (Bressan, 1973, Belnap and Müller, 2013a, 2013b)
Sumber: plato.stanford.edu